Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Математика ПрезентацииПрезентация по математике на тему " Отбор корней в тригонометрических уравнениях "(10-11 классы)

Презентация по математике на тему " Отбор корней в тригонометрических уравнениях "(10-11 классы)

библиотека
материалов
ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ Презентацию разработала учитель...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ Презентацию разработала учитель
Описание слайда:

ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.

2 слайд Расскажем, как можно решить такую проблему. Первый метод нахождения подходящ
Описание слайда:

Расскажем, как можно решить такую проблему. Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: - найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений. Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности. Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями. Рассмотрим пример : 21k - 24n = 8 и решим его первым способом. Набольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

3 слайд Покажем, как искать решения. Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для начала подел
Описание слайда:

Покажем, как искать решения. Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для начала поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную: 3. Выделим в этой дроби целую часть: Обозначим , или 17 n – 3 = 22t. Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

4 слайд 5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: вырази
Описание слайда:

5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть: 6. Обозначим , или 5t + 3 =17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s: 7. Обозначим , или 5v = 2s – 3. Выразим s через v:

5 слайд Обозначим , или v = 2u – 3. Чтобы получить решения исходного уравнения, нам о
Описание слайда:

Обозначим , или v = 2u – 3. Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t, k через n. 10. Отправимся в обратный путь: v = 2u – 3

6 слайд Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27, где u – произвольное це
Описание слайда:

Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27, где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44k + 6 = 166n для некоторого n∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83u – 102, где u∊ Z . Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется алгоритмом Евклида.

7 слайд Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахожден
Описание слайда:

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π(a+bn) и π(c+dk), где a, b, c, d - фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения. Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1) с рациональными коэффициентами a, b, c, d. Решаем вторым способ уравнение(1)-на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов. Например, решить уравнения: а) б)

8 слайд в) если НОД (u,v) больше 1, то (1) не имеет решений; б) если НОД (u, v) = 1.
Описание слайда:

в) если НОД (u,v) больше 1, то (1) не имеет решений; б) если НОД (u, v) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение (n₀, k₀) уравнения (2), т.е. такую пару целых чисел (n₀, k₀), для которых выполняется равенство un₀ + vk₀ = w ; г) запишем решение уравнения (1) в виде: или а) уравнение (1) приведем к виду un + vk = w (2) где u, v, w – фиксированные целые числа и их НОД (u, v, w ) = 1; Изложим общие этапы решения уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1):

9 слайд Пример 1. Решить в целых числах уравнение Решение. Приведем это уравнение к
Описание слайда:

Пример 1. Решить в целых числах уравнение Решение. Приведем это уравнение к виду (2): -12n + 5k = 3. Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z. Ответ: n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z. Пример 2. Решить в целых числах уравнение Решение. Приведем это уравнение к виду (2): 6n - 40k = 7. Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет. Ответ: нет решений. Рассмотрим два примера.

10 слайд Пример 1. Объединить семейства значений. Рассмотрим примеры отбора корней на
Описание слайда:

Пример 1. Объединить семейства значений. Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности. Тогда ответ можно записать более компактно: x2 Отметим на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками, (где x1 и x2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

11 слайд x1= , x2= Решение. I способ. Нанесем на окружности значения x1 – кружками, x2
Описание слайда:

x1= , x2= Решение. I способ. Нанесем на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками. Значения x = πm являются повторяющимися. а) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков: Пример 2. Объединить семейства значений.

12 слайд Решим относительно k. Получим , при n=4 m значения k будут целыми. Таким обра
Описание слайда:

Решим относительно k. Получим , при n=4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся. Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение 2 способ. Аналитическое решение.

13 слайд При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригономе
Описание слайда:

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π. В таких случаях удобнее применять аналитический способ. Пример: Решение: заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

14 слайд В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно,
Описание слайда:

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдём такие целые k, при которых x=π+2πk имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠3πn, n∊ Z. Ответ: x=π+2πk, где k≠3m+1, m∊ Z или x=π+6πm, x=3π+6πm, m ∊ Z. Пусть π+2πk=3πn; 1+2k=3n. Отсюда k=(3n-1):2 = (2n+n-1):2 = n+(n-1):2. Пусть m=(n-1):2. Тогда 2m=n-1. Отсюда n=2m+1. Следовательно k=(3(2m+1)-1):2=(6m+3-1):2=3m+1. Итак, посторонние корни в серии x=π+2πk будут при k=3m+1,m∊ Z.

15 слайд ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА: Находится наименьший общий период всех т
Описание слайда:

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА: Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются. Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные. Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

16 слайд Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

Данная презентация  расскажет, как можно решить такую проблему.

  Первый метод   нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых  уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо:

- найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ;

- попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом).

Изложенный способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется    алгоритмом Евклида.

 Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений.

 Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности.

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является  нахождение пересечения  двух  множеств  углов  π(a+bn) и π(c+dk), где  abcd -  фиксированные рациональные числа; nk – переменные, принимающие целочисленные значения.

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π. В таких случаях удобнее применять аналитический способ.

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:

1.     Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение.

2.     На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются, находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются).

3.     Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются.

4.     Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные.

5.     Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

 

 

Проверен экспертом
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.