Презентация по математике на тему " Метод объемов"

• 1 слайд

  Решение задач С-2
  МЕТОДОМ ОБЪЕМОВ
  Составила : учитель математики Воробьева Г.В.
  МБОУСОШ № 150 г. Красноярск.
  

• 2 слайд

  Данный метод применим для задач :
  -нахождение расстояния между двумя скрещивающими прямыми.
  -нахождение расстояния от точки до плоскости.
  Алгоритм метода объемов.
  построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми;
  доказать, что эта высота и есть искомое расстояние;
  найти объём этой пирамиды двумя способами;
  и выразить эту высоту;
  
  

• 3 слайд

  При решении задач данного типа используется следующие утверждение:
  1.Если объем пирамиды АВСD равен V, то расстояние от точки D до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляется по формуле
  
  
  d=
  
  
  
  

• 4 слайд

  2.Расстояние м/у скрещивающими прямыми , содержащими отрезки
  АВ и С D соответственно , можно вычислить по формуле
  Где
  
  
  угол м/у прямыми АВ и С D,
  
  V- объем тетраэдра АВСD
  

• 5 слайд

  Пусть АС и DC1 –
  скрещивающиеся прямые,
  принадлежащие смежным
  граням АВСD и DD1C1C
  соответственно.
  Найдём расстояние
  между ними.
  
  
  
  A1
  B1
  C1
  D1
  A
  B
  C
  D
  

• 6 слайд

  A1
  B1
  C1
  D1
  A
  C
  D
  B
  A1
  B1
  C1
  D1
  A
  C
  D
  B
  Дополнительное построение:
  АВ1 , СВ1 и DВ1.
  Но (DD1С1)║(АА1В1),т.к. дан куб
  DС1 ∈ (DD1С1) DС1║АВ1
  АВ1∈ (АА1В1),
  В результате дополнительных построений мы
  получили пирамиду DAB1C.
  В пирамиде DAB1C, высота, опущенная из
  вершины D на плоскость основания AB1C будет
  являться искомым расстоянием между
  скрещивающимися прямыми АС и DC1.
  Теперь докажем почему.
  
  

• 7 слайд

  Высота, опущенная из вершины D
  на плоскость основания AB1C,
  перпендикулярна плоскости этого
  основания. Значит, она
  перпендикулярна любой прямой
  принадлежащей этой плоскости (по
  определению).
  Но АС ∈ (AB1C )
  AB1 ∈ (AB1C ) h | AB1
  h | (AB1C ) h | АС
  Но, с другой стороны АВ1 ║ DС1
  AB1 | h
  Значит, h | DС1.
  Имеем: h | DС1
  h | АС
  Следовательно, h – общий
  перпендикуляр для скрещивающихся
  прямых АС и DС1.
  Что и требовалось доказать.
  Найдём эту высоту.
  
  A1
  D1
  B
  B1
  C1
  A
  C
  D
  

• 8 слайд

  
  
  A
  B
  C
  D
  A1
  B1
  C1
  D1
  Рассмотрим
  пирамиду B1АCD:
  V1 = ⅓ ·h · SАСD.
  h = B1В = а
  SАСD=½·СD·АD= ½·а2
  Вывод: V1 = ⅓·½·а3
  а
  а
  а
  

• 9 слайд

  Рассмотрим эту же
  пирамиду, но уже с
  вершиной в точке D:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Учитывая, что V1 = V2 ,
  получим d= - искомое расстояние.
  
  
  
  
  
  
  А1
  А
  В
  D
  C
  B1
  C1
  D1
  

• 10 слайд

  2.Расстояние м/у скрещивающими прямыми , содержащими отрезки
  АВ и С D соответственно , можно вычислить по формуле
  Где
  
  
  угол м/у прямыми АВ и С D,
  
  V- объем тетраэдра АВСD
  

• 11 слайд

  Задача № 1
  Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими диагоналями двух соседних граней куба
  РЕШЕНИЕ: Рассмотрим как соседние диагонали куба
  Скрещивающие прямые А 1В и В 1С.
  Найдем расстояние между ними по формуле
  
  , где
  объем тетраэдра
  
  
  a – угол м/у прямыми А 1В и В 1С. Для вычисления угла заменим прямую В 1С прямой А 1D и найдем его из треугольника А 1DВ, т.к. треугольник равноcторонний угол 60 0. Тогда
  
  
  
  
  
  
  d=
  

• 12 слайд

  d=
  d =
  

• 13 слайд

  способ 2( метод координат)
  искомое расстояние –это расстояние от точки C до плоскости ( A1DB)
  вычисляется d =
  пусть уравнение плоскости ( A1DB) :
  Ax + By + Cz+ D =0
  введем систему координат с центром в точке D(0,0,0) тогда
  А1(1,0,1), В(1,1,0) D(0,0.0)
  т.к. точка D принадлежит плоскости
  ( A1DB), то D = 0
  А1 принадлежит плоскости ( A1DB), то А+С =0, С= - А
  В принадлежит плоскости ( A1DB),
  то А+В =0, В= -А
  Значит Ах -Ау –Аz =0 , х-у –z =0
  C(0,1,0) тогда
  Ответ : d=
  

