Презентация по математике на тему "Ряды. Сходимость рядов"

• 1 слайд

  Презентацию подготовил:
  Чавкина Т.В.
  преподаватель математики
  ГБУ ПО РМ "РЖПТ им. А.П. Байкузова"
  
  Ряды.
  Сходимость рядов.
  

• 2 слайд

  Рассмотрим некоторую последовательность неотрицательных чисел 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ,…, 𝑎 𝑛 ,….
  Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму:
  𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 +…+ 𝑎 𝑛 +….
  Положительным числовым рядом называется выражение вида:
  𝒏=𝟏 ∞ 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑 +…+ 𝒂 𝒏 +…
  здесь
  − математический значок суммы,
  𝑎 𝑛 −общий член ряда,
  𝑛 − «счетчик», 𝒏𝝐𝑵 или 𝑛=0.
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  ПРИМЕР 1
  Записать первые три члена ряда
  𝑛=1 ∞ ( 𝑛 2 - 1).
  Решение:
  При n=1, 𝑎 1 = 1 2 −1=0;
  при n=2, 𝑎 2 = 2 2 −1=4−1=3;
  при n=3, 𝑎 3 = 3 2 −1=9−1=8;
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ ( 𝑛 2 - 1)=0+3+8+….
  
  
  

• 4 слайд

  Частичной суммой ряда называется выражение вида:
  𝑆 𝑘 = 𝑛=1 𝑘 𝑎 𝑛 , где k −конечное натуральное число.
  
  ПРИМЕР 2
  
  Из примера 1 найдем:
  𝑆 1 = 𝑎 1 =0;
  𝑆 2 = 𝑎 1 + 𝑎 2 = 0 + 3 = 3;
  𝑆 3 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 = 0 + 3 + 8 =11.
  
  
  

• 5 слайд

  Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел:
  
  lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 =S
  здесь S – сумма ряда.
  
  ПРИМЕР 3
  Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
  𝑛=0 ∞ 1 4 𝑛 =1+ 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 +….
  Сумма членов бесконечно убывающей прогрессии находится по формуле 𝑆= 𝐴 1−𝑞 , где А – первый член прогрессии, q- основание прогрессии. В нашем случае 𝐴=1, 𝑞= 1 4 , тогда
  𝑆= 4 3 .
  Получено конечное число, значит, исходный ряд – сходящийся.
  

• 6 слайд

  Числовой ряд называется расходящимся, если предел частичных сумм равен бесконечности или не существует:
  lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 =±∞.
  ПРИМЕР 4
  Рассмотрим числовой ряд из примера 1:
  𝑛=1 ∞ ( 𝑛 2 - 1).
  Очевидно, что каждый следующий ряд больше чем предыдущий, поэтому 0+3+8+…=∞.
  
  lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 =∞
  
  Ряд расходится.
  

• 7 слайд

  НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ
  Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, т.е.:
  lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 ≠0.
  ПРИМЕР 5
  Докажем, что ряд из примера 1 - расходящийся:
  𝑛=1 ∞ ( 𝑛 2 - 1).
  Решение:
  lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = lim 𝑛→∞ (𝑛 2 −1)= ∞
  т.е. ряд является расходящимся.
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ ( 𝑛 2 - 1) – расходящийся.
  ПРИМЕР 6
  Исследовать на сходимость:
  𝑛=1 ∞ 4 𝑛+2 .
  Решение:
  lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = lim 𝑛→∞ 4 𝑛+2 = 0
  т.е. ряд сходится.
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ 4 𝑛+2 – сходящийся.
  

• 8 слайд

  ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД
  𝑛=1 ∞ 1 𝑛 - гармонический ряд.
  Гармонический ряд является расходящимся!
  𝑛=1 ∞ 1 𝑛 𝑎 - обобщенный гармонический ряд.
  Обобщенный гармонический ряд расходится при 𝑎≤1.
  
  
  
  Обобщенный гармонический ряд сходится при 𝑎>1.
  
  ПРИМЕР 7
  𝑛=1 ∞ 1 3 𝑛 , 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 , 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 − расходящиеся ряды.
  ПРИМЕР 8
  𝑛=1 ∞ 1 𝑛 3 , 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 , 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 3 − сходящиеся ряды.
  

• 9 слайд

  ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
  Рассмотрим два положительных числовых ряда  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛  и  𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 . Если известно, что ряд  𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛  – сходится, и выполнено неравенство 𝑎 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛    (для n=1,2,3… ), то ряд  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛  тоже сходится.
  Т.е., из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
  
  
  
  ПРИМЕР 9
  Исследовать ряд на сходимость 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 +𝑛+2 .
  Решение:
  Известно, что обобщенный гармонический ряд 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 - сходится. Справедливо неравенство 1 𝑛 2 +𝑛+2 ≤ 1 𝑛 2 при любом натуральном n. Следовательно, исходный ряд – сходится.
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 +𝑛+2 . – сходящийся.
  

• 10 слайд

  ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
  Рассмотрим два положительных числовых ряда  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛  и  𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 . Если известно, что ряд  𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛  – расходится, и выполнено неравенство 𝑎 𝑛 ≥ 𝑏 𝑛    (для n=1,2,3… ), то ряд  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛  тоже расходится.
  Т.е., из расходимости ряда с меньшими членами следует сходимость ряда с бОльшими членами.
  
  
  
  ПРИМЕР 10
  Исследовать ряд на сходимость 𝑛=1 ∞ 1 ln 𝑛 .
  Решение:
  Известно, что обобщенный гармонический ряд 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 - расходится. Справедливо неравенство 1 ln 𝑛 ≥ 1 𝑛 при любом натуральном n. Следовательно, исходный ряд расходится вместе с гармоническим радом 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 .
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ 1 ln 𝑛 – расходящийся.
  

