• 

  1 слайд

  Медианы, биссектрисы
  и
  высоты треугольника.
  Преподаватель математики Бородина Марина Сергеевна
  

• 

  2 слайд

  Меню:
  -Пояснительная записка.
  -Теория.
  -Основные типы задач.
  -Задачи для самостоятельного решения.
  -Глоссарий.
  -Тест.
  -Технические средства.
  

• 

  3 слайд

  Пояснительная записка:
  Данная презентация создана для использования учителями геометрии средних общеобразовательных школ, как сопровождение урока. Целесообразность использования презентации на занятии продиктована следующими факторами:
  -Уменьшается время подачи нового материала.
  -Повышается эффективность усвоения нового учебного материала за счет
  использования наглядно-образного материала и технических средств обучения, коллективной и самостоятельной работы учащихся.
  -Увеличивается количество нового материала.
  По средствам данной презентации можно изучать новый учебный материал по геометрии «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника» в 7 классе, проводить самостоятельную работу, тестирование по данной теме.
  

• 

  4 слайд

  Теория.
  Перпендикуляр к прямой.
  Рассмотрим прямую а и точку А не лежащую на ней.
  Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром. Точка Н – основание перпендикуляра.
  а
  А
  Н
  

• 

  5 слайд

  Теорема.
  Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и при том только один.
  Доказательство.
  Пусть А – точка, не лежащая на ВС. Докажем, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС.
  B
  C
  A
  М
  Отложим от ВС угол МВС равный углу АВС
  

• 

  6 слайд

  В
  А
  А1
  М
  Н
  С
  1
  2
  Так как углы АВС и МВС равны, то первый можно наложить на второй. Стороны ВА и ВС совпадут со сторонами ВМ и ВС, точка А наложиться на некоторую точку А1
  Н – точка пересечения прямых АА1 и ВС, Отрезок АН – есть искомый перпендикуляр.
  Угол 1 равен углу 2, т.к. они смежные, значит, каждый из них прямой, и АН перпендикуляр к ВС.
  

• 

  7 слайд

  Докажем единственность.
  А
  В
  С
  Н
  Н1
  Предположим, что через точку А можно провести еще один перпендикуляр АН1 к прямой ВС.
  То получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются, но это не возможно. Значит, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.
  
  

• 

  8 слайд

  Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке отрезки АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника.
  
  
  А
  В
  С
  М1
  М3
  М2
  Медианы треугольника
  Свойство медианы: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
  Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  
  
  

• 

  9 слайд

  Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке СС1, ВВ1, ЕЕ1 – биссектрисы.
  Биссектриса – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершины треугольника с точкой противоположной стороны.
  Биссектрисы треугольника
  Е
  В
  С
  В1
  С1
  Е1
  Свойство биссектрисы: в любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
  
  

• 

  10 слайд

  Высоты треугольника
  В
  С
  Н3
  Н2
  Н1
  А
  Любой треугольник имеет три высоты. На рисунке АН1, СН2, ВН3 – высоты треугольника.
  Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
  Свойство высоты: в любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке.
  
  

• 

  11 слайд

  Равнобедренный треугольник
  А
  В
  С
  К
  М
  Н
  Боковая сторона
  основание
  Треугольник КМН называется равнобедренным, если две его стороны равны.
  Треугольник АВС, все стороны которого равны, называется равносторонним.
  Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием.
  
  

• 

  12 слайд

  Теорема.
  В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  А
  В
  С
  D
  1
  2
  3
  4
  Доказательство:
  Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС и докажем, что  В= С.
  Пусть АD – биссектриса треугольника. Треугольники АВD и АСD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС по условию, АD – общая сторона, 1= 2, так как АD – биссектриса).Из равенства этих треугольников следует, что  В= С. Теорема доказана.
  

• 

  13 слайд

  Теорема.
  В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой и высотой.
  Доказательство:
  В
  С
  D
  1
  2
  3
  4
  А
  Треугольник АВС – равнобедренный, АD – биссектриса. Из равенства треугольников следует, что ВD=DС и 3= 4. Равенство ВD=DС означает, что точка D – середина стороны ВС, и АD – медиана. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, АD является высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
  

• 

  14 слайд

  Справедливы так же утверждения:
  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является и медианой и высотой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и высотой и биссектрисой.
  

• 

  15 слайд

  Основные типы задач
  1
  2
  3
  4
  

• 

  16 слайд

  Основные типы задач
  №1
  Точки А и С лежат по разные стороны от прямой а. Из этих точек проведены перпендикулярные прямые так, что АВ=СД. Докажите, что треугольник АВД равен треугольнику СВД; найдите  ДВС, если  СВО=34º.
  №2
  Медиана АО равнобедренного треугольника АСД продолжена за сторону СД на отрезок ОВ, равный ОА, АС‌‌‌‌ параллельна ВД. Докажите, что треугольник ОАД равен треугольнику ОВС, треугольник АОС равен треугольнику ВОД. Чему равен САО, если ОВД=45º.
  

• 

  17 слайд

  Основные типы задач
  №3
  Периметр равностороннего треугольника АВС с основанием ВС равен
  60 см, периметр треугольника АСД равен так же 60 см, найдите стороны треугольника АСД если сторона АД треть стороны ДС?
  №4
  В равнобедренном треугольнике ЕНF проведена биссектриса. Докажите, что треугольник EGF равен треугольнику EGH.
  

• 

  18 слайд

  №1
  
  
  Дано:
  АВ=СД,
   СВО=34º.
  Найти:  ДВС.
  Доказать: АВД=СВД.
  
