Презентация по математике на тему "Наука и мистика чисел в школе Пифагора" (с текстовым сопровождением и видеофрагментом)

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………...3

Школа Пифагора…………………………………………………………………..5

Образ жизни пифагорейцев………………………………………………………9

Крушение союза…………………………………………………………………10

Арифметика пифагорейцев……………………………………………………...10

Геометрическое представление чисел………………………………………….14

Теория отношений целых чисел………………………………………………..19

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата……………………………..20

Золотое сечение………………………………………………………………….22

Афоризмы Пифагора…………………………………………………………….24

Список использованной литературы…………………………………………...25

Наука и мистика чисел в школе Пифагора, геометрические исследования в школе Пифагора.

Пифагор Самосский (около 570 – около 500 до н. э.) – древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель философско-религиозного учения, получившего название пифагореизма. 

Сведения о жизни и учении Пифагора довольно скудны и малодостоверны; их трудно отделить от легенд, представляющих Пифагора как полубога, совершенного мудреца, наследника всей античной и ближневосточной науки, чудотворца и мага. Сам Пифагор не оставил никаких трудов, и все сведения о нём и его учении основываются на устных свидетельствах учеников и последователей.

Пифагор покинул родной остров Самос в 18-летнем возрасте; как считается, в знак протеста против тирании Поликрата. Он посетил в своих путешествиях Египет и Вавилон (позднейшие авторы предполагали, что Пифагор был посвящен в различные тайные доктрины восточных жрецов). В зрелом возрасте (по преданию, на 40-м году жизни) Пифагор поселился в южноиталийском городе Кротоне, где основал закрытое сообщество своих последователей.

Ученики Пифагора образовали братство посвящённых, своего рода религиозный орден, состоящий из отобранных единомышленников, почитавших своего учителя и основателя как высшее существо. Этот орден на какое-то время фактически пришёл в Кротоне к власти, однако в результате антипифагорейских мятежей в конце VI в. до н.э. орден был разгромлен, а Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер.

В религиозно-философской доктрине Пифагора ставилась цель освобождения души путём нравственного и физического очищения. По Пифагору, вечная душа переселяется с небес в тело человека или животного и претерпевает ряд переселений, пока не заслужит права вернуться обратно на небеса. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа; достижение этой цели, по его мнению, возможно лишь там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей.

В своей натурфилософии Пифагор рассматривал мир как закономерное стройное целое, подчиненное законам "гармонии и числа". По-видимому, он был знаком с учениями Анаксимандра и Анаксимена и, подобно последнему, представлял себе мир носящимся в беспредельном воздушном пространстве. Но в противоположность монизму милетской школы Пифагор исходил из предположения о двойственности начал. Гармония, по его мнению, осуществляется в противоположностях, из которых основные – "предел" и "беспредельное". Некоторые из его последователей составили таблицу 10 пар противоположностей, под которые подводилось всё сущее (эту таблицу приводит Аристотель в своей "Метафизике"):
          предел – беспредельное
          нечёт – чёт
          единство – множество
          правое – левое
          мужское – женское
          подающееся – движущееся
          прямое – кривое
          свет – мрак
          добро – зло
          квадрат – продолговатый четырёхугольник

Первый ряд имел у пифагорейцев положительное, активное значение, второй – отрицательное, пассивное.

Важнейшей заслугой пифагорейцев стало выдвижение идеи о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. По мнению Пифагора, в основе всех вещей лежит число, и познать мир – значит познать управляющие им числа. Главной целью изучения чисел и пропорций было для пифагорейцев познание и описание человеческой души. Они считали, что, познав её, они смогут управлять процессом переселения душ с конечной целью отправить душу в некое высшее божественное состояние.

Самым известным в наше время достижением Пифагора является, безусловно, носящая его имя теорема, устанавливающая связь между сторонами прямоугольного треугольника. "Теорема Пифагора" была, по-видимому, известна и до Пифагора, но ему приписывается её доказательство в общем виде.

В области математики Пифагору приписывается также систематическое введение доказательств в геометрию, построение планиметрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников. С именем Пифагора связывают также учение о чётных и нечётных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

Школа Пифагора

Пифагорейский союз,  был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание. 

