Презентация по математике на тему " Подготовка к ГИА".

• 1 слайд

  «Подготовка к ГИА по математике: методический комментарий к выполнению заданий базового и повышенного уровней сложности»
  

• 2 слайд

  Задание 21
  1. Разложите на множители: 𝑥 2 𝑦+1− 𝑥 2 −𝑦.
  Решение. 𝑥 2 𝑦+1− 𝑥 2 −𝑦= 𝑥 2 𝑦−1 − 𝑦−1 = 𝑦−1 𝑥 2 −1 =
  =(𝑦−1)(𝑥−1)(𝑥+1).
  Ответ. 𝑦−1 𝑥−1 𝑥+1 .
  Комментарий. Ошибка в знаках при группировке слагаемых считается существенной, при ее наличии решение не засчитывается.
  

• 3 слайд

  Задание 21
  2. Сократите дробь 5 𝑥 2 −3𝑥−2 5 𝑥 2 +2𝑥 .
  Решение. Корни квадратного трехчлена 5 𝑥 2 −3𝑥−2: 𝑥 1 =1, 𝑥 2 =− 2 5 . Имеем 5 𝑥 2 −3𝑥−2 5 𝑥 2 +2𝑥 = 𝑥−1 5𝑥+2 𝑥 5𝑥+2 = 𝑥−1 𝑥 .
  Ответ. 𝑥−1 𝑥 .
  Замечание. Учащийся может разложить трехчлен на множители каким-либо иным способом. Например:
  5 𝑥 2 −3𝑥−2= 3 𝑥 2 −3𝑥 + 2 𝑥 2 −2 =3𝑥 𝑥−1 +2 𝑥 2 −1 =(𝑥−1)(5𝑥+2)
  Комментарий. Учащиеся не обязаны указывать область определения сокращаемой дроби.
  

• 4 слайд

  Задание 21
  1. Решите неравенство 3 −1,5 3−2𝑥 >0.
  Решение. 1) Определим знак разности 3 −1,5. Так как 1,5= 2,25 и 3 > 2,25 , то 3 −1,5>0.
  2) Получаем неравенство 3−2𝑥>0. Отсюда 𝑥<1,5.
  Ответ. (−∞;1,5). Другая возможная форма ответа: 𝑥<1,5.
  

• 5 слайд

  Задание 21
  Постройте график функции 𝑦=𝑓(𝑥), где 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥+3, если 𝑥<3, −𝑥+7, если 𝑥≥3.
  При каких значениях 𝑥 функция принимает значения, меньше 2?
  Ответ. График изображен на рисунке 1;
  𝑓 𝑥 <2 при 𝑥∈ −∞;−3 ∪(5;+∞).
  1. Отсутствие пояснений и письменных вычислений при правильном построении
  графика и правильном ответе на вопрос не должно служить основанием для снижения балла.
  2. Ответ на вопрос задания может быть получен как путем вычислений, так и с опорой на график.
  3. Ответ на вопрос может быть записан в любой правильной форме.
  

• 6 слайд

  Задание 22
  2. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту 16 возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
  Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) 𝑥 км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4𝑥−𝑥=3𝑥 км/ч, а по течению 4𝑥+𝑥=5𝑥 км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению – в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл 𝑆 км, то катер в 3 раза больше, т.е. 3𝑆 км. После встречи катер пройдет 3𝑆 км, а плот – в 5 раз меньше, т.е. 3𝑆 5 км. Всего плот пройдет 𝑆+ 3𝑆 5 = 8𝑆 5 . Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно 8𝑆 5 4𝑆 = 2 5 .
  
  Другое возможное решение. Пусть скорость течения реки (и плота) 𝑥 км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4𝑥−𝑥=3𝑥 км/ч, а по течению 4𝑥+𝑥=5𝑥 км/ч. Скорость сближения катера и плота равна 𝑥+3𝑥=4𝑥 км/ч. Встреча произошла через 𝐴𝐵 4𝑥 ч. За это время плот проплыл расстояние, равное 𝑥∙ 𝐴𝐵 4𝑥 = 𝐴𝐵 4 , а катер - 3𝐴𝐵 4 . Обратный путь катер пройдет за 3𝐴𝐵 4 5𝑥 = 3𝐴𝐵 20𝑥 ч. Плот за это время проплывет расстояние, равное 𝑥∙ 3𝐴𝐵 20𝑥 = 3𝐴𝐵 20 , а всего он проплывет 𝐴𝐵 4 + 3𝐴𝐵 20 = 2𝐴𝐵 5 .
  