• 14 слайд

  Для решения задач методом объемов используют опорные задачи:
  
  1.Если вершины АВDA1 параллелепипеда ABCDA 1B 1C 1D1 являются вершинами тетраэдра , то имеет место равенство
  VABCA1 = 1/6V ABCDA1B1C1D1
  2.Пусть p и g – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра,
  α- величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле
  
  

• 15 слайд

  1.Если вершины АВDA1 параллелепипеда ABCDA 1B 1C 1D1 являются вершинами тетраэдра , то имеет место равенство
  VABCA1 =
  2.Пусть p и g – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра,
  α- величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле V=
  Опорные задачи
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  
  
  Задача № 2
  Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими прямыми ВA 1 и B 1D.
  (2 способа)
  Способ №1: метод объемов
  Найдем расстояние м/у прямыми ВA1 и B1D.
  
  По формуле
  
  Объем пирамиды 1/6 , угол м/у прямыми 90.
  
  Тогда ВA1 = , B1D=
  
  
  
  d=
  
  

• 18 слайд

• 19 слайд

  Задача №3 (ЕГЭ-2012 г.)
  В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2,боковые ребра 3,точка D- середина ребра СС1 .Найти расстояние от вершины С до плоскости (ADB1). (два способа решения)
  
  Пусть
  Вычислим площади треугольников по 1,5.
  Угол 60 градусов т.к. в основании правильный треугольник. Тогда объем равен
  Расстоянием от точки С до плоскости будет высота пирамиды т.е. перпендикуляр на плоскость (ADB1). Найдем V пирамиды.
  С другой стороны
  

• 20 слайд

  Найдем площадь основания – площадь треугольника АDB1
  Треугольник ADB1 равнобедренный. Сторона AD=DB 1
  
  

• 21 слайд

• 22 слайд

  Задача №4 (ЕГЭ-2012 г.)
  В правильной четырехугольной призме ABCDA 1B 1C 1D1 стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина
  ребра AA1 . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D1).
  

• 23 слайд

  Задача №5
  В правильной шестиугольной призме А – F1 все ребра которой равны 1.
  Найти расстояние между прямыми AB1 и BC1
  

• 24 слайд

  2014г. В-9 Лысенко
  с-2 в прямоугольном параллелепипеде точка F- середина DD1 , точка К- лежит на ребре ad так, что АК:КD=1:3.
  НАЙТИ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ BF и А1K, если АВ= 3,АD = 4, АА1 =2
  
  РЕШЕНИЕ:
  найдем расстояние м/у прямыми ВF и A1 K по формуле
  
  
  
  Найдем объем пирамиды построенной на прямых ВF и A 1K .
  

• 25 слайд

  Найдем площадь треугольника KА1F .
  8-1-1,5 -2=3,5 тогда объем V=1/3·3,5·3=3,5
  Найдем угол м/у прямыми: для этого прямую KА1
  заменим параллельной прямой FE.рассмотрим треугольник BEF
  KА1 = BF = BE =
  
  FE = , найдем косинус угла BFE
  
  
  
  
  
  
  
  
  Тогда расстояние
  
  
  
  
  А1
  К
  F
  E
  A
  

• 26 слайд

  2014 В-10 Лысенко
  С-2 В прямоугольном параллелепипеде точка Е – середина ребра СС1. найти расстояние между АЕ и ВС1, если АВ=3, АD=2, СС1= 4.
  РЕШЕНИЕ:
  Найдем расстояние м/у данными прямыми по формуле
  
  
  Найдем объем пирамиды построенной на данных прямых
  
  
  
  
  Найдем длины прямых АЕ и ВС1,
  
  
  
  
  
  

• 27 слайд

  Для нахождения синуса угла перенесем AE на параллельную ей прямую A2C1.
  Рассмотрим треугольник А2С1В:
  
  
  
  

• 28 слайд

  Прямоугольный  параллелепипед  —  параллелепипед,  все  грани  которого  являются  прямоугольниками. 
  AB=CD=2,  BC=AD=4,  AA1=6.
  Искомым  расстоянием  будет  высота  h  пирамиды  ACD1D,  опущенной  из  вершины  D  на  основание  ACD1  (см. Рис.3).
  Вычислим  объем  пирамиды  ACD1D  двумя  способами.
  Вычисляя,  первым  способом  за  основание  примем  ∆  ACD1,  тогда
  Вычисляя,  вторым  способом  за  основание  примем  ∆  ACD,  тогда
  Приравняем  правые  части  последних  двух  равенств,  получим
  

• 29 слайд

• 30 слайд

• 31 слайд