Основанный Пифагором в италийском городе Кротоне мистико-философский союз, называемый Пифагорийской школой,  был копией арийских школ Индии и Тибета, и нес на себе отпечаток египетских посвящений Тота.Набор учеников школы Пифагор проводил крайне дотошно. Одной из внешних сторон приемных экзаменов было воздержание испытуемого в пище, задержка дыхания под водою, преодоление бегом восьмидесятикилометровой дистанции.

Но все же основными критериями приема в школу были не внешние физические данные, а глубинные черты характера испытуемого, главные из которых — честность, праведность и любовь к окружающему миру. Если человеческий материал оказывался подходящим, то абитуриента допускали к дальнейшим тестам, продолжавшимся более пяти лет. 
Прием в школу проходил в несколько этапов.

Первый этап

• • Пифагор обычно отправлял кандидата обратно, советуя повременить и прийти вновь через три года.

  • Этот внешне очень суровый прием был исполнен глубокого смысла — ведь любой импульс, даже самый прекрасный и чистый, должен пройти испытание временем.

 Второй этап

• • В этот период человек еще не считался учеником Школы и назывался акусматиком («слушателем»). Он слушал, впитывал, осознавал — и все что происходило в молчании.

  • Акусматикам Пифагор «предписывал пятилетнее молчание, испытывая их  способности воздрживаться, так как молчание — наиболее трудный
     вид воздержания. Для интереса — попробуйте помолчать хотя бы день. А потом поделитесь впечатлениями.».

Третий этап 

• Лишь после долгих трех лет напряженной работы акусматик становился настоящим пифагорейцем.

• Теперь он носил звание математика — «познающего».

• На занятиях, которые проводил сам Пифагор или его ближайшие ученики, математикам давалась целостная картина мира, раскрывалось устройство Природы и Человека.

• Обучение математиков проходило в течение долгого времени, но и оно было только подготовкой.

Четвертый этап

• Посвятить себя служению людям, обществу, всем, кто нуждается в помощи и защите — естественный шаг для зрелого философа.

• И когда ученики-математики были готовы к этому, происходил выбор тех направлений и форм, в которых это служение будет осуществляться.

Пятый этап

• Высшей же ступенью в Пифагорийской школе считалось обучение политиков — людей, способных управлять обществом.

• Задача — руководить людьми исходя из общего блага, не идя на поводу ни собственных, ни других интересов.

• Многие ученики пифагора прославились как справедливые законадатели и справедливые хранители законов.

Образ жизни пифагорейцев.

Пифагорейцы вели особый образ жизни, у них имелся свой особый распорядок дня. День пифагорейцам надлежало начинать со стихов:

Прежде, чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,

Думай, раскинь, какие дела тебе день приготовил.

Проснувшись, они проделывали мнемонические упражнения, помогающие запоминать нужные сведения, а затем шли на бе-рег моря встречать восход солнца, обдумывали дела предстоя-щего дня, после чего делали гимнастику и завтракали. Вечером совершалось совместное купание, прогулка, ужин, после чего возлияние богам и чтение. Перед сном каждый давал себе отчет о прошедшем дне, заканчивая его стихами:

Не допускай ленивого сна на усталые очи,
Прежде, чем на три вопроса о деле дневном не ответишь:
Что я сделал? Чего не сделал? Что мне осталось сделать?

Крушение союза

Шло время, пифагорейский союз пришел к политической власти. Но политическая власть предполагает и политических противников. Появилась зависть, обман,недовольство. Однажды во время собрания союза противники подожгли дом,в котором оно проходило. Многие погибли в огне. Пифагору удалось спастись отпреследователей. Оставшись один, он лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения для Пифагора была лишена смысла.

Арифметика пифагорейцев

Арифметика как наука сформировалась в Древней Греции в VI в. до н. э. У ее истоков стоял знаменитый философ и математик Пифагор.

Пифагорейская арифметика отличалась от арифметики практической (последнюю греки относили не к науке, а к ремеслу и называли специальным термином «логистика»). У арифметики и логистики — разные объекты. Первая занималась абстрактными, вторая — именованными числами. Логистику мало интересовали такие общие свойства чисел, как четность или нечетность, простота, разложение на множители и т. д. Для пифагорейской арифметики, наоборот, оказывались интересными именно эти свойства, но она была равнодушна к конкретным способам вычислений.

