Презентация по математике на тему "Линия числа в средней школе"

• 1 слайд

  Линия числа в средней школе.
  Выполнила: Лихолетова Анастасия Сергеевна, учитель математики
  
  

• 2 слайд

  Из истории развития действительных чисел.
  Натуральные числа использовались для счета. Десятичная система счисления изобретена в Индии, стали использовать арабы.
  Отрицательные числа появились в VI-XI вв, но получили признание в XVII Р. Декартом в своей работе «Геометрия» (1637г), рассматривал числа, как координаты.
  Рациональные числа систематизировал Л.Эйлер. Определил правило переноса, производил действия с радикалами.
  В XIX в развитие аксиоматической гипотезы – теория числа.
  Натуральные числа Кантор определил через мощность (кардинальное число) равномощных множеств.
  Иррациональные числа М. Штифель 1544 делит на алгебраические, неалгебраические и трансцидентные.
  II. Подходы к определению действительного числа.
  Теория действительного числа во второй половине XIXв была разработана многими учеными, такими как:
  Вейерштрасс.
  Концепция Вейерштрасса заключается в представлении действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби.
  
  

• 3 слайд

  Иррациональное число – бесконечно. Определил числовые последовательности. Установил приближение иррациональных чисел по недостатку и избытку.
  Дедекинд.
  Рассматривал действительное число через построение сечения на множестве.
  Теорема Дедекинда. Если произвести сечение на множестве действительных( R ) чисел, то найдется число b, производящее это сечение, причем b будет либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшим в верхнем классе.
  На множестве рациональных чисел существует 3-и вида сечений:
  В нижнем классе будет наименьшее число.
  В верхнем классе будет наибольшее число.
  В нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
  Сечение 3-го вида есть иррациональное число.
  Коши.
  Действительная числа определил построением фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Новые числа появляются, как расширение некоторого множества чисел.
  III. Понятие расширения. Линия числа.
  Множество B есть расширение множества А если:
  
  Все старые числа являются и новыми, арифметические операции и отношения имеющие смысл в А определены и в В;
  Правило действий и правило сравнения над новыми числами определяются так, чтобы сохранен был их смысл для старых.
  
  

• 4 слайд

  4. В В выполняется операция невыполнимая или частично выполнимая в А.
  5. В является минимальным расширением А, т.е. В – минимальное множество для которого выполнимы требования 1-4.
  Идеи линии расширения.
  Расширение множества.
  Операторное истолкование числа: интерпретация, пассивно-активная роль одного из чисел, взаимосвязанность действий над числами;
  Синтаксическая представление числа : разные формы, неоднозначность записи;
  Семантическое истолкование множества действительных чисел:
  Порядок – идея бесконечности, индукция;
  Количество – проявление равномощности: сравнение, как возможности сложения, объединения.
  Измерение – мера множества.
  5. Идеи изучения линии числа.
  Осмысление основного объекта математики;
  Демонстрация идеи расширения;
  Иллюстрация идеи алгебраических структур. Множество действительных чисел – бесконечное, всюду плотно, замкнуто по сложению, вычитанию, умножению, и делению.
  Знакомство с системами счисления. Теория делимости.
  Воспитание вычислительной культуры.
  

• 5 слайд

  IV. Изучение чисел в начальной школе.
  Введение десятичной дроби вне всякой связи с понятием обыкновенной дроби дает формальное представление о десятичной дроби. Повторение и обобщение полученных в начальной школе сведений об обыкновенных дробях связывается с расширением этих знаний: учащиеся знакомятся с такими вопросами, как доля единицы; изображение дробей на координатном луче; правильные и неправильные дроби; основное свойство дроби, которое позволяет сокращать дроби, приводить дроби к одинаковому знаменателю или числителю, сравнивать дроби; представление натурального числа в виде дроби. Знакомство с метрической системой мер. Вопрос о сравнении дробей рассматривается в неразрывной связи с основным свойством обыкновенной дроби. Использование его позволяет установить важное свойство десятичных дробей, состоящее в возможности приписывания и отбрасывания нулей справа. После рассмотрения вопроса о равенстве десятичных дробей учащиеся переходят к выяснению понятий «меньше» и «больше» для десятичных дробей. Использование координатного луча позволяет этот вопрос сделать более доступным и интересным учащимся. Сложение и вычитание десятичных дробей дается по аналогии со сложением и вычитанием натуральных чисел. Одновременно с введением сложения учащиеся знакомятся с переместительным и сочетательным законами. Они должны знать формулировку этих законов, уметь записывать эти законы в общем виде с помощью букв и применить их при вычислениях.
  Изучение умножения и делении десятичных дробей начинается с рассмотрения простейших случаев, т. е. с умножении и деления десятичной дроби на натуральное число.
  
  

• 6 слайд

  При делении десятичной дроби на натуральное число важным моментом, является постановка запятой после окончания деления целой части данного числа.
  Только после рассмотрения частных случаев умножения и деления десятичных дробей предлагается изучение умножения и деления десятичной дроби на десятичную дробь.
  Умножение на десятичную дробь рассматривается в связи с решением задачи на нахождение площади прямоугольника. После разбора отдельных задач, решение которых требует выпол­нения умножения на десятичную дробь, дается общее правило умножения десятичных дробей. Большое внимание уделяется выяснению свойств умножения. Утверждается справедливость переместительного, сочетательного и распределительного законов для умножения десятичных дробей. Дается свойство нуля и единицы для десятичных дробей. Большое внимание уделяется использованию свойств умножения для более рационального выполнения умножения десятичных дробей. Много места занимает решение уравнений, решение задач арифметическим и алгебраическим способом, где данные задаются десятичными дробями.
  

• 7 слайд

  Возможные последовательности изучения чисел.
  В курсе математики 5-6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширения рациональных чисел не однозначна, возможны варианты :
  
  Обыкновенные дроби.
  Десятичные дроби.
  Рациональные числа ( введение отрицательных чисел).
  Десятичные дроби.
  Обыкновенные дроби.
  Рациональные числа ( введение отрицательных чисел).
  Обыкновенные дроби.
  Десятичные дроби.
  Рациональные числа ( целые и дробные, положительные и отрицательные).
  Отрицательные числа.
  

• 8 слайд

  Обыкновенные дроби ( положительные).
  Целые числа.
  Рациональные числа ( введение отрицательных чисел).
  Десятичные дроби ( положительные).
  Возможен и такой вариант (П.М. Эрдниев математика 5-6 класс).
  Дробные, обыкновенные, десятичные числа.
  Рациональные , введение отрицательных чисел.
  

• 9 слайд

  VI. Методика введения иррационального числа.
  Существует 3-и подхода к введению понятия «иррационального числа». При первом подходе можно выделить три основных этапа введения понятий: мотивационный, введение понятий, первичное закрепление.
  Мотивационный.
  На этом этапе можно предложить решить следующую задачу. Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2. алгебраической моделью ситуации является уравнение .
  2. Этап введения понятия.
  Проиллюстрировать этот этап можно выполнив лабораторную работу.
  Является ли целым числом?
  Является ли рациональным числом числом?
  Существует ли число ?
  Дайте определение иррационального числа?
  Изобразить иррациональные числа на координатной прямой.
  3. Этап первичного закрепления.
  На этом этапе целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых множеств, сравнение чисел, изображение чисел точками координатной прямой.
  

• 10 слайд

  Найти длину отрезка ОВ при выбранной единице измерения ОЕ.
  Эта задача иллюстрирует, что процесс измерения может быть бесконечным, а отрезки несоизмеримыми.
  O E B
  Вычислить длину отрезка, если он составляет 2/7 от единичного отрезка .
  Приведите геометрическое доказательство того, что отношение площади квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, к площади данного равно.
  Приведите строгое оказательство, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
  Дайте определение иррационального числа.
  Постройте множество действительных чисел
  
  При третьем подходе к введению понятия «иррационального числа» (Ш.А. Алимов и другие «Алгебра» 8 класс) можно привести формулировку определения и проиллюстрировать его примерами.
  При втором подходе к введению понятия «иррационального числа» («Алгебра» 8 класс под ред. С.А, Теляковского) можно предложить ученикам следующие задания: