Презентация по математике на тему: " Применение производной к исследованию функций"

• 1 слайд

  Исследование функции на монотонность
  

• 2 слайд

  Найдите производные функции:
  
  а)y=7x+4 в)y=-6x+1
  д)y=cosx е)y=√x̄
  ж)y=x5+2x3+1 з)y=x3+1
  б) а)y=7x+4 в)y=-6x+1
  y=x2 г)y=sinx
  Запишите на доске 4правила дифференцирования.
  Запишите на доске известные вам формулы дифференцирования.
  
  

• 3 слайд

  Определите по графику промежутки возрастания и убывания функции.
  

• 4 слайд

  Цель: ознакомиться со способом нахождения промежутков монотонности функции с помощью производной.
  
  

• 5 слайд

  Признаки монотонности функции
  Достаточный признак возрастания функции.
  Если f ̕(x)>0 в каждой точке интервала U, то функция f(X) возрастает на U.
  Достаточный признак убывания функции.
  Если f ̕(x)<0 в каждой точке интервала U, то функция f(x) убывает на U.
  
  Если f ̕(x)=0 в каждой точке интервала U, то функция f(x) постоянна на U.
  
  
  

• 6 слайд

  По графику производной определите ,на каких промежутках функция y=f (x) возрастает, а на каких убывает.
  

• 7 слайд

  По графику производной определите ,на каких промежутках функция y=f ̕(x) возрастает, а на каких убывает.
   
  
  f(x)↑если f ̕(x)>0
  Значит x Є(-∞;-2],[2;+∞).
  Точки -2,2 входят в промежутки, т.к. функция в этих точках непрерывна.
  
  f(x)↓ если f ̕(x)<0.
  Значит x Є[-2;2]
  

• 8 слайд

  По графику производной определите ,на каких промежутках функция y=f(x) возрастает, а на каких убывает.
  

• 9 слайд

  По графику производной определите ,на каких промежутках функция y=f(x) возрастает, а на каких убывает.
  f(x)↑если xЄ(-∞;-4],
  [0;3] т.к. на этих промежутках f ̕(x)>0
  f(x)↓
  если xЄ[-4;0],[3;+∞)
  т.к. на этих промежутках f ̕(x)<0
  

• 10 слайд

  По графику производной определите ,на каких промежутках функция y=f(x) возрастает, а на каких убывает.
  

• 11 слайд

  По графику производной определите ,на каких промежутках функция y=f(x) возрастает, а на каких убывает.
  f(x)↑если xЄ[-2.5;2.5]
  т.к. на этом промежутке f̕ ̕(x)>0
  f(x)↓
  если xЄ
  (- ∞;-2.5],[2.5;+∞)
  т.к. на этих промежутках f ̕(x)<0
  
  

• 12 слайд

• 13 слайд

• 14 слайд

  Найдите промежутки возрастания и убывания функций.
  f(x)=3-1/2x
  Решение: функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(f)=(-∞;+∞).
  Найдем производную функции:f ̕(x)=-1/2<0, значит функция убывает на промежутке (-∞;+∞).
  
  f(x)=4x-5
  Решение: функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(f)=(-∞;+∞).
  Найдем производную функции:f ̕(x)=4>0 значит функция возрастает на промежутке (-∞;+∞).
  
  

• 15 слайд

  Найдите промежутки возрастания и убывания функций.
  f(x)=- X2 +2x-3 , D(f)=(-∞;+∞)
  f ̕(x)=-2x+2 , f ̕(x)=0 , -2x+2=0 , -2x=-2 ,x=1
  (точка, в которой производная функции равна 0,
  называется стационарной ).
  Точка x=1 разбивает область определения функции на 2 интервала (-∞;1) и (1 ;+∞)
  Определим знак каждого из интервалов
  ----+------•---_--------> x=-2,тогда , f ̕(-2)=6>0
  1 x=2, тогда f ̕(2)=-2<0
  Т.к. функция непрерывна в точке x=1,то 1 можно присоединить к промежуткам.
  Ответ: f(x)↑,если xЄ(-∞;1] . f(x)↓ если xЄ [1 ;+∞)
  

• 16 слайд

  Определите промежутки монотонности функции.
  Y=x2-5x+4,используя предложенный
  алгоритм:
  1) Найдите производную функции f (x).
  2) Приравняйте ее к нулю и найдите стационарные точки. (f (x)=0)
  3) Отметьте стационарные точки на числовой прямой и определите знаки производной на получившихся промежутках.
  4) Сделайте выводы о монотонности функции.
  
  
  

• 17 слайд

  Определите промежутки монотонности функций
  . Y=x2-5x+4
  Решение:
  1) y ̕=2x-5,
  2) y̕=0, 2x-5=0, x=2,5
  3) --------•---------->
  - 2,5 +
  x=2,
  f ̕(2)=2*2-5=-1<0
  x=3
  f ̕(3)=3*3-5=4>0
  Ответ:f(x)↓,если x Є(-∞;2,5]
  f (x)↑ ,если x Є[2,5;+∞)
  
  Решите самостоятельно №30.12