Пифагорейская арифметика сохраняла тесную связь с арифметикой мифа: числа в ней также получали символическое истолкование. Однако между этими двумя арифметиками было и существенное различие. Пифагор и его ученики считали, что строение мироздания (космоса) и происходящие в нем процессы зависят от свойств чисел и их отношений. Иными словами, число не просто один из элементов мироздания, а его фундамент. Поэтому изучение свойств чисел должно предшествовать изучению природы. Чтобы не упустить свойства, которые могут оказаться важными для описания космоса, пифагорейская арифметика, в отличие от арифметики мифа, интересовалась всеми числами натурального ряда без исключения. Что же касалось символических значений чисел, то ими становились не конкретные представления о пространственно-временном членении (как в мифе), а абстрактные принципы, лежащие в основе мироздания: единое, предел и беспредельное.

Единица у пифагорейцев — символ единого: она недоступна делению на части. Двойка (чет) — символ беспредельного: проходящая через две точки прямая не имеет границ. Тройка (нечет) — символ предела: три точки, не лежащие на одной прямой, определяют треугольник с вершинами в этих точках. Четверка — символ совершенства: четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют пространственное тело с наименьшим числом граней — тетраэдр (треугольную пирамиду). Пифагорейцы считали, что космос возникает из соединения предела и беспредельного под управлением единого, подобно тому как из сочетания тройки (нечет) и двойки (чет) под управлением единицы (единое) появляются числа натурального ряда.

На вопрос о том, как конкретно связаны законы мироздания со свойствами чисел, пифагорейцы отвечали, что миром управляют числовые соотношения, открытые Пифагором в его теории гармонических созвучий. Пифагор заметил, что в основе созвучий лежат следующие соотношения: для октавы — 2:1, для квинты — 3:2, для кварты 4:3 и для двойной октавы — 4:1. При этом указанные соотношения могут относиться к самым разнообразным величинам. Это могут быть соотношения между длинами струн (если речь идет о струнных инструментах), длинами труб (для духовых инструментов) или массами пластинок (для ударных инструментов). Это была по существу первая математическая теория, описывающая физические (акустические) явления. Точное доказательство справедливости гипотезы Пифагора было получено лишь в XIX в.

Почему же мир основывается на музыкальных созвучиях? Пифагорейцы считали, что мир управляется небесными телами, которые являются духовными сущностями — богами. Когда небесные тела несутся с огромной скоростью по небосводу, их движение рождает божественную музыку, подобием которой является музыка земная. Человеческое ухо не слышит божественной музыки, но разум может составить о ней представление, исследуя лежащие в ее основе числовые соотношения. Эти соотношения являются общими и для человеческой, и для божественной музыки. Но если речь идет о законах движения небесных тел, то астрономия, как и музыка, также основывается на соотношениях между числами. Отсюда родился знаменитый пифагорейский тезис: «Всё есть число». Мысль о том, что законы природы написаны на языке математики, сыграла важную роль в развитии астрономии Нового времени. Особое влияние она оказала на научное творчество Галилео Галилея (1564—1642) и Иоганна Кеплера (1571 — 1630).

Наиболее древним разделом пифагорейского учения была теория четных и нечетных чисел, впоследствии изложенная в IX книге «Начал» Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Благодаря использованию основных положений этой теории был получен один из важнейших результатов пифагорейской арифметики — доказана несоизмеримость стороны и диагонали квадрата (см. далее). Теория числовых отношений и делимости чисел имеет более позднее происхождение (она изложена в VII книге «Начал»). Одним из достижений теории делимости является разработка метода нахождения наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида) и наименьшего общего кратного двух чисел.

Среди всех чисел пифагорейцы особо выделяли простые («первые»), которые они определяли как числа, «измеряемые только единицей». Простым числам они противопоставляли составные, «измеряемые некоторым числом». Античные математики уделяли большое внимание учению о простых числах. Ими были доказаны (эти доказательства приведены в IX книге «Начал») такие важные теоремы арифметики, как утверждения о бесконечности простых чисел и единственности разложения числа на простые множители. Древние греки были также знакомы с методом последовательного выделения простых чисел из числового ряда, который в настоящее время называется решетом Эратосфена (Эратосфен — греческий математик, живший в Александрии).

Пифагорейцам принадлежит приоритет в исследовании свойств совершенных и дружественных чисел. Например, они доказали, что всякое число вида (), где () — простое, является совершенным числом (Совершенное число – натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого числа. Дружественные числа — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу). Спустя много веков Рене Декарт (1596—1650) и Леонард Эйлер (1707—1783) доказали, что не существует других четных совершенных чисел, кроме тех, которые содержатся в этой формуле. До сих пор неизвестно, является ли конечным или бесконечным множество четных совершенных чисел, а также существуют ли нечетные совершенные числа.

Геометрическое представление чисел

Древние греки имели обыкновение облекать абстрактные идеи в конкретные образы. В частности, натуральные числа они представляли в виде геометрических тел, составленных из счетных камешков. При таком представлении наглядными становились и арифметические операции. Например, если числа т и п представить как отрезки, составленные из камешков, то их произведение т х п окажется прямоугольником со сторонами т и п (рис.1).

Произведение же трех сомножителей, составленных из камешков, является прямоугольным параллелепипедом.

Пифагорейцы проявляли большой интерес к фигурным числам, получившим свое название от соответствующих геометрических конфигураций. Примерами фигурных чисел служат многоугольные числа, например:

треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. (рис. 2);

квадратные числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. (рис. 3);

пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35 и т. д.

Вообще, k -угольным числом, где k — натуральное, называется число вида

Действительно, нетрудно установить, что при k=3 получаются треугольные числа вида , при k=4 – квадратные числа , при k=5 – пятиугольные числа .

Для того чтобы получить многоугольные числа, нужно просуммировать члены арифметической прогрессии. Если арифметическая прогрессия начинается с 1 и ее разность равна 1, то при суммировании получаются треугольные числа. Если прогрессия начинается с 1, а ее разность равна 2, то получаются квадратные числа. Если же, начинаясь с 1, прогрессия имеет разность 3, то получаются пятиугольные числа и т. д.

Способ построения квадратных чисел позволяет еще раз убедиться в справедливости пифагорейского тезиса о том, что нечетное число есть символ предела или определенности формы. Действительно, как видно на рисунке 33, каждое квадратное число получается из предшествующего прибавлением нечетного числа. Иными словами, прибавление нечетного числа сохраняет квадратную форму фигуры:

1 = 1;

1 + 3 = 4 = 2²;

1 + 3 + 5 = 9 - З²;

1 + 3 + 5 + 7= 16 = 4²;

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²;

………………………………

1 + 3 + 5 + 7 + … + () = (1)

Однако ряд, составленный из четных чисел, таким свойством не обладает. Прибавление четного числа приводит к серии продолговатых чисел (рис. 4) вида п(п + 1) = п² + п, форма которых

постоянно меняется (стремится к форме квадрата при увеличении п):

2 = 2;

2 + 4 = 6 = 2 • 3;

2 + 4 + 6 = 12 = 3 • 4;

2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4- 5;

……………………………

2 + 4 + 6 + 8 + … + 2п = п(п+1) (2)

Представление чисел в виде геометрических конфигураций дает возможность получать наглядные доказательства арифметических тождеств, например,

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + п = (3)

+ + + + + … + = (4)

+ + + + + … + = (5)

Доказательство формулы (3). Как видно из рисунка 2, каждое треугольное число — это половина соответствующего продолговатого числа п(п + 1). С другой стороны, треугольное число есть сумма последовательных натуральных чисел 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... +п. Сопоставляя эти два факта, получаем формулу (3).

Доказательство формулы (4). Оно получается несколько сложнее. Сначала покажем, что

1² + 2² + З² + 4² + ... + п² = (1 + 2 п)(1 + 2 + 3 + 4 + ... + п) (6)

Для доказательства формулы (6) рассмотрим большой прямоугольник, который состоит из (1 + 2 п)(1 + 2 + 3 + 4 + ... + п) камешков. Одна треть всех камешков — белые. Остальные две трети, каждая из которых состоит из серии квадратных чисел 1² , 2² , З² , 4² , … , п² — черные.

Изображенная на рисунке 5 фигура соответствует конкретному значению п = 4 (с помощью аналогичной фигуры доказательство можно обобщить на случай любого п).