  Ответ. Плот пройдет 2 5 всего пути.
  

• 7 слайд

• 8 слайд

  Задание 23
  Постройте график функции 𝑦= 𝑥 4 −14 𝑥 2 +36 (𝑥+3) (𝑥−2) и определите, при каких значениях с прямая
  𝑦=𝑐 имеет с графиком ровно одну общую точку.
  Решение. Разложим числитель на множители: 𝑥 4 −13 𝑥 2 +36= 𝑥 2 −4 𝑥 2 −9 =
  =(𝑥−2)(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3).
  При 𝑥≠−3, 𝑥≠2 исходная функция принимает вид 𝑦=(𝑥+2)(𝑥−3), а ее график – парабола, из которой выколоты точки −3;6 и 2;−4.
  Прямая 𝑦=𝑐 имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых – выколотая.
  Вершина параболы имеет координаты 0,5;−6,25. Поэтому 𝑐=−6,25, 𝑐=−4 или 𝑐=6.
  Ответ. −6,25;−4; 6.
  

• 9 слайд

  Задание 24
  1. Окружность проходит через вершины 𝐴 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 и пересекает его стороны 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝐸 соответственно. Отрезки 𝐴𝐸 и 𝐶𝐾 перпендикулярны. Найдите ∠𝐾𝐶𝐵, если
  ∠𝐴𝐵𝐶=20°.
  Решение. ∠𝐴𝐾𝐶=∠𝐴𝐸𝐶, т.к. опираются на одну дугу окружности; следовательно, ∠𝐵𝐾𝐶=∠𝐵𝐸𝐴, как смежные с ними. Из четырехугольника 𝐵𝐾𝐷𝐸: ∠𝐵𝐾𝐶= 1 2 360°−90°−20°=125°.
  Из ∆𝐵𝐾𝐶 ∠𝐾𝐶𝐵=180°−125°−20°=35°.
  Ответ. 35°.
  

• 10 слайд

  Задание 25
  1. В окружности с центром 𝑂 проведены две хорды 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 так, что центральные углы 𝐴𝑂𝐵 и 𝐶𝑂𝐷 равны. На эти хорды опущены перпендикуляры 𝑂𝐾 и 𝑂𝐿. Докажите, что 𝑂𝐾 и 𝑂𝐿 равны.
  
  Доказательство. Треугольники 𝐴𝑂𝐵 и 𝐶𝑂𝐷 равны по трём сторонам.
  Треугольники 𝐴𝑂𝐵 и 𝐶𝑂𝐷 равны по двум сторонам и углу между ними (𝐴𝑂=𝐵𝑂=𝐶𝑂=𝐷𝑂 как радиусы окружности, ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷по условию). Следовательно, высоты 𝑂𝐾 и 𝑂𝐿 равны как соответственные элементы равных треугольников.
  

• 11 слайд

  Задание 25
  2. В параллелограмме 𝐾𝐿𝑀𝑁 точка 𝐸 — середина стороны 𝐿𝑀 . Известно, что 𝐸𝐾=𝐸𝑁. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
  Доказательство. Треугольники 𝐾𝐿𝐸 и 𝑀𝐸𝑁 равны по трём сторонам. Значит, углы 𝐾𝐿𝐸 и 𝑁𝑀𝐸 равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.
  

• 12 слайд

  Задание 26
  1. Площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶 равна 80. Биссектриса 𝐴𝐷 пересекает медиану 𝐵𝐾 в точке 𝐸, при этом
  𝐵𝐷:𝐶𝐷=1:3. Найдите площадь четырёхугольника 𝐸𝐷𝐶𝐾 .
  Решение. Пусть 𝐴𝐾=𝐾𝐶=3𝑥, тогда 𝐴𝐵=2𝑥, так как 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 𝐶𝐷 = 1 3 по свойству биссектрисы. Значит, 𝐵𝐸 𝐾𝐸 = 2 3 . Пусть 𝑆 – площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶, тогда 𝑆 𝐴𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 𝐶𝐵 ∙𝑆= 3 4 𝑆; 𝑆 𝐴𝐾𝐸 = 𝐾𝐸 𝐵𝐾 ∙ 𝑆 𝐴𝐵𝐾 = 𝐾𝐸 𝐵𝐾 ∙ 𝐴𝐾 𝐾𝐶 ∙𝑆= 3𝑆 10 . Таким образом, 𝑆 𝐸𝐷𝐶𝐾 = 𝑆 𝐴𝐶𝐷 − 𝑆 𝐴𝐾𝐸 = 3 4 𝑆− 3𝑆 10 = 9 20 𝑆=36.
  Ответ. 36
  

