Презентация по математике на тему "Матрицы. Типы матриц."

• 1 слайд

  Презентацию подготовил:
  Чавкина Т.В.
  преподаватель математики
  ГБУ ПО РМ "РЖПТ им. А.П. Байкузова"
  
  Матрицы.
  Типы матриц.
  

• 2 слайд

  Прямоугольную таблицу А состоящую из 𝒎 строк и 𝒏 столбцов, элементами которой являются действительные числа,  называют числовой матрицей порядка 𝒎 × 𝒏 (читается «𝑚 на 𝑛»).
  
  
  
  𝑨 𝒎 × 𝒏 = 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑚1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 … 𝑎 𝑚2 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 … 𝑎 𝑚3 … … … 𝑎 𝑖𝑗 … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑚𝑛 𝒎 × 𝒏
  
  

• 3 слайд

  Действительное число 𝒂 𝒊𝒋   , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит это число в матрице, называется элементом матрицы 𝑨.
  
  
  
  𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑚1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 … 𝑎 𝑚2 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 … 𝑎 𝑚3 … … … 𝒂 𝒊𝒋 … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑚𝑛 𝒎 × 𝒏
  i-ая строка
  j-й столбец
  𝒂 𝒊𝒋
  

• 4 слайд

  Основные типы матриц.
  Пусть 𝒎=𝒏, тогда
  матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок 𝑛.
  𝑨 𝒏 × 𝒏 = 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑛1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 … 𝑎 𝑛2 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 … 𝑎 𝑛3 … … … … … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑛𝑛 𝒏 × 𝒏
  
  Пример квадратной матрицы
  
  1 2 3 4 2×2
  Пример квадратной матрицы
  
  1 4 7 2 5 8 3 6 9 3×3
  

• 5 слайд

  Основные типы матриц.
  Пусть 𝒎 = 1, тогда
  матрица А – матрица-строка
  𝑨 𝟏 × 𝒏 = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 … 𝑎 1𝑛 𝟏 × 𝒏 = 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 … 𝑎 𝑛 𝟏 × 𝒏
  
  Пример матрицы-строки
  
  3 2 3 2 1 1×5
  

• 6 слайд

  Основные типы матриц.
  Пусть 𝒏 = 1, тогда
  матрица А – матрица-столбец
  𝑨 𝒎 × 𝟏 = 𝑎 11 𝑎 21 … 𝑎 𝑚1 𝒎 × 𝟏 = 𝑎 1 𝑎 2 … 𝑎 𝑚 𝒎 × 𝟏
  
  Пример матрицы-столбца
  
  −8 0 7 −1 𝟒 × 𝟏
  

• 7 слайд

  Основные типы матриц.
  В квадратной матрице 𝐴 𝑛×𝑛 элементы    𝒂 𝟏𝟏 , 𝒂 𝟐𝟐 , 𝒂 𝟑𝟑 … 𝒂 𝒏𝒏 образуют главную диагональ матрицы A.
  𝒂 𝟏𝟏 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑛1 𝑎 12 𝒂 𝟐𝟐 𝑎 32 … 𝑎 𝑛2 𝑎 13 𝑎 23 𝒂 𝟑𝟑 … 𝑎 𝑛3 … … … … … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏
  
  В квадратной матрице 𝐴 𝑛×𝑛 элементы 𝒂 𝟏𝒏 , 𝒂 𝟐𝒏−𝟐 , 𝒂 𝟑𝒏−𝟑 … 𝒂 𝒏𝟏 образуют побочную диагональ матрицы A.
  𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝒂 𝒏𝟏 … … … … … 𝑎 1𝑛−2 𝑎 2𝑛−2 𝒂 𝟑𝒏−𝟐 … 𝑎 𝑛𝑛−2 𝑎 1𝑛−1 𝒂 𝟐𝒏−𝟏 𝑎 3𝑛−1 … 𝑎 𝑛𝑛−1 𝒂 𝟏𝒏 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑛𝑛 𝑛 × 𝑛
  
  
  
  Пример главной диагонали
  
  −𝟏 2 0 3 −𝟏 4 8 0 𝟑
  Пример побочной диагонали
  
  −1 2 𝟎 3 −𝟏 4 𝟖 0 3
  

• 8 слайд

  Основные типы матриц.
  Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю.
  𝒂 𝟏𝟏 0 0 … 0 0 𝒂 𝟐𝟐 0 … 0 0 0 𝒂 𝟑𝟑 … 0 … … … … … 0 0 0 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏
  
  
  
  
  
  Пример диагональной матрицы
  
  −𝟏 0 0 0 𝟎 0 0 0 𝟑
  

• 9 слайд

  Основные типы матриц.
  Квадратная матрица называется верхней треугольной , если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю.
  𝒂 𝟏𝟏 0 0 … 0 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟐𝟐 0 … 0 𝒂 𝟏𝟑 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟑 … 0 … … … … … 𝒂 𝟏𝒏 𝒂 𝟐𝒏 𝒂 𝟑𝒏 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏
  Квадратная матрица называется нижней треугольной , если все ее элементы выше главной диагонали равны нулю.
  𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟑𝟏 … 𝒂 𝒏𝟏 0 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟑𝟐 … 𝒂 𝒏𝟐 0 0 𝒂 𝟑𝟑 … 𝒂 𝒏𝟑 … … … … … 0 0 0 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏
  Пример верхней треугольной матрицы
  
  −1 2 −1 0 1 0 0 0 3
  Пример нижней треугольной матрицы
  
  −1 0 0 5 1 0 3 6 3
  

• 10 слайд

  Основные типы матриц.
  Диагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1.
  𝟏 0 0 … 0 0 𝟏 0 … 0 0 0 𝟏 … 0 … … … … … 0 0 0 … 𝟏 𝒏 × 𝒏
  
  Единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел.
  Единичная матрица определяется только для квадратных матриц.
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  Основные типы матриц.
  Нулевой матрицей называется матрица порядка 𝒎×𝒏, все элементы которой равны 0.
  𝟎 0 0 … 0 0 𝟎 0 … 0 0 0 𝟎 … 0 … … … … … 0 0 0 … 𝟎 𝒎 × 𝒏
  
  Нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом.
  Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.
  
  
  
  
  
  

• 12 слайд

  Основные типы матриц.
  Матрица 𝑨 𝑻 𝒏×𝒎 называется транспонированной к матрице 𝑨 𝒎×𝒏 , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы 𝑨 𝒎×𝒏 .
  Если матрица А имеет порядок m×n, то транспонированная матрица имеет порядок n×m.
  
  
  
  
  
  
  
  Пример транспонирования матрицы
  
  𝐴 2×3 = 1 3 5 0 4 7 , 𝐴 𝑇 3×2 = 1 0 3 4 5 7
  

• 13 слайд

  Основные типы матриц.
  Матрица А называется симметричной, если А=АT. На главной диагонали симметричной матрицы  могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 .
   Матрица А называется кососимметричной, если А= - АT. На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали   𝑎 𝑖𝑗 =− 𝑎 𝑗𝑖
  Симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Пример симметричной матрицы
  
  𝐴 2×2 = 1 8 8 2 ,
  
  𝐴 𝑇 2×2 = 1 8 8 2
  Пример кососимметричной матрицы
  
  𝐴 2×2 = 0 −8 8 0 ,
  
  𝐴 𝑇 2×2 = 0 8 −8 0
  

• 14 слайд

  Историческая справка.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц.
  После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.
  На сегодняшний день матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.