Рассмотрим серию черных «квадратов», расположенных в верхней части. Разложим эти квадраты на составляющие их фигурки (пифагорейцы называли их «гномонами»), которые соединим линиями. Легко заметить, что число соединенных линиями черных камешков соответствует числу белых камешков в некотором столбце прямоугольника. Так, в верхней половине прямоугольника находятся четыре фигурки, состоящие из одного камешка, три фигурки, состоящие из трех камешков, две — из пяти камешков и одна — из семи камешков. Это означает, что сумма п последовательных квадратных чисел составляет одну треть числа камешков, из которых состоит большой прямоугольник. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться формулой (3).

Доказательство формулы (5). Будем рассуждать так. Заметим, что куб каждого числа можно представить в виде суммы нечетных чисел следующим образом:

1 = 1, 8 = 3 + 5, 27 = 7 + 9 + 11,

64= 13 + 15 + 17+ 19, ... .

Отсюда, используя формулу (1), находим

1³ + 2³ + З³ + 4³ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 =

= (1 + 2 + 3 + 4)².

Обобщая приведенное рассуждение на любое п, получаем формулу (5).

Кроме «Начал» Евклида, пифагорейская теория чисел была изложена в трактате «Введение в арифметику» греческого математика Никомаха из Геразы (I—II в. н. э.). По латинскому переводу этого трактата, принадлежащему Боэцию (ок. 480—524), пифагорейскую математику в средние века изучали в Западной Европе. Сохранилось более 150 рукописей этого трактата, что свидетельствует о его большой популярности.

Теория отношений целых чисел

Поскольку в математике пифагорейцев единица (как символ единого) считалась неделимой, в ней отсутствовало представление о дробном числе. Вместо дробей греки говорили об отношениях целых чисел.

В настоящее время понятия числа и отношения не различаются; оба они относятся к категории количества. Однако для греков дело обстояло иначе. Например, число 5 считалось отличным от отношения 5:1, так как первое относилось к категории количества, а второе — к категории отношения. Смешивать эти категории было нельзя. Следствием запрета на смешение объектов разных категорий явилось то, что между ними нельзя было поставить знак равенства, т. е. приравнять 5 к 5:1. Различие между числами и отношениями проявлялось также в том, что для отношений, в отличие от чисел, греки не вводили операций сложения и вычитания (подобно тому как это делают в современной арифметике дробей).

Как же строилась тогда теория отношений? Прежде всего вводилось равенство двух отношений (пропорция) — в символической записи А:В = C:D, которое определялось следующим образом.

Говорят, что две пары натуральных чисел А, В и С, D образуют пропорцию, если имеет место одна из трех возможностей:

1) либо А = тВ и С = mD, где т — некоторое натуральное число;

2) либо тА = В и тС = D;

3) либо существуют такие натуральные числа L и М, что одновременно А = mL, В = nL,C = тМ, D = nМ, где m, п — натуральные числа.

Из определения видно, что в основу равенства отношений положено понятие общего делителя, или, как выражались греки, общей меры чисел.

Основной операцией была операция составления отношений, которая позволяла, зная отношения А:В и В:С, построить новое отношение А:С. Нетрудно заметить, что формально операция составления отношения совпадает с произведением дробей в современной арифметике. Различие заключается в том, что для составления отношения сначала было нужно два исходных отношения привести к такому виду, чтобы второй член первого совпадал с первым членом второго. Только после этого можно было записать составное отношение. Для отношений вводились также операции возведения в степень и извлечения корня, которые определялись через операцию составления отношений.

Пифагорейцы уделяли много внимания учению о пропорциях. Именно они с целью изучения музыкальных созвучий ввели в математику три важнейшие пропорции: арифметическую, геометрическую и гармоническую. Так, Пифагор установил, что в унисон со струной длиной 12l звучат струны того же натяжения с длинами 6l (выше на октаву), 8l и 9l (выше на квинту и кварту). При этом 9 есть среднее арифметическое чисел 6 и 12, а 8 — их среднее гармоническое. Действительно, число 8 является средним гармоническим пропорции, т. е. удовлетворяет соотношению

