Презентация по математике на тему "Начальные сведения из теории вероятностей"

• 1 слайд

  Начальные сведения из теории вероятностей
  Вероятность случайного события
  9 класс
  

• 2 слайд

  В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определённые эксперименты.
  Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Например:
  Поражение мишени или промах при выстреле;
  Выигрыш команды во встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат.
  Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.
  Рассмотрим пример. Бросают игральный кубик, на гранях которого выбиты очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. При бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно очко, два очка, три очка и т. д. Каждый из этих исходов является случайным.
  Провели такое испытание. Игральный кубик бросали 100 раз и наблюдали, сколько раз произойдёт событие «на кубике выпало 6 очков». Оказалось, что в этой серии экспериментов «шестёрка» выпала 9 раз. Число 9, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний, равное , называют относительной частотой этого события.
  

• 3 слайд

  Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к числу всех испытаний.
  Обозначим интересующее нас событие буквой А, буквой n общее число испытаний, а буквой m число испытаний, при которых произошло событие А. Число m называют частотой события А, а отношение - относительной частотой.
  Например, при бросании монеты она может упасть кверху орлом или решкой. Если монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, то шансы выпадения орла или решки одинаковы. При небольшом числе испытаний выпадение орла может, например, произойти чаще, чем решки. Однако, если эти испытания проводятся достаточно большое число раз, то относительная частота выпадения орла близка к относительной частоте выпадения решки.
  Из таблицы видно, что относительная частота выпадения орла незначительно отличается от . Говорят, что вероятность выпадения орла близка к .
  

• 4 слайд

  Вообще, если в длинной серии экспериментов со случайными исходами значения относительных частот близки к некоторому определённому числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такое определение называют статистическим определением вероятности.
  Вернёмся к рассматриваемому примеру с бросанием игрального кубика. Говорят, что существует 6 равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5, и 6.
  Рассмотрим событие В, которое означает выпадение числа очков, кратного3. Это событие происходит лишь при двух исходах испытания: когда впало 3 очка и когда выпало 6 очков. Эти испытания называют благоприятными исходами для события В. При бросании кубика из 6 равновозможных исходов испытания благоприятными для события В являются лишь 2 исхода. Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов равно . Это отношение называют
  
  вероятностью события В и пишут:
  Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
  Такое определение называют классическим определением вероятности.
  

• 5 слайд

  Рассмотрим известную задачу Даламбера (1717 – 1783 г.):
  «Найти вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут решки».
  При бросании монет равновозможными являются следующие исходы:
  (о; о), (о; р), (р; р), (р; о).
  Благоприятным для события А, состоящего в том, что оба раза выпадут решки, является один исход. Значит, P(А)= .
  Событие, которое происходит всегда, сколько бы раз ни повторялось испытание, называется достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1.
  Событие, которое не может произойти, называется невозможным событием.
  Вероятность невозможного события равна 0.
  Пусть некоторое испытание имеет n равновозможных исходов, из которых m исходов благоприятны для события А. Тогда . Тогда
  
  

• 6 слайд

  Пример 1.
  Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
  Решение:
  
  Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене 25. Пусть М – событие, заключающееся в том, что ученику достанется на экзамене билет, к которому он не подготовился. Число благоприятных для события M исходов (но не для ученика) равно 25 - (11 + 8), т. е. 6. Значит,
  
  
  

• 7 слайд

  Пример 2.
  Решение:
  Антон и Игорь бросают белый и чёрный игральные кубики и посчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадает 7 очков, то выигрывает Игорь. Является ли такая игра справедливой?
  При бросании кубиков на белом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому числу очков, выпавших на белом кубике, соответствует шесть вариантов числа очков, выпавших на чёрном кубике. Все равновозможные исходы этого испытания приведены в таблице:
  

• 8 слайд

  В каждой паре на первом месте записано число очков, выпавших на белом кубике, а на втором – на чёрном. Общее число равновозможных исходов равно 36.
  Пусть событие А означает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие В означает, что в сумме выпало 7 очков.
  Для события А благоприятными являются следующие 5 исходов:
  (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2),
  Для события В благоприятными являются следующие 6исходов:
  (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1).
  Отсюда:
  
  
  Поэтому шансов выиграть у Игоря больше, чем у Антона. Значит, такая игра не является справедливой.
  
  
  

• 9 слайд

  Пример 3.
  Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 выбранных наугад велосипеда будут без дефектов?
  Решение:
  Пусть А – событие, при котором 2 выбранных велосипеда окажутся без дефектов. Любой выбор 2 велосипедов из 16, является равновозможным исходом. Значит, общее число равновозможных исходов равно числу сочетаний из 16 по 2, т.е. Исходом, благоприятным для события А, является выбор 2 исправных велосипедов из 12 исправных (16-4=12). Значит, число благоприятных для события А исходов равно Отсюда получаем, что
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Пример 4.
  Решение:
  Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирают четырёх дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки?
  Число исходов при выборе 4 дежурных равно Все эти исходы равновозможны.
  Пусть А – событие, при котором выбраны 2 юноши и 2 девушки. Выбрать 2 юношей из 7 можно способами, а выбрать 2 девушек из 4 можно способами. Каждому выбору двух юношей соответствует выборов двух девушек. Значит, число исходов, благоприятных для события А, равно Отсюда получаем, что