Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему " производная и ее применение "

Презентация по математике на тему " производная и ее применение "

  • Математика
Производная
Происхождение производной. В конце 17 века в Европе образовались две крупные...
Исаак Ньютон (1643 – 1727) Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)
Происхождение производной. Ряд задач дифференциального исчисления был решен е...
Памятник Ньютону в Кэмбридже.
Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои резуль...
В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейб...
Памятник Лейбницу в Лейпциге.
По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от нью...
Работы Лейбница по математике многочисленны и разнообразны. В 1666 году он на...
В1672 году Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лу...
Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некот...
Нахождение производной называют дифференцированием
Таблица производных f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C 0 √x 1/(2√x) kx+ b k ex ex x2...
Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х пр...
Правила нахождения производной 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х пр...
Правила нахождения производной 5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х пр...
Примеры
Примеры
подсказка Тело, подброшенное вверх движется по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Н...
ЗАДАЧА №2 При каких значениях х значение производной функции равно 0
“При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” “Примеры уча...
Примеры
Производная и ее применение
Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильн...
Найдите производную функции(устно): а) у = 6х5 – 7х3 + 2х2 – 5, у/ = 30 х4 –...
Найдите производную функции(устно):   Правильный ответ Правильный ответ Прави...
3. 4. 5.
k = f ′(xo) = tg α – это угловой коэффициент касательной. f(xo) Касательная к...
Общий вид уравнения касательной y = f ′(xo)(x – xo) + f(xo) Алгоритм составле...
Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков её в...
Алгоритм решения неравенств методом интервалов: Выделить функцию y=f(x). Найт...
Решите неравенство: 1. 2x+5≠0, х ≠-2,5 2. f(x)=0, если x1= 8, x2= -2 3. Ответ:
Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=f(x): Найти...
Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1. 2. f´(x)=0, если 3. Отв...
f′(x) xo Минимум функции Точка хо называется точкой минимума функции f(x), ес...
xo Максимум функции Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если с...
Алгоритм исследования функции на монотонность 1о Дифференцируем функцию: f′(x...
Алгоритм исследования функции на экстремумы 1о Дифференцируем функцию: f′(x)....
Примеры
 + + + – –
Спасибо за внимание!
1 из 45

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Производная
Описание слайда:

Производная

№ слайда 2 Происхождение производной. В конце 17 века в Европе образовались две крупные
Описание слайда:

Происхождение производной. В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления.

№ слайда 3 Исаак Ньютон (1643 – 1727) Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)
Описание слайда:

Исаак Ньютон (1643 – 1727) Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)

№ слайда 4 Происхождение производной. Ряд задач дифференциального исчисления был решен е
Описание слайда:

Происхождение производной. Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой. Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле :

№ слайда 5 Памятник Ньютону в Кэмбридже.
Описание слайда:

Памятник Ньютону в Кэмбридже.

№ слайда 6 Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои резуль
Описание слайда:

Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами. Флюксией называлась производная функции – флюэнты. Флюэнтой таже в дальнейшем называлась первообразная функция.

№ слайда 7 В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейб
Описание слайда:

В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов. В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.

№ слайда 8 Памятник Лейбницу в Лейпциге.
Описание слайда:

Памятник Лейбницу в Лейпциге.

№ слайда 9 По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от нью
Описание слайда:

По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно.

№ слайда 10 Работы Лейбница по математике многочисленны и разнообразны. В 1666 году он на
Описание слайда:

Работы Лейбница по математике многочисленны и разнообразны. В 1666 году он написал первое сочинение: «О комбинаторном искусстве». Сейчас комбинаторика и теория вероятности одна из обязательных тем математики в школе.

№ слайда 11 В1672 году Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лу
Описание слайда:

В1672 году Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лучше паскалевской — он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. Предложенные им ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров. Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.

№ слайда 12 Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некот
Описание слайда:

Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f ′(x) = lim ∆f ∆x ∆x→0

№ слайда 13 Нахождение производной называют дифференцированием
Описание слайда:

Нахождение производной называют дифференцированием

№ слайда 14 Таблица производных f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C 0 √x 1/(2√x) kx+ b k ex ex x2
Описание слайда:

Таблица производных f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C 0 √x 1/(2√x) kx+ b k ex ex x2 2x ax axlna xn nxn–1 tgx 1/cos2x 1/x – 1/x2 ctgx – 1/sin2x sin x cos x ln x 1/x cosx – sin x logax 1/(xlna)

№ слайда 15 Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х пр
Описание слайда:

Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u + v)′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем (Сu)′ = С∙u′

№ слайда 16 Правила нахождения производной 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х пр
Описание слайда:

Правила нахождения производной 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′ 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем ′

№ слайда 17 Правила нахождения производной 5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х пр
Описание слайда:

Правила нахождения производной 5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем 6.Производная сложной функции (f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x) ′

№ слайда 18 Примеры
Описание слайда:

Примеры

№ слайда 19 Примеры
Описание слайда:

Примеры

№ слайда 20 подсказка Тело, подброшенное вверх движется по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Н
Описание слайда:

подсказка Тело, подброшенное вверх движется по закону s(t) = 4+ 8t – 5t 2 . Найдите: 1) Скорость тела в начальный момент времени; 2) Наибольшую высоту подъёма тела. РЕШЕНИЕ. 2) t= 0, v(0) = s`(0) = 8 м/с – скорость тела в начальный момент времени 1) v (t) = s` (t) = 8 – 10t - скорость тела; 3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная высота броска тела. Ответ: 8 м/с ; 7,2 м . ЗАДАЧА №1