Путь от понятия отношения к понятию дроби (т. е. о рационального числа) был долгим и трудным. В Европе с отношениями как с числами начинают производить операции в средние века. Сначала Боэций, а вслед за ним Кампан Новарский (XIII в.), Иордан Неморарий (ок. 1220), Томас Брадвардин (ок. 1290— 1349) и Никола Орем (1323—1382) перестают различать числа и их отношения при проведении арифметических операций. Однако окончательное сведение чисел к отношениям произошло лишь в XVII в. в работах Исаака Ньютона (1643—1727). Ему принадлежит знаменитое определение, в котором указана принципиальная разница между пифагорейским и современным пониманием числа. «Под числом, — писал Ньютон, — разумеют не собрание многих единиц, а скорее абстрактное отношение одного количества к другому того же рода, которое рассматривается как единица».

Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата

Еще в античности пифагорейскому тезису «Всё есть число» был нанесен сокрушительный удар. Это произошло вследствие открытия несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. Два отрезка называют соизмеримыми, если существует такой третий отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. Если два отрезка соизмеримы, то отношение их длин выражается в виде отношения двух натуральных чисел. Соответственно, два отрезка несоизмеримы, если отношение их величин не выражается в виде отношения чисел. Поскольку пифагорейцы считали, что все в мире подчиняется соотношениям между числами, у них не возникало никакого сомнения в том, что все геометрические величины являются соизмеримыми.

Однако это оказалось не так. В «Началах» Евклида приведена следующая теорема о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Рассмотрим квадрат. Предположим, что отношение его диагонали к стороне можно выразить в виде m:п , где m, п — натуральные взаимно простые числа (иными словами, это отношение — несократимая дробь). Как известно, к такому виду можно привести любое отношение, сократив общие множители числителя и знаменателя. Так как дробь несократима, то одно из чисел m, п обязательно является четным, а другое — нечетным. Согласно теореме Пифагора имеем т² : п² = 2, или, что то же самое, 2п² = т² (1).

Из равенства (1) следует, что т² — четное число, а это возможно только если т является четным. Поскольку число m — четное, оно представимо в виде m = 2р, где р — некоторое натуральное число. Подставив выражение т² = 4р² в формулу (1), получим равенство 2п² = 4р² , из которого следует п²= 2р² , т. е. число п² — четное. Тогда и число п также является четным. Но по условию дробь т:п несократима; значит, числа т и п не могут быть одновременно четными. Полученное противоречие доказывает несоизмеримость диагонали и стороны квадрата. На алгебраическом

языке это означает иррациональность числа .

Впрочем, некоторые исследователи считают, что первый пример несоизмеримых отрезков был получен при изучении отношения, содержащего величину и связанного с построением золотого сечения (см. далее). Как бы то ни было, открытие несоизмеримости величин показало, что мир геометрических форм и их соотношений богаче мира натуральных чисел. Это обстоятельство в конечном итоге подорвало доверие к пифагорейской арифметике как к главной математической науке и способствовало пробуждению интереса к геометрии. Именно в геометрии и были тщательно исследованы несоизмеримые величины: их изучению посвящена X книга «Начал» Евклида.

Золотое сечение

Важное значение в истории мировой культуры играет число, выражающее отношение двух частей отрезка, разделенного золотым сечением. Золотым сечением называется деление отрезка а на две неравные части таким образом, чтобы большая из них была средней пропорциональной между меньшей частью и всем отрезком. Если перевести эту задачу на современный алгебраический язык, то она сводится к решению уравнения

а:х = х:(а - х), т. е. х² + ах – а² = 0, (1)

где а — длина всего отрезка, а х — длина его большей части (рис. 6)

Решив уравнение (1), получаем . Затем находим , а также отношение а : х = ; этой же величине равно и отношение х:(а - х). Итак, число φ = выражает отношение двух частей отрезка, разделенного золотым сечением.

Древние греки хорошо знали золотое сечение и часто использовали его в искусстве и архитектуре. Особое значение имело золотое сечение для пифагорейцев. Дело в том, что эмблемой их тайного братства был правильный пятиугольник, в котором каждый отрезок разделен золотым сечением по отношению к соседнему меньшему (рис. 7):

. (2)

Дуга СВ = 72°; треугольник АСВ подобен треугольнику CDB, следовательно, , но СВ = CD =AD и DB = АВ - AD. Подставляя эти выражения, получаем отношение (2).

