Инфоурок Математика ПрезентацииПрезентация по математике на тему " Отбор корней в тригонометрических уравнениях "(10-11 классы)

Презентация по математике на тему " Отбор корней в тригонометрических уравнениях "(10-11 классы)

Скачать материал
Скачать материал "Презентация по математике на тему " Отбор корней в тригонометрических уравнениях "(10-11 классы)"

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Менеджер образования

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХПрезентацию  разработала 
учител...

    1 слайд

    ОТБОР КОРНЕЙ
    В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
    Презентацию разработала
    учитель математики МБОУ СОШ №4
    г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области
    Литвинченко Л.В.

  • Расскажем, как можно решить такую проблему.
  Первый метод   нахождения подх...

    2 слайд

    Расскажем, как можно решить такую проблему.
    Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо:
    - найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ;
    попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом).
    Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений.
    Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности.
    Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями.
    Рассмотрим пример : 21k - 24n = 8 и решим его первым способом.
    Набольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

  • Покажем, как искать решения.         Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для нача...

    3 слайд

    Покажем, как искать решения.
    Решим уравнение 166n - 44k = 6.
    Для начала поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3.
    Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при
    которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную:
    3. Выделим в этой дроби целую часть:
    Обозначим , или 17 n – 3 = 22t.

    Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

  • 5.    Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выр...

    4 слайд

    5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:
    6. Обозначим , или 5t + 3 =17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:
    7. Обозначим , или 5v = 2s – 3. Выразим s через v:

  • Обозначим                       , или v = 2u – 3.  Чтобы получить решения исх...

    5 слайд

    Обозначим , или v = 2u – 3.
    Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t, k через n.
    10. Отправимся в обратный путь:
    v = 2u – 3

  • Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27,
 где u – произв...

    6 слайд

    Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27,
    где u – произвольное целое число.
    Стало быть ответ таков: 44k + 6 = 166n для некоторого n∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83u – 102, где u∊ Z .
    Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется
    алгоритмом Евклида.

  • Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является  нахожде...

    7 слайд

    Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π(a+bn) и π(c+dk), где a, b, c, d - фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения.
    Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения
    π(a+bn) = π(c+dk)(1)
    с рациональными коэффициентами a, b, c, d.
    Решаем вторым способ уравнение(1)-на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов.
    Например, решить уравнения: а)


    б)

  • в) если НОД (u,v) больше 1, то (1)  не имеет решений;     б)   если  НОД (...

    8 слайд

    в) если НОД (u,v) больше 1, то (1) не имеет решений;
    б) если НОД (u, v) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение (n₀, k₀) уравнения (2), т.е. такую пару целых чисел (n₀, k₀), для которых выполняется равенство un₀ + vk₀ = w ;
    г) запишем решение уравнения (1) в виде:

    или
    а) уравнение (1) приведем к виду
    un + vk = w (2)
    где u, v, w – фиксированные целые числа и их НОД (u, v, w ) = 1;
    Изложим общие этапы решения уравнения
    π(a+bn) = π(c+dk) (1):

  • Пример 1. Решить в целых числах уравнение      Решение.   Приведем это...

    9 слайд

    Пример 1. Решить в целых числах уравнение
    Решение. Приведем это уравнение к виду (2):
    -12n + 5k = 3.
    Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z.
    Ответ: n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t ∊ Z.
    Пример 2. Решить в целых числах уравнение

    Решение. Приведем это уравнение к виду (2):
    6n - 40k = 7.
    Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет.
    Ответ: нет решений.
    Рассмотрим два примера.

  • Пример 1.      Объединить семейства значений.Рассмотрим примеры отбора корне...

    10 слайд

    Пример 1. Объединить семейства значений.

    Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности.
    Тогда ответ можно записать более компактно: x2
    Отметим на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками, (где x1 и x2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

  • x1=              ,  x2=  Решение. I способ.      Нанесем на окружности значен...

    11 слайд

    x1= , x2=
    Решение. I способ.
    Нанесем на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками. Значения x = πm являются повторяющимися.
    а) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так:

    б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков:


    Пример 2. Объединить семейства значений.

  • Решим относительно  k.  Получим                     , при n=4 m значения k бу...

    12 слайд

    Решим относительно k. Получим , при n=4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся.


    Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение



    2 способ. Аналитическое решение.

  • При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тр...

    13 слайд

    При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π.
    В таких случаях удобнее применять аналитический способ.
    Пример:
    Решение: заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

  • В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудоб...

    14 слайд

    В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдём такие целые k, при которых x=π+2πk имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠3πn, n∊ Z.
    Ответ: x=π+2πk, где k≠3m+1, m∊ Z или
    x=π+6πm, x=3π+6πm, m ∊ Z.
    Пусть π+2πk=3πn; 1+2k=3n.
    Отсюда k=(3n-1):2 = (2n+n-1):2 = n+(n-1):2.
    Пусть m=(n-1):2.
    Тогда 2m=n-1.
    Отсюда n=2m+1.
    Следовательно k=(3(2m+1)-1):2=(6m+3-1):2=3m+1.
    Итак, посторонние корни в серии x=π+2πk будут при k=3m+1,m∊ Z.

  • ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:Находится наименьший общий период всех тр...

    15 слайд

    ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:
    Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение.
    На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются).
    Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются.
    Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные.
    Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

  • Спасибо за внимание!

    16 слайд

    Спасибо за внимание!

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Данная презентация  расскажет, как можно решить такую проблему.

  Первый метод   нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых  уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо:

- найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ;

- попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом).

Изложенный способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется    алгоритмом Евклида.

 Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений.

 Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности.

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является  нахождение пересечения  двух  множеств  углов  π(a+bn) и π(c+dk), где  abcd -  фиксированные рациональные числа; nk – переменные, принимающие целочисленные значения.

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π. В таких случаях удобнее применять аналитический способ.

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:

1.     Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение.

2.     На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются, находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются).

3.     Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются.

4.     Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные.

5.     Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

 

 

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 653 477 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Самостоятельная работа по математике за 5 класс по теме "Десятичная запись натуральных чисел".
  • Учебник: «Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
  • Тема: § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел
  • 01.10.2020
  • 1883
  • 49
«Математика», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 10.12.2014 393
    • PPTX 366 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Литвинченко Лидия Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Литвинченко Лидия Васильевна
    Литвинченко Лидия Васильевна
    • На сайте: 11 лет
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 477
    • Всего материалов: 1

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Копирайтер

Копирайтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 113 человек из 41 региона
  • Этот курс уже прошли 120 человек

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 29 человек из 17 регионов
  • Этот курс уже прошли 97 человек

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания с применением дистанционных технологий

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 37 человек из 18 регионов
  • Этот курс уже прошли 40 человек

Мини-курс

Адаптация и расстройства: понимание, преодоление, развитие

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 18 регионов

Мини-курс

Практические аспекты работы логопеда: методы и приемы в логоритмике

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 13 регионов
  • Этот курс уже прошли 18 человек

Мини-курс

Дизайн-проектирование: практические и методологические аспекты

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе