Презентация по математике на тему "Равновесие Нэша"

• 1 слайд

  Равновесие Нэша
  

• 2 слайд

  Общие сведения
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Джон Форбс Нэш
  Равновесие Нэша — ключевое понятие теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию если другие участники своих стратегий не меняют. Такая совокупность стратегий, выбранных участниками, и их выигрыши называются равновесием Нэша.
  Названо в честь Джона Нэша.
  

• 3 слайд

  История
  Эта концепция впервые использована Антуан Огюст Курно. Он показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно.
  Нэш первым доказал, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. Это было сделано в его диссертации по некооперативным играм в 1950-м году. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).
  

• 4 слайд

  Формулировка
  Допустим, (𝑆,𝐻) — некооперативная игра 𝑛 лиц в нормальной форме, где 𝑆 — набор чистых стратегий, а 𝐻 — набор выигрышей. Когда каждый игрок 𝑖∈ 1,…,𝑛 выбирает стратегию 𝑥 𝑖 ∈𝑆 в профиле стратегий 𝑥= 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑛 , игрок 𝑖 получает выигрыш 𝐻 𝑖 𝑥 . Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии 𝑥 𝑖 , выбранной самим игроком 𝑖, но и от чужих стратегий 𝑥 −𝑖 , то есть всех стратегий 𝑥 𝑗 при 𝑗≠𝑖. Профиль стратегий 𝑥 ∗ ∈𝑆 является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с 𝑥 𝑖 ∗ на 𝑥 𝑖 не выгодно ни одному игроку 𝑖, то есть для любого 𝑖
  𝐻 𝑖 𝑥 ∗ ≥ 𝐻 𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑥 −𝑖 ∗ .
  Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре 𝑛 игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.
  

• 5 слайд

  Примеры
  В отрасли имеются две фирмы № 1 и № 2. Каждая из фирм может установить два уровня цен: «высокие» и «низкие». Если обе фирмы выберут высокие цены, то каждая будет иметь прибыль по 3 млн. Если обе выберут низкие, то каждая получит по 2 млн. Однако, если одна выберет высокие, а другая низкие, то вторая получит 4 млн, а первая только 1. Наиболее выигрышный в сумме вариант — одновременный выбор высоких цен (сумма = 6 млн). Однако это состояние нестабильно из-за возможности относительного выигрыша, которая открывается перед фирмой, отступившей от этой стратегии. Поэтому обе компании с наибольшей вероятностью выберут низкие цены. Хотя этот вариант и не дает максимального суммарного выигрыша (сумма=4 млн.), он исключает относительный выигрыш конкурента, который тот мог бы получить за счет отступления от взаимно-оптимальной стратегии. Такая ситуация и называется «равновесием по Нэшу».
  

• 6 слайд

  Литература
  Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: МГУ, 2005, 272 с.
  Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985
  Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
  Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
  

• 7 слайд

  Спасибо за внимание