Число φ тесно связано с рядом Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Ряд (правильнее — последовательность) Фибоначчи определяется с помощью рекуррентной формулы: каждый последующий его член (кроме первых двух) равен сумме двух предыдущих:

.

По мере возрастания ряда Фибоначчи отношение двух последовательных его членов стремится к величине φ. Иначе говоря,

.

Ряд Фибоначчи впервые появился на страницах «Книги абака» (1202) Леонардо Пизанского (1180 — после 1240) по прозвищу Фибоначчи (т. е. сын

Боначчи).

Афоризмы Пифагора.

• Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне. Первым твоим законом должно быть уважение к себе самому.

• Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за прошедший день.

• Неразумные при выпивании вина доходят до опьянения, а при несчастьях — до совершенной потери ума.

• Полезнее наобум бросить камень, чем пустое слово.

•  Берегите слезы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле.

• Благоразумная супруга! Если желаешь, чтобы муж твой свободное время проводил подле тебя, то постарайся, чтоб он ни в каком ином месте не находил столько приятности, удовольствия, скромности и нежности.

• Делай великое, не обещая великого.

•  Жизнь подобна игрищам: иные приходят на них состязаться, иные — торговать, а самые счастливые — смотреть.

Список использованной литературы:

1. Большая советская энциклопедия. В 30 тт.

2. Энциклопедический словарь. Брокгауз Ф.А., Ефрон И.А. В 86 тт.

3. Интернет-ресурс Matemat.me. Помощь учащимся в закреплении наук постигаемых http://matemat.me/2013/01/школа-пифагора/

4. Википедия, свободная энциклопедия https://ru.wikipedia.org/wiki

5. А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. Дополнительные материалы к уроку математики. Избранные темы школьного курса. Исторические очерки. 5-11 классы. М.:Дрофа, 2002. – 224 с.

25

• 1 слайд

  Наука и мистика чисел в школе Пифагора. Геометричсекие исследования в школе Пифагора

• 2 слайд

  Пифагор Самосский (около 570 – около 500 до н. э.) – древнегреческий мыслитель, религиозный и политический деятель, основатель философско-религиозного учения, получившего название пифагореизма.  Бюст Пифагора в Капитолийском музее в Риме

• 3 слайд

• 4 слайд

  В зрелом возрасте (по преданию, на 40-м году жизни) Пифагор поселился в южноиталийском городе Кротоне, где основал закрытое сообщество своих последователей. Город Кротоне

• 5 слайд

  10 пар противоположностей, под которые подводилось всё сущее: предел – беспредельное нечёт – чёт единство – множество правое – левое мужское – женское подающееся – движущееся прямое – кривое свет – мрак добро – зло квадрат – продолговатый четырёхугольник

• 6 слайд

  Школа Пифагора

• 7 слайд

  Первый этап Пифагор обычно отправлял кандидата обратно, советуя повременить и прийти вновь через три года. Этот внешне очень суровый прием был исполнен глубокого смысла — ведь любой импульс, даже самый прекрасный и чистый, должен пройти испытание временем.

• 8 слайд

  Второй этап В этот период человек еще не считался учеником Школы и назывался акусматиком («слушателем»). Он слушал, впитывал, осознавал — и все что происходило в молчании. Акусматикам Пифагор «предписывал пятилетнее молчание, испытывая их  способности воздрживаться, так как молчание — наиболее трудный вид воздержания. Для интереса — попробуйте помолчать хотя бы день. А потом поделитесь впечатлениями.».

• 9 слайд

  Третий этап Лишь после долгих трех лет напряженной работы акусматик становился настоящим пифагорейцем. Теперь он носил звание математика — «познающего». На занятиях, которые проводил сам Пифагор или его ближайшие ученики, математикам давалась целостная картина мира, раскрывалось устройство Природы и Человека. Обучение математиков проходило в течение долгого времени, но и оно было только подготовкой.

• 10 слайд

  Четвертый этап Посвятить себя служению людям, обществу, всем, кто нуждается в помощи и защите — естественный шаг для зрелого философа. И когда ученики-математики были готовы к этому, происходил выбор тех направлений и форм, в которых это служение будет осуществляться.