• 11 слайд

  ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
  Рассмотрим два положительных числовых ряда  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛  и  𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 .  Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу A, т.е. 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 =A, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
  
  ПРИМЕР 11
  Исследовать ряд на сходимость 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 −𝑛
  Решение:
  Известно, что обобщенный гармонический ряд 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 - сходится.
  lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = lim 𝑛→∞ 1 𝑛 2 1 𝑛 2 −𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 2 −𝑛 𝑛 2 = lim 𝑛→∞ 1− 1 𝑛 =1
  Следовательно, исходный ряд сходится вместе с гармоническим радом 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 .
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 −𝑛 – сходящийся.
  

• 12 слайд

  ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
  Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:
  1) В знаменателе находится многочлен.
  2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
  3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
  

• 13 слайд

  ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ДАЛАМБЕРА
  Рассмотрим положительный числовой ряд  𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 =𝐷  , то:
  1) при  𝐷<1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
  2) при  𝐷>1 ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
  3) при  𝐷=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. 
  
  

• 14 слайд

  ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ДАЛАМБЕРА
  Признак Даламбера применяется тогда, когда:
  1) В общий член ряда входит любое число в степени, например,  2 𝑛 , 3 𝑛 , 7 𝑛   и так далее .
  2) В общий член ряда входит факториал. 
  3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например:
  1∙5∙25∙…∙5𝑛∙… .
  
  

• 15 слайд

  ПРИМЕР 12
  Исследователь ряд на сходимость 𝑛=1 ∞ 𝑛 2 +𝑛−1 4 𝑛 .
  Решение:
  𝑎 𝑛 = 𝑛 2 +𝑛−1 4 𝑛 , 𝑎 𝑛+1 = (𝑛+1) 2 +(𝑛+1)−1 4 𝑛+1 = 𝑛 2 +3𝑛+1 4 𝑛+1 .
  lim 𝑛→∞ 𝑛 2 +3𝑛+1 4 𝑛+1 𝑛 2 +𝑛−1 4 𝑛 = lim 𝑛→∞ 4 𝑛 𝑛 2 +3𝑛+1 4 𝑛+1 𝑛 2 +𝑛−1 = 1 4 lim 𝑛→∞ 𝑛 2 +3𝑛+1 𝑛 2 +𝑛−1 =
  = ∞ ∞ = 1 4 lim 𝑛→∞ 𝑛 2 +3𝑛+1 𝑛 2 𝑛 2 +𝑛−1 𝑛 2 = 1 4 lim 𝑛→∞ 1+ 3 𝑛 + 1 𝑛 2 1+ 1 𝑛 − 1 𝑛 2 = 1 4 ∙1= 1 4 <1.
  
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ 𝑛 2 +𝑛−1 4 𝑛 - сходится.
  
  

• 16 слайд

  ПРИМЕР 13
  Исследователь ряд на сходимость 𝑛=1 ∞ 2 𝑛+1 3𝑛+5 .
  Решение:
  𝑎 𝑛 = 2 𝑛+1 3𝑛+5 , 𝑎 𝑛+1 = 2 (𝑛+1)+1 3(𝑛+1)+5 = 2 𝑛+2 3𝑛+8 .
  lim 𝑛→∞ 2 𝑛+2 3𝑛+8 2 𝑛+1 3𝑛+5 = lim 𝑛→∞ 2 𝑛+2 3𝑛+5 2 𝑛+1 3𝑛+8 =2 lim 𝑛→∞ 3𝑛+5 3𝑛+8 =
  =2 lim 𝑛→∞ 3𝑛+5 3𝑛+8 = ∞ ∞ =2 lim 𝑛→∞ 3+ 5 𝑛 3+ 8 𝑛 =2∙1=2>1.
  
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ 2 𝑛+1 3𝑛+5 - расходится.
  
  

• 17 слайд

  ПРИМЕР 14
  Исследователь ряд на сходимость 𝑛=1 ∞ 3 𝑛 𝑛!
  Решение:
  𝑎 𝑛 = 3 𝑛 𝑛! , 𝑎 𝑛+1 = 3 𝑛+1 (𝑛+1)! .
  lim 𝑛→∞ 3 𝑛+1 (𝑛+1)! 3 𝑛 𝑛! = lim 𝑛→∞ 3 𝑛+1 𝑛! 3 𝑛 (𝑛+1)! =3 lim 𝑛→∞ 𝑛! (𝑛+1)! =
  =3 lim 𝑛→∞ 1∙2∙3∙…∙𝑛 1∙2∙3∙…∙𝑛∙(𝑛+1) =3 lim 𝑛→∞ 1 𝑛+1 =3∙0=0<1.
  
  Ответ:
  𝑛=1 ∞ 3 𝑛 𝑛! - сходится.
  
  

• 18 слайд

  𝑛=1 ∞ 𝑛 2 −4𝑛+3 100 𝑛 2 +1 2 ;
  𝑛=1 ∞ 1 𝑛+5 ;
  𝑛=1 ∞ 𝑛−2 𝑛 3 −𝑛+1 ;
  𝑛=1 ∞ 3𝑛−1 3 𝑛 2 +5 ;
  𝑛=1 ∞ 𝑛! 𝑛+3 ;
  𝑛=1 ∞ 𝑛 2 −4𝑛+5 3 𝑛 (𝑛+1) ;
  𝑛=1 ∞ 𝑛! 5 𝑛 2𝑛+3 ;
  
  ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
  Исследовать ряды на сходимость: