Презентация по математике на тему "Основные свойства функций. Возрастание и убывание функций. Экстремумы"

• 1 слайд

  Основные свойства функций
  Возрастание и убывание функций. Экстремумы
  

• 2 слайд

  Возрастание и убывание функций
  Вы уже знакомы с понятием возрастающей и убывающей функций. Так, на рисунке 39 изображён график функции, определённой на интервале −1; 10 . Эта функция возрастает на отрезках −1; 3 и 4; 5 , убывает на отрезках 3;4 и 5;10 . Известно, что функция 𝑦= 𝑥 2 убывает на промежутке −∞; 0 и возрастает на промежутке 0; ∞ . График этой функции при изменении 𝑥 от −∞ до ∞ сначала «опускается» до нуля (значение функции в точке 𝑂 равно нулю), а затем «поднимаемся» до бесконечности (см. рис. 20).
  
  
  
  
  
  Рис. 39
  О п р е д е л е н и е. Функция 𝒇 возрастает на множестве 𝑷, если для любых 𝒙 𝟏 и 𝒙 𝟐 из множества 𝑷, таких, что 𝒙 𝟐 > 𝒙 𝟏 , выполнено неравенство 𝒇 𝒙 𝟐 >𝒇 𝒙 𝟏 .
  О п р е д е л е н и е. Функция 𝒇 убывает на множестве 𝑷, если для любых 𝒙 𝟏 и 𝒙 𝟐 из множества 𝑷, таких, что 𝒙 𝟐 > 𝒙 𝟏 , выполнено неравенство 𝒇 𝒙 𝟐 <𝒇 𝒙 𝟏 .
  Иными словами, функция 𝑓 называется возрастающей на множестве 𝑃, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция 𝑓 называется убывающей на множестве 𝑃, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  ⃝ П р и м е р 1. Докажем, что функция 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 𝒏∈𝑵 при нечётном 𝑛 возрастает на всей числовой прямой, а при чётном 𝑛 функция 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 возрастает на промежутке 0; ∞ и убывает на промежутке −∞; 0 .
  Докажем сначала, что функция 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 возрастает на промежутке 0; ∞ при любом натуральном 𝑛. Пусть 𝑥 2 > 𝑥 1 ≥0. Тогда по свойству степени 𝑥 2 𝑛 > 𝑥 1 𝑛 . Теперь рассмотрим случай чётного 𝑛. Пусть 𝑥 1 < 𝑥 2 ≤0. Тогда − 𝑥 1 >− 𝑥 2 ≥0 и − 𝑥 1 ⁿ> − 𝑥 2 ⁿ≥0, т. е. 𝑥 1 𝑛 > 𝑥 2 𝑛 . Тем самым доказано, что функция 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 убывает −∞; 0 при чётном 𝑛. Осталось рассмотреть случай нечётного 𝑛. Если 𝑥 1 <0< 𝑥 2 , то 𝑥 1 𝑛 <0< 𝑥 2 𝑛 . Если 𝑥 1 < 𝑥 2 ≤0, то − 𝑥 1 >− 𝑥 2 ≥0 и потому − 𝑥 1 ⁿ> − 𝑥 2 ⁿ≥0, т. е. − 𝑥 1 𝑛 >− 𝑥 2 𝑛 , откуда следует, что 𝑥 2 𝑛 > 𝑥 1 𝑛 . Итак, доказано, что для нечётного 𝑛 из неравенства 𝑥 2 > 𝑥 1 следует неравенство 𝑥 2 𝑛 > 𝑥 1 𝑛 . Согласно определению функция 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 при нечётном 𝑛 возрастает на всей числовой прямой.
  ⃝ П р и м е р 2. Докажем, что если функция 𝑦=𝑓 𝑥 возрастает на множестве 𝑃, то функция 𝑦=−𝑓 𝑥 убывает на множестве 𝑃. Пусть 𝑥 1 и 𝑥 2 ‒ любые два числа из множества 𝑃, такие, что 𝑥 2 > 𝑥 1 . Надо доказать, что −𝑓 𝑥 2 <−𝑓 𝑥 1 , т. е. 𝑓 𝑥 1 <𝑓 𝑥 2 . Но это ‒ очевидное следствие условия: 𝑓
  

• 3 слайд

  Возрастание и убывание функций (продолжение)
  возрастает на множестве 𝑃.
  ⃝ П р и м е р 3. Функция 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 убывает на каждом из промежутков −∞;0 и 0;∞ (докажите самостоятельно). Однако эта функция не является убывающей на объединении этих промежутков. Например, 1>−1, но 𝑓 1 >𝑓 −1 .
  При исследовании функций на возрастание и убывание принято указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти промежутки). Так, можно было сказать, что функция 𝑓 𝑥 1 𝑥 убывает на отрезке 2;100 . Это верно, но такой ответ неполон.
  З а м е ч а н и е. Для чётных и нечётных функций задача нахождения промежутков возрастания и убывания несколько упрощается: достаточно найти эти промежутки при 𝑥≥0 (рис. 40).
  
  
  
  
  
  
  Рис. 40
  Пусть, например функция 𝑓 чётна и возрастает на промежутке 𝑎;𝑏 , где 𝑏>𝑎≥0. Докажем, что эта функция убывает на промежутке −𝑏;−𝑎 .
  Действительно, пусть −𝑎≥ 𝑥 2 > 𝑥 1 ≥−𝑏. Тогда 𝑓 − 𝑥 2 =𝑓 𝑥 2 , 𝑓 − 𝑥 1 =𝑓 𝑥 1 , причём 𝑎≤− 𝑥 2 <− 𝑥 1 ≤𝑏, и поскольку 𝑓 возрастает на 𝑎;𝑏 , имеем 𝑓 − 𝑥 1 >𝑓 − 𝑥 2 , т. е. 𝑓 𝑥 1 >𝑓 𝑥 2 .
  

• 4 слайд

  Возрастание и убывание тригонометрических функций
  Докажем сначала, что синус возрастает на промежутках − 𝜋 2 +2𝜋𝑛; 𝜋 2 +2𝜋𝑛 , 𝑛∈𝒁. В силу периодичности синуса доказательство достаточно провести для отрезка − 𝜋 2 ; 𝜋 2 . Пусть 𝑥 1 > 𝑥 2 . Применяя формулу разности синусов, находим:
  (1)
  Из неравенства − 𝜋 2 ≤ 𝑥 1 < 𝑥 2 ≤ 𝜋 2 следует, что 0< 𝑥 2 − 𝑥 1 2 ≤ 𝜋 2 и − 𝜋 2 < 𝑥 1 + 𝑥 2 2 < 𝜋 2 .
  Поэтому cos 𝑥 1 + 𝑥 2 2 >0, sin 𝑥 2 − 𝑥 1 2 >0. Из (1) вытекает, что разность sin 𝑥 2 − sin 𝑥 1 . Тем самым доказано, что синус возрастает на указанных промежутках. Аналогично доказывается, что промежутки 𝜋 2 +2𝜋𝑛; 3𝜋 2 +2𝜋𝑛 , 𝑛∈𝒁, являются промежутками убывания синуса.
  Заметим, что полученный результат легко проиллюстрировать с помощью единичной окружности: если − 𝜋 2 ≤ 𝑡 1 < 𝑡 2 ≤ 𝜋 2 , то точка 𝑃 𝑡 2 имеет, соответственно, ординату, большую, чем ордината точки 𝑃 𝑡 1 (рис. 41, а). Если 𝜋 2 ≤ 𝑡 1 < 𝑡 2 ≤ 3𝜋 2 , то ордината точки 𝑃 𝑡 2 меньше ординаты точки 𝑃 𝑡 1 (рис. 41, б).
  Промежутками возрастания косинуса являются отрезки −𝜋+2𝜋𝑛;2𝜋𝑛 , где 𝑛∈𝒁, а промежутками убывания ‒ отрезки 2𝜋𝑛; 𝜋+2𝜋𝑛 , где 𝑛∈𝒁. Доказательство можно провести примерно так же, как и в случаи синуса. Проще же воспользоваться формулой приведения cos 𝑥 = sin 𝑥+ 𝜋 2 . Из неё сразу следует, например, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки, полученные из промежутков возрастания синуса сдвигом на 𝜋 2 влево.
  
  
  
  
  
  
  Рис. 41
  Докажем, что функция тангенс возрастает на промежутках − 𝜋 2 +𝜋𝑛; 𝜋 2 +𝜋𝑛 , где 𝑛∈𝒁. В силу периодичности тангенса доказательство достаточно провести для интервала − 𝜋 2 ; 𝜋 2 .
  Пусть 𝑥 1 и 𝑥 2 ‒ произвольные числа из этого интервала, такие, что 𝑥 2 > 𝑥 1 . Надо доказать, что tan 𝑥 2 > tan 𝑥 1 . Имеем tan 𝑥 2 − tan 𝑥 1 = sin 𝑥 2 cos 𝑥 2 − sin 𝑥 1 cos 𝑥 1 = sin 𝑥 2 cos 𝑥 1 − sin 𝑥 1 cos 𝑥 2 cos 𝑥 2 cos 𝑥 1 = sin 𝑥 2 − 𝑥 1 cos 𝑥 2 cos 𝑥 1 .
  

• 5 слайд

  Возрастание и убывание тригонометрических функций (продолжение)
  По предположению − 𝜋 2 < 𝑥 1 < 𝑥 2 < 𝜋 2 . Поэтому cos 𝑥 1 >0, cos 𝑥 2 >0. А так как 0< 𝑥 2 − 𝑥 1 <𝜋, то sin 𝑥 2 − 𝑥 1 >0. Следовательно, tan 𝑥 2 − tan 𝑥 1 >0, т. е. tan 𝑥 2 > tan 𝑥 1 , что и требовалось доказать.
  Аналогично доказывается, что cot убывает на промежутках 𝜋𝑛; 𝜋+𝜋𝑛 , где 𝑛∈𝒁.
  

• 6 слайд

  Экстремумы
  При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности. Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал 2;6 ‒ одна из окрестностей точки 3, интервал −3,3;−2,7 ‒ окрестность точки ‒ 3.
  Изучая график рисунка 39, можно прийти к выводу, что наиболее «заметными» точками области определения являются такие точки 𝑥, в которых возрастание функции сменяется убыванием (точки 3 и 5) или, наоборот, убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками максимума 𝑥 max =3 и 𝑥 max =5 и минимума 𝑥 min =4 .
  При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти такие точки. Например, для функции sin это точка вида ± 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛∈𝒁. Возьмём для определённости 𝑥 0 = 𝜋 2 . Эта точка является правым концом промежутка возрастания синуса, и поэтому 1 sin 𝑥 0 > sin 𝑥 , если − 𝜋 2 ≤𝑥< 𝜋 2 . Кроме того, 𝑥 0 = 𝜋 2 ‒ левый конец промежутка убывания, и следовательно, sin 𝑥 < sin 𝑥 0 при 𝜋 2 <𝑥≤ 3𝜋 2 . Итак, sin 𝜋 2 > sin 𝑥 для любого 𝑥, лежащего в окрестности − 𝜋 2 ; 3𝜋 2 точки 𝑥 0 = 𝜋 2 , и поэтому 𝑥 0 = 𝜋 2 ‒ точка максимума функции синус.
  В точке − 𝜋 2 , наоборот, убывание функции меняется на возрастание (слева от − 𝜋 2 функция убывает, а справа возрастает). Рассуждая аналогично, получаем, что sin 𝑥 > sin − 𝜋 2 =−1 в некоторой окрестности точки − 𝜋 2 , и поэтому − 𝜋 2 ‒ точка минимума функции синус. Дадим точные определения точек экстремума.
  О п р е д е л е н и е. Точка 𝒙 𝟎 называется точкой минимума функции 𝒇, если для всех 𝒙 из некоторой окрестности 𝒙 𝟎 выполнено неравенство 𝒇 𝒙 ≥𝒇 𝒙 𝟎 (рис. 42).
  
  
  
  
  
  
  Рис. 42
  О п р е д е л е н и е. Точка 𝒙 𝟎 называется точкой максимума функции 𝒇, если для всех 𝒙 из некоторой окрестности 𝒙 𝟎 выполнено неравенство 𝒇 𝒙 ≤𝒇 𝒙 𝟎 (рис. 43).
  По определению значение функции 𝑓 в точке максимума 𝑥 0 является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности 𝑥 0 , как правило, имеет вид гладкого «холма»
  

• 7 слайд

  Экстремумы (продолжение)
  (рис. 43, а и рис. 44 ‒ точки 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) или заострённого «пика» (рис. 43, б).
  
  
  
  
  
  
  Рис. 43
  
  
  
  
  
  
  Рис. 44
  В окрестности точки минимума графики, как правило, изображаются в виде «впадины», тоже или гладкой (рис. 42, б ‒ точка 𝑥 0 , рис. 44 ‒ точки 𝑥 4 , 𝑥 5 ), или заострённой (рис. 42, а ‒ точка 𝑥 0 и рис. 44 ‒ точка 𝑥 6 ).
  Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунках 45 (а ‒ точка максимума), 46 (а ‒ точка минимума) и 47 (здесь каждая точка промежутка −1;0) является как точкой минимума, так и точкой максимума).
  
  
  
  
  Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47
  Для точек максимума и минимума функции принято общее название ‒ их называют точками экстремума. Значение функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название ‒ экстремум функции). Точки максимума обозначают 𝑥 max , а точки минимума 𝑥 min . Значения функции в этих точках обозначаются соответственно 𝑦 max и 𝑦 min .