№ слайда 21 ЗАДАЧА №2 При каких значениях х значение производной функции равно 0
Описание слайда:

ЗАДАЧА №2 При каких значениях х значение производной функции равно 0

№ слайда 22 “При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” “Примеры уча
Описание слайда:

“При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” “Примеры учат больше, чем теория”. И. Ньютон М. Ломоносов

№ слайда 23 Примеры
Описание слайда:

Примеры

№ слайда 24
Описание слайда:

№ слайда 25 Производная и ее применение
Описание слайда:

Производная и ее применение

№ слайда 26 Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильн
Описание слайда:

Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Найдите производные функций:

№ слайда 27 Найдите производную функции(устно): а) у = 6х5 – 7х3 + 2х2 – 5, у/ = 30 х4 –
Описание слайда:

Найдите производную функции(устно): а) у = 6х5 – 7х3 + 2х2 – 5, у/ = 30 х4 – 21х2 + 4х , б) у = (4 – 5х)7, у/ = 7·(– 5)·(4 – 5х)6 = – 35·(4 – 5х)6 в) у = 8 + 3cosх, у/ = 8 – 3sinх г) у = 4sinх – 6 lnx, у/ = 4 cos х – 6/х Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ

№ слайда 28 Найдите производную функции(устно):   Правильный ответ Правильный ответ Прави
Описание слайда:

Найдите производную функции(устно):   Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ

№ слайда 29
Описание слайда:

№ слайда 30 3. 4. 5.
Описание слайда:

3. 4. 5.

№ слайда 31 k = f ′(xo) = tg α – это угловой коэффициент касательной. f(xo) Касательная к
Описание слайда:

k = f ′(xo) = tg α – это угловой коэффициент касательной. f(xo) Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f ′(хо). х у хо y = kx + b α y = f(x) 0

№ слайда 32 Общий вид уравнения касательной y = f ′(xo)(x – xo) + f(xo) Алгоритм составле
Описание слайда:

Общий вид уравнения касательной y = f ′(xo)(x – xo) + f(xo) Алгоритм составления уравнения касательной 1о Находим значение функции в точке хо: f(xo). 2о Дифференцируем функцию: f′(x). 3о Находим значение производной в точке хо: f′(xo). 4о Подставляем эти данные в общее уравнения касательной: y = f′(xo)(x – xo) + f(xo).

№ слайда 33 Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков её в
Описание слайда:

Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков её возрастания и убывания. Признак возрастания функции: Если f´(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Признак убывания функции: Если f´(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

№ слайда 34 Алгоритм решения неравенств методом интервалов: Выделить функцию y=f(x). Найт
Описание слайда:

Алгоритм решения неравенств методом интервалов: Выделить функцию y=f(x). Найти область определения функции D(f). Указать промежутки непрерывности. Найти нули функции, решив уравнение f(x)=0. Определить знак функции между её нулями в области определения.

№ слайда 35 Решите неравенство: 1. 2x+5≠0, х ≠-2,5 2. f(x)=0, если x1= 8, x2= -2 3. Ответ:
Описание слайда:

Решите неравенство: 1. 2x+5≠0, х ≠-2,5 2. f(x)=0, если x1= 8, x2= -2 3. Ответ:

№ слайда 36 Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=f(x): Найти
Описание слайда:

Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=f(x): Найти производную функции f´(x). Решить уравнение f´ (x) =0. Найти знак производной на каждом интервале. Согласно признаку возрастания (убывания) функции, найти промежутки возрастания и убывания.

№ слайда 37 Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1. 2. f´(x)=0, если 3. Отв
Описание слайда:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1. 2. f´(x)=0, если 3. Ответ: f´(x) f (x)

№ слайда 38 f′(x) xo Минимум функции Точка хо называется точкой минимума функции f(x), ес
Описание слайда:

f′(x) xo Минимум функции Точка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то хо – точка локального минимума функции f(x). f(x) – + x min f(xо) – минимум функции

№ слайда 39 xo Максимум функции Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если с
Описание слайда:

xo Максимум функции Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки хо, что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(xo). Если в точке хо производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то хо – точка локального максимума функции f(x). f′(x) f(x) + – x max f(xо) – максимум функции

№ слайда 40 Алгоритм исследования функции на монотонность 1о Дифференцируем функцию: f′(x
Описание слайда:

Алгоритм исследования функции на монотонность 1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0. 3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме: 5o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3]. б) Промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞). f′(x) x2 f(x) – + x + – x1 x3

№ слайда 41 Алгоритм исследования функции на экстремумы 1о Дифференцируем функцию: f′(x).
Описание слайда:

Алгоритм исследования функции на экстремумы 1о Дифференцируем функцию: f′(x). 2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0. 3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4о Полученные данные изображаем на схеме: 5o a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума. б) f(x1); f(x3) – максимумы функции; f(x2) – минимум функции. f′(x) x2 f(x) – + x + – x1 x3

№ слайда 42 Примеры
Описание слайда:

Примеры

№ слайда 43
Описание слайда:

№ слайда 44  + + + – –
Описание слайда:

+ + + – –

№ слайда 45 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Автор
Дата добавления 14.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров108
Номер материала ДБ-031123
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх