Презентация по математике на тему "Скрещивающиеся прямые" (10 класс)

• 1 слайд

  Грачев Василий Федорович
  Образование - высшее, АПГИ Арзамасский Государственный педагогический институт им. А.П.Гайдара
  Место работы - МБОУ лицей № 15
  Должность - учитель математики
  Педагогический стаж – 33 года
  Награды – грамота министерства образования Нижегородской обл.,
  Грамота администрации г.Саров,
  Грамота департамента образования г.Саров и др.
  
  

• 2 слайд

  Скрещивающиеся прямые
  

• 3 слайд

  Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.
  Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:
  Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
  Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.
  
  
  M
  N
  d
  a
  b
  

• 4 слайд

  𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 - уравнение плоскости
  
  𝐴∙0+ 1 2 ∙𝐵+0∙𝐶−𝐷=0 𝐴∙0+𝐵∙0+1∙𝐶+𝐷=0 1∙𝐴+1∙𝐵+0∙𝐶+𝐷=0 𝐶=−𝐷 𝐵=−2𝐷 𝐴=𝐷
  
  𝐷𝑥−2𝐷𝑦−𝐷𝑧+𝐷=0 так как 𝐷≠0
  
  𝑥−2𝑦−𝑧+1 =0 - уравнение плоскости
  
  𝑑= |0∙1−2∙0−1∙0+1 | 1+4+1 = 1 6 = 6 6
  
  C
  А
  B
  D
  А1
  B1
  C1
  D1
  N
  M
  x
  y
  z
  (0, 1 2 ,0)
  (0,0,0)
  (1,1,0)
  (0,0,1)
  Задача 1:
  В единичном кубе найти расстояние между прямыми 𝐁𝐀 𝟏 и 𝐃𝐁 𝟏
  Решение:
  Построим Точки M и N так чтобы
  BN = NC
  Соединим точки M и N
  A 1 M= M 1 D
  NDMB1 – искомое сечение
  
  Так как 𝐵𝐴 1 ||𝑀𝑁 из построенного следует 𝜌 𝐵𝐴;𝐷 𝐵 1 =𝜌 𝐵𝐴;𝛼 =𝜌 𝐵; 𝛼
  
  
  
  Введем систему координат:
  

• 5 слайд

  Решение:
  Метод объемов:
  Рассмотрим тетраэдр 𝐴 1 𝐷 1 𝐶𝐷:
  𝑨 𝟏 𝑫 и 𝑫 𝟏 𝑪 – скрещивающиеся прямые
  𝑉 тетраэдра = 1 6 ∙𝑎∙𝑏∙𝑑∙ sin 𝛼
  a, b – скрещивающиеся прямые
  𝛼−угол между прямыми 𝑎 и 𝑏
  d – расстояние
  𝑉 тетраэдра = 1 3 ∙ 𝑆 осн ∙ℎ= 1 3 ∙ 1 2 ∙1= 1 6
  < 𝑎;𝑏 = 60 °
  1 6 = 1 6 ∙ 2 ∙ 2 ∙𝑑∙ sin 60
  1=2∙𝑑∙ 3 2 𝑑= 1 3 𝑑= 3 3
  
  Задача № 2:
  В кубе со стороной 1 найти расстояние между прямыми 𝑨 𝟏 𝑫 и 𝑫 𝟏 𝑪
  
  А
  B
  D
  А1
  B1
  C1
  D1
  C
  

• 6 слайд

  Задача № 3:
  В правильной пирамиде SABCD в основании которой квадрат, а боковое ребро равно стороне квадрата найти угол между прямой АЕ и плоскостью SAC, где Е – середина апофемы грани SAB.
  
  Решение:
  Векторный метод:
  SABCD – правильная пирамида
  Найти: < 𝐷𝐸;𝐴𝑆𝐶
  SF – апофема; SE=EF
  sin 𝛼= | 𝐷𝐸 ∙ 𝑂𝐷 | | 𝐷𝐸 |∙| 𝑂𝐷 |
  где 𝐷𝐸 – направляющий вектор,
  𝑂𝐷 ⊥ 𝛼, 𝑂𝐷 −вектор нормали
  sin 90−𝛼 = cos 𝛼
  Введем базис: 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 −базис
  𝑂𝐷 = 1 2 ( 𝑎 − 𝑏 )
  𝐷𝐸 = 𝐷𝐴 + 𝐴𝐹 + 𝐹𝐸 =
  =− 𝑎 + 1 2 𝑏 + 1 2 𝑐 − 1 2 𝑏 =− 𝑎 + 1 4 𝑏 + 1 2 𝑐
  
  𝐷𝐸 ∙ 𝑂𝐷 = 1 2 𝑎 − 1 2 𝑏 − 𝑎 + 1 4 𝑏 + 1 2 𝑐 =− 1 2 𝑎 2 − 1 8 𝑏 2 + 5 8 𝑎 𝑏 + 1 4 𝑎 𝑐 − 1 4 𝑏 𝑐 =− 5 8
  
  F
  A
  B
  C
  D
  O
  S
  𝑎
  𝑏
  𝑐
  E
  

• 7 слайд

  𝐷𝐸 = 𝐷𝐸 2 = (− 𝑎 + 1 4 𝑏 + 1 2 𝑐 ) 2 =
  = 𝑎 2 + 1 16 𝑏 2 + 1 4 𝑐 2 − 1 2 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 1 4 𝑏𝑐 =
  = 1+ 1 16 + 1 4 −0− 1 2 + 1 8 = 15 16 = 15 4
  𝑂𝐷 = 𝑂𝐷 2 = 1 4 ( 𝑎 2 −2𝑎𝑏+ 𝑏 2 ) = 1 2 1−0+1 = 2 2 или
  sin 𝛼 = − 5 8 15 4 ∙ 2 2 = 5 30 = 30 6
  Ответ: 𝛼= arcsin 30 6
  
   
  
  

• 8 слайд

  Решение:
  Угол между плоскостями (угол между нормалями):
  Угол между нормалями: cos 𝛼 = | 𝑛 ∙ 𝑚 | | 𝑛 |∙| 𝑚 |
  Пусть сторона куба равна 2
  Рассмотрим треугольник 𝐴𝑀 𝐵 1
  2𝐴+0∙𝐵+0∙𝐶+𝐷=0 2𝐴+1∙𝐵+2∙𝐶+𝐷=0 0∙𝐴+0∙𝐵+2𝐶+𝐷=0 𝐴=− 𝐷 2 ; 𝐵=𝐷; 𝐶=− 𝐷 2
  
  Уравнения плоскости:
  − 𝐷 2 𝑥+𝐷𝑦− 𝐷 2 𝑧+𝐷=0 − 1 2 𝑥+𝑦− 1 2 𝑧+1=0
  𝑛{− 1 2 ;1;− 1 2 }- координаты вектора нормали
  Рассмотрим треугольник 𝐵 1 𝑁𝐶
  𝐶=− 𝐷 2 𝑂∙𝐴+2∙𝐵+0∙𝐶+𝐷=0 1∙𝐴+2∙𝐵+2∙𝐶+𝐷=0 𝐴=𝐷; 𝐵=− 𝐷 2 ; 𝐶=− 𝐷 2
  𝐷𝑥− 𝐷 2 𝑦− 𝐷 2 𝑧+𝐷=0 𝑥− 1 2 𝑦− 1 2 𝑧+1=0
  cos 𝛼 = |−0,5−0,5+0,25| 3 2 = 1 2 cos 𝛼= 1 2 ; 𝛼= 60 °
  А1
  А
  B
  D
  B1
  C1
  D1
  C
  x
  y
  z
  M
  N
  n
  (0,0,2)
  (2,1,2)
  (0,2,0)
  Задача № 4
  В единичном кубе найти угол между плоскостями 𝑨 𝑩 𝟏 𝑴 и 𝑩 𝟏 𝑴𝑪, где
  M и N – середины ребер 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 и 𝑫 𝟏 𝑪 𝟏 соответственно.
  
  (2,0,0)
  (1,2,2)
  (0,2,0)
  2
  2
  2
  (2,0,2)
  

• 9 слайд

  Список литературы
  Потоскуев Е.В. Геометрия, 10 кл.: задачник для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики.
  Литвиненко Н.В. Геометрия – 10: Проверочные и контрольные работы
  Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия.
  Шарыгин И.Ф. Математика: решение задач: 11 кл.
  

• 10 слайд

  Спасибо за Внимание!!!