  
  Доказательство: рассмотрим АВД и СВД – они раны по первому признаку, так как АВ=СД по условию,  АВД=ВДС по построению, ВД – общая сторона.
  Решение: так как  СВО=34º, а АВД=90, тогда  ДВС=180º-(90º+34º), отсюда  ДВС=56º.
  Решение задачи.
  В
  Д
  А
  О
  С
  а
  

• 

  19 слайд

  №2
  
  
  
  Дано:
  ОВ=ОА,
  ОВД=45º
  Найти: САО.
  Доказать: ОАД=ОВС,
  АОС=ВОД.
  
  
  Доказательство: рассмотрим ОАД=ОВС по первому признаку, СО=ОД по построению, СОВ=АОД вертикальные углы, АО=ВО по условию. АОС=ВОД раны по первому признаку аналогично.
  Решение: так как АС параллельна ВД, то ОВД=САО=45º, как на крест лежащие.
  
  
  Решение задачи.
  А
  В
  С
  Д
  О
  

• 

  20 слайд

  №3
  
  
  
  Дано: АВС - равносторонний,
  РАВС=60см,, РАДС=60см.
  АД = ДС/3.
  Найти: АД, ДС, АС.
  
  
  
  Решение: так как треугольник АВС равносторонний пусть сторона его равна а, тогда найдем сторону треугольника АВС, 3*а=60, отсюда сторона равна 20 см, найдем стороны треугольника АДС: 20+в/3+в=60, отсюда ДС=30, АД=10,АС=20см.
  
  
  Решение задачи.
  А
  В
  С
  Д
  

• 

  21 слайд

  №4
  
  Дано: EGF-равнобедренный,
  EG – биссектриса.
  Доказать: EGF=EGH.
  
  
  
  
  Доказательство: рассмотрим EGF иEGH, они равны по третьему признаку равенства треугольников, во-первых EG-общая сторона по построению, EF=EH так как EGF-равнобедренный, FG=HG так как высота является медианой в равнобедренном треугольнике.
  
  Решение задачи.
  E
  G
  F
  H
  

• 

  22 слайд

  Задачи для
  самостоятельного решения
  

• 

  23 слайд

  Задачи для
  самостоятельного решения
  №9
  В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС отмечены точки М и N так что ВМ=NC . Докажите, что треугольник ВМN равен треугольнику ВNС.
  №12
  Дан треугольник АВС на стороне АВ взята точка Е так, что АЕ=ВЕ. На стороне ВС взята точка F так, что ВF=FC, на стороне АС точка G так что AG=GC. AB=8смAC=7смBC=5см. Найти периметр треугольника EFG.
  

• 

  24 слайд

  Решение задачи.
  №9
  
  Дано: АВС – равнобедренный,
  BM=NC.
  Доказать: BMN =ВCN.
  
  
  Доказательство: так как BN-общая сторона по построению, BM=NC по условию, и так как MN параллельна ВC из того, что BM=NC, значит
   ВNC= МВN, тогда BMN =ВCN по первому признаку.
  
  
  
  A
  M
  N
  B
  C
  

• 

  25 слайд

  №10
  
  Дано: AB=8см,AC=7см,
  BC=5см, AE=BE,
  CF=BF, AG=CG,
  5
  Найти: PEFG
  
  Решение: т.к. EF, EG, FG – средние линии ABС, то
  
  
  
  Ответ:10см
  
  Решение задачи.
  B
  E
  F
  A
  G
  C
  

• 

  26 слайд

  Глоссарий
  Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  Биссектриса – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершин треугольника с точкой противоположной стороны.
  Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
  Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием
  Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним
  

• 

  27 слайд

  Тест
  1.Что такое перпендикуляр?
  а) Отрезок, проведенный из точки к прямой, если прямая и отрезок перпендикулярны.
  б) Часть прямой.
  в) Единичный отрезок.
  2.Что такое медиана?
  а) отрезок биссектрисы угла треугольника соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
  б) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  в) Отрезок, проведенный из точки, если отрезок к прямой перпендикулярен.
  
  

• 

  28 слайд

  3.Что такое биссектриса?
  а) отрезок биссектрисы угла треугольника соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
  
  б) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  
  в)отрезок, проведенный из точки, если отрезок к прямой перпендикулярен.
  
  4.Как звучит замечательное свойство медианы?
  а) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
  б) Медианы в треугольнике не пересекаются.
  

• 

  29 слайд

  5.Выберите верное свойство.
  а) В равнобедренном треугольнике все углы равны.
  б) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  в) В равнобедренном треугольнике один из углов равен девяносто градусов.
  
  6.Треугольник, у которого все стороны равны называется…
  а) Равнобедренным.
  б) Равносторонним.
  в) Прямоугольным.
  
  

• 

  30 слайд

  7.Выберите правильную теорему.
  а) Из точки не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и при том только один.
  б) Из точки не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к отрезку.
  в) Прямая проведенная из точки не лежащей на прямой является перпендикуляром.
  8.Что такое высота треугольника?
  а) Отрезок биссектрисы угла треугольника соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
  
  б) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  
  в) Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
  
  

• 

  31 слайд

  Ответы на тест
  1.а
  2.б
  3.а
  4.а
  5.б
  6.б
  7.а
  8.в
  

• 

  32 слайд

  Технические средства
  Минимальные требования к системе:
  - Для данной презентации рекомендуется использовать пакет программ Microsoft 2003 года выпуска, при использовании данной презентации в более новой версии последует ряд проблем.
  - Необходимо 256 Мб оперативной памяти.
  - Лучше использовать операционную систему линейки Windows начиная с 98.
  

Краткое описание материала