• 11 слайд

  Пятый этап Высшей же ступенью в Пифагорийской школе считалось обучение политиков — людей, способных управлять обществом. Задача — руководить людьми исходя из общего блага, не идя на поводу ни собственных, ни других интересов. Многие ученики пифагора прославились как справедливые законадатели и справедливые хранители законов.

• 12 слайд

  Образ жизни пифагорейцев

• 13 слайд

  Начало дня: Прежде, чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, Думай, раскинь, какие дела тебе день приготовил.

• 14 слайд

  Завершение дня: Не допускай ленивого сна на усталые очи, Прежде, чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: Что я сделал? Чего не сделал? Что мне осталось сделать?

• 15 слайд

  Арифметика пифагорейцев Пифагорейская арифметика отличалась от арифметики прак­тической (последнюю греки относили не к науке, а к ремеслу и называли специальным термином «логистика») Пифагорейская арифметика сохраняла тесную связь с ариф­метикой мифа: числа в ней также получали символическое ис­толкование.

• 16 слайд

  Единица у пифагорейцев — символ единого: она недоступна делению на части. Двойка (чет) — символ беспредельного: проходящая через две точки прямая не имеет границ. Тройка (нечет) — символ предела: три точки, не лежащие на одной прямой, опре­деляют треугольник с вершинами в этих точках. Четверка — символ совершенства: четыре точки, не лежащие в одной плоскости, определяют пространственное тело с наименьшим числом граней — тетраэдр (треугольную пирамиду)

• 17 слайд

  Пифагор заметил, что в основе созвучий лежат следующие соотношения: для октавы - 2:1 для квин­ты - 3:2 для кварты - 4:3 для двойной октавы - 4:1

• 18 слайд

• 19 слайд

  Наиболее древним разделом пифагорейского учения была теория четных и нечетных чисел, впоследствии изложенная в IX книге «Начал» Евклида (ок. 300 г. до н. э.)

• 20 слайд

  Пифагорейцам принадлежит приоритет в исследовании свойств совершенных и дружественных чисел * Совершенное число – натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (то есть всех положительных делителей, отличных от самого числа.

• 21 слайд

  Геометрическое представление чисел Древние греки натуральные числа представляли в виде геометрических тел, составленных из счетных камешков. Если числа т и п предста­вить как отрезки, составленные из камешков, то их произведение т х п окажется прямоугольником со сторонами т и п

• 22 слайд

  Пифагорейцы проявляли большой интерес к фигурным чис­лам, получившим свое название от соответствующих геометри­ческих конфигураций. Примерами фигурных чисел служат мно­гоугольные числа, например треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. (рис. 2);

• 23 слайд

  Квадратные числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. (рис. 3);

• 24 слайд

  Вообще, k -угольным числом, где k — натуральное, называется число вида

• 25 слайд

  Теория отношений целых чисел Поскольку в математике пифагорейцев единица (как символ единого) считалась неделимой, в ней отсутствовало представле­ние о дробном числе. Вместо дробей греки говорили об отношениях целых чисел.

• 26 слайд

  Как же строилась тогда теория отношений? Прежде всего вводилось равенство двух отношений (пропорция) — в символической записи А:В = C:D, которое определялось следующим образом. Говорят, что две пары натуральных чисел А, В и С, D образуют пропорцию, если имеет место одна из трех возможностей: 1) либо А = тВ и С = mD, где т — некоторое натуральное число; 2) либо тА = В и тС = D; 3) либо существуют такие натуральные числа L и М, что одновременно А = mL, В = nL,C = тМ, D = nМ, где m, п — натуральные числа.

• 27 слайд

  Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата Два отрезка называют соизмеримыми, если существует такой третий отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. Если два отрезка соизмеримы, то отношение их длин выражается в виде отношения двух натуральных чисел. Соответственно, два отрезка несоизмеримы, если отношение их величин не выражает­ся в виде отношения чисел.

• 28 слайд

  Золотое сечение Золотым сечением называется деление отрезка а на две неравные части таким образом, чтобы большая из них была средней пропорциональной между меньшей частью и всем отрезком.

• 29 слайд

  Древние греки хорошо знали золотое сечение и часто использовали его в искусстве и архитектуре. Особое значение имело золотое сечение для пифагорейцев.