• 13 слайд

  Задание 26
  2. Стороны 𝐴𝐶, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равны 2 5 , 13 и 1 соответственно. Точка 𝐾 расположена вне треугольника 𝐴𝐵𝐶, причем отрезок 𝐾𝐶 пересекает отрезок 𝐴𝐵 в точке, отличной от 𝐵. Известно, что треугольник с вершинами 𝐾, 𝐴 и 𝐶 подобен исходному. Найдите косинус угла 𝐴𝐾𝐶, если ∠𝐾𝐴𝐶>90°.
  Решение. Рассмотрим подобные треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐾𝐶 и установим соответствие между их углами. 𝐴𝐶 — наибольшая сторона треугольника 𝐴𝐵𝐶, а значит, 𝐴𝐵𝐶 — наибольший угол треугольника 𝐴𝐵𝐶. Так как в треугольнике 𝐴𝐾𝐶 есть тупой угол, то в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 это угол 𝐴𝐵𝐶. Следовательно, угол 𝐴𝐶𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 не равен углу 𝐾𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐾𝐶. Он также не равен углу 𝐾𝐶𝐴, т.к. больше его (луч 𝐶𝐾 проходит между лучами 𝐶𝐴 и 𝐶𝐵). Следовательно, ∠𝐴𝐾𝐶=∠𝐴𝐶𝐵.
  По теореме косинусов из треугольника 𝐴𝐵𝐶 находим:
  cos ∠𝐴𝐶𝐵 = 𝐴 𝐶 2 +𝐵 𝐶 2 −𝐴 𝐵 2 2𝐴𝐶∙𝐵𝐶 = 20+1−13 4 5 = 2 5 5 .
  Ответ. 2 5 5 . Другая возможная запись ответа: 2 5
  

• 14 слайд

• 15 слайд

  Гео­мет­ри­че­ская задача
  по­вы­шен­ной сложности
  

• 16 слайд

  1. Основание 𝐴𝐶 равнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания 𝐴𝐶 в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶.
  Решение. Пусть 𝑂 – центр данной окружности, а 𝑄 – центр окружности, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка касания 𝑀 окружностей делит 𝐴𝐶 пополам. 𝐴𝑄 и 𝐴𝑂 – биссектрисы смежных углов, значит, угол 𝑂𝐴𝑄 – прямой. Из прямоугольного треугольника 𝑂𝐴𝑄 получаем: 𝐴 𝑀 2 =𝑀𝑄∙𝑀𝑂.
  Следовательно, 𝑄𝑀= 𝐴 𝑀 2 𝑂𝑀 = 36 8 =4,5.
  
  
  
  
  
  
  Ответ. 4,5
  

• 17 слайд

  2. Из вершины прямого угла 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐶𝑃. Радиус окружности, вписанной в треугольник 𝐵𝐶𝑃, равен 4, тангенс угла 𝐵𝐴𝐶 равен 4 3 . Найдите радиус вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶.
  Решение. Угол 𝐵𝐴𝐶 равен углу 𝐵𝐶𝑃 так как ∠𝐵𝐴𝐶=90°−∠𝐴𝐵𝐶 и
  ∠𝐵𝐶𝑃=90°−∠𝐴𝐵𝐶. Так как тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему, имеем: tg ∠𝐵𝐶𝑃= 𝐵𝑃 𝑃𝐶 ⇔ 4 3 = 𝐵𝑃 𝑃𝐶 . Тогда 𝐵𝑃=4𝑥, 𝑃𝐶=3𝑥, а гипотенуза 𝐵𝐶=5𝑥 по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна произведению половины его периметра на радиус вписанной окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем: 𝑆= 𝑃∙ 𝑟 1 2 ⇔6 𝑥 2 =6𝑥∙4⇔ 𝑥=0, 𝑥=4.
  Таким образом, 𝐵𝑃=16, 𝑃𝐶=12, а 𝐵𝐶=20. Так как tg ∠𝐵𝐴𝐶= 4 3 , то 𝐴𝐶=15, а 𝐴𝐵=25 по теореме Пифагора. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 площадь равна произведению половины его периметра на радиус вписанной в него окружности, но площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, имеем:
  𝑆= 𝑃∙ 𝑟 1 2 ⇔150=30∙𝑟⇔𝑟=5.
  
  
  
  
  
  Ответ. 5
  

• 18 слайд

  3. Ме­ди­а­на 𝐵𝑀 тре­уголь­ни­ка 𝐴𝐵𝐶 яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну 𝐵𝐶 в её се­ре­ди­не. Длина сто­ро­ны 𝐴𝐶 равна 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка 𝐴𝐵𝐶.
  Решение. Ме­ди­а­на 𝐵𝑀 делит 𝐴𝐶 по­по­лам. Центр окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ме­ди­а­ны 𝐵𝑀, тогда 𝑂𝑁 - сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке 𝐵𝑀𝐶, где 𝑂 - центр окруж­но­сти, а 𝑁 - точка пе­ре­се­че­ния этой окруж­но­сти сто­ро­ны 𝐵𝐶. Сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке равна по­ло­ви­не ос­но­ва­ния, по­это­му 𝑂𝑁=1. Сред­няя линия 𝑂𝑁 яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом окруж­но­сти. Так как ме­ди­а­на 𝐵𝑀 яв­ля­ет­ся диа­мет­ром, то 𝐵𝑀=2𝑂𝑁=2. Про­ве­дем 𝑀𝑁 в тре­уголь­ни­ке 𝐵𝑀𝐶. Так как угол 𝐵𝑁𝑀 опи­ра­ет­ся на диа­метр 𝐵𝑀, то ∠𝐵𝑁𝑀=90°, таким об­ра­зом, тре­уголь­ник 𝐵𝑁𝑀− пря­мо­уголь­ный. Так как 𝑀𝑁− сред­няя линия, то она па­рал­лель­на 𝐴𝐵, тогда тре­уголь­ник 𝐴𝐵𝐶 - пря­мо­уголь­ный. Центр опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не ги­по­те­ну­зы, таким об­ра­зом, ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка 𝐴𝐵𝐶 окруж­но­сти равен 2.
  
  
  
  
  
  Ответ. 2
  

• 19 слайд

  4. Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке 𝐵. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку 𝐵, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке 𝐴. Найдите радиус второй окружности, если 𝐴𝐵=6.
  Решение. Обозначим центры первой и второй окружностей за 𝑂 1 и 𝑂 2 , а точки касания с общей касательной, не проходящей через точку 𝐵, за 𝑀 и 𝑁. Прямоугольные треугольники 𝐴 𝑂 1 𝑀 и 𝐴 𝑂 1 𝐵 равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны треугольники 𝐴 𝑂 2 𝑁 и 𝐴 𝑂 2 𝐵. Значит, прямые 𝑂 1 𝐴 и 𝑂 2 𝐴 являются биссектрисами углов 𝑀 𝑂 1 𝐵 и 𝑁 𝑂 2 𝐵 соответственно. Прямые 𝑀 𝑂 1 и 𝑁 𝑂 2 параллельны, поэтому сумма углов 𝑀 𝑂 1 𝐵 и 𝑁 𝑂 2 𝐵 равна 180°, а сумма углов 𝐴 𝑂 1 𝐵 и 𝐴 𝑂 2 𝐵 равна 90°, то есть треугольник 𝑂 1 𝑂 2 𝐴 – прямоугольный. Поскольку 𝐴𝐵 – высота, проведенная к гипотенузе, треугольники 𝐴 𝑂 1 𝐵 и 𝐴 𝑂 2 𝐵 подобны.
  Значит, 𝑂 2 𝐵= 𝐴 𝐵 2 𝑂 1 𝐵 =9.
  
  
  
  
  
  Ответ. 9
  

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

  В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке D, причём AD= R.
  а)До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.
  б)Впи­сан­ная окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB и BC в точ­ках E и F. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEF, если из­вест­но, что R= 5 и CD =15.
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 40.
  

• 23 слайд

  Дан рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AC. Впи­сан­ная в него окруж­ность с цен­тром O касается бо­ко­вой сто­ро­ны BC в точке P и пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­су угла B в точке Q.
  а) До­ка­жи­те, что от­рез­ки PQ и OC па­рал­лель­ны.
  б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OBC, если точка O делит вы­со­ту BD тре­уголь­ни­ка в от­но­ше­нии
  BO : OD = 3 : 1 и AC = 2m.
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 3 𝑚 2 2 4 .
  

• 24 слайд

  Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.
  а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.
  б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.
  
  
  
  
  
  Ответ: 3,2.
  

• 25 слайд

  Спасибо за внимание!