Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему "Свойства и график функции y=cos x"

Презентация по математике на тему "Свойства и график функции y=cos x"



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


  • Математика
* Функция y = cos x Ее свойства и график Наумова Ирина Михайловна
* Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функци...
* Построение графика Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и м...
* Как использовать периодичность и четность при построении Так как функция пе...
* Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0;  и отразим,...
* Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью сдвигов н...
* Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прям...
* Для этого нужно вспомнить Как найти область определения и множество значени...
* Область определения Каждому действительному числу х соответствует единствен...
* Множество значений Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно...
* Периодичность Функция y = f (x) называется периодической, если существует т...
* Четность, нечетность Функция y = f (x) называется четной, если для каждого...
* Возрастание, убывание Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибол...
* Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольш...
* Свойства функции y = cos x Область определения: D(f): х  R; Множество знач...
* Свойства функции y = cos x (продолжение) Функция принимает значения: Равные...
* Преобразование графика функции y = cos x Изменение функции y = cos x + A y...
* y = cos x + A Параллельный перенос графика функции у = соs x вдоль оси орди...
* y = cos x + A (свойства) Изменяются множество значений функции; наибольшее...
* y = k · cos x Растяжение графика функции у = соs x вдоль оси ординат относи...
* y = k · cos x (свойства) Изменяется множество значений функции; наибольшее...
* y = 3 · cos x – 2 Построить график функции y = 3•cos x –2 (параллельный пер...
* Свойства функции y = 3 · cos x – 2 Область определения: D(f): х  R; Множес...
* y = 3 – 2 · cos (x + /2) Построим график функции y = cos x; Построим графи...
* Свойства функции y = 3 – 2 · cos (x + /2) Область определения: D(f): x  R...
1 из 25

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 * Функция y = cos x Ее свойства и график Наумова Ирина Михайловна
Описание слайда:

* Функция y = cos x Ее свойства и график Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 2 * Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функци
Описание слайда:

* Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Изменение свойств функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента; Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 3 * Построение графика Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и м
Описание слайда:

* Построение графика Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок -1; 1. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 4 * Как использовать периодичность и четность при построении Так как функция пе
Описание слайда:

* Как использовать периодичность и четность при построении Так как функция периодическая с периодом 2, то достаточно построить ее график на каком – нибудь промежутке длиной 2, например на отрезке -  х  ; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2n, nZ, график будет таким – же. Функция y = cos x является четной. Поэтому ее график симметричен относительно оси OY. Для построения графика на отрезке -  х   достаточно построить его для 0  х  , а затем симметрично отразить относительно оси OY. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 5 * Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0;  и отразим,
Описание слайда:

* Найдем несколько точек для построения графика на отрезке 0;  и отразим, полученную часть графика симметрично относительно оси OY. x 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  y=cos x 1 3/2 2/2 ½ 0 -½ -2/2 -3/2 -1 Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 6 * Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью сдвигов н
Описание слайда:

* Распространим полученный график на всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2, 4 и т.д. вправо, на -2, -4 и т.д. влево, т.е. вообще на 2n, nZ. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 7 * Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прям
Описание слайда:

* Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке 0; . Поэтому свойства функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке 0; . Например, функция y = cos x возрастает на отрезке -; 0, так как она убывает на отрезке 0;  и является четной. Перечислим основные свойства функции y = cos x. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 8 * Для этого нужно вспомнить Как найти область определения и множество значени
Описание слайда:

* Для этого нужно вспомнить Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций; Какие функции называются периодическими и как найти период функции; Какие функции называются четными (нечетными); Когда функция возрастает (убывает); Как найти нули функции; Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения; Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 9 * Область определения Каждому действительному числу х соответствует единствен
Описание слайда:

* Область определения Каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки 1; 0 на угол х радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x. Таким образом, областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 10 * Множество значений Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно
Описание слайда:

* Множество значений Чтобы найти множество значений функции y = cos x, нужно выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях х, т.е. установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых cos x = y. Известно, что уравнение cos x = a имеет корни, если |a|  1, и не имеет корней, если |a| > 1. Следовательно множеством значений функции y = cos x является отрезок –1  у  1. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 11 * Периодичность Функция y = f (x) называется периодической, если существует т
Описание слайда:

* Периодичность Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число Т  0, что для любого х из ее области определения выполняется равенство f (x – T) = f (x) = f (x + T). Число Т называется периодом функции. Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2)=sin x, cos(x + 2)= cos x. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2. Такие функции называются периодическими с периодом 2. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 12 * Четность, нечетность Функция y = f (x) называется четной, если для каждого
Описание слайда:

* Четность, нечетность Функция y = f (x) называется четной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = f (x), график симметричен относительно оси ординат. Функция y = f (x) называется нечетной, если для каждого значения х из ее области определения выполняется равенство f (-x) = -f (x), график симметричен относительно начала координат. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 13 * Возрастание, убывание Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибол
Описание слайда:

* Возрастание, убывание Функция y = f(x) называется возрастающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наибольшее (наименьшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 > x2 (x1 < x2). Функция y = f(x) называется убывающей, если наибольшему (наименьшему) значению функции соответствует наименьшее (наибольшее) значение аргумента. Т.е. если у1 > y2 (y1 < y2), то x1 < x2 (x1 > x2). Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 14 * Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольш
Описание слайда:

* Нули функции, положительные и отрицательные значения, наименьшее и наибольшее значения. Для того чтобы определить когда функция y = cos x принимает значения, равные: нулю; положительные; отрицательные; наименьшее; наибольшее, необходимо решить: уравнение cos x = 0; неравенство cos x > 0; неравенство cos x < 0; уравнение cos x = -1; уравнение cos x = 1; Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 15 * Свойства функции y = cos x Область определения: D(f): х  R; Множество знач
Описание слайда:

* Свойства функции y = cos x Область определения: D(f): х  R; Множество значений: у  [-1;1]; Периодичность: Т = 2; Четность: четная, т.к. cos(-x) = cos x, график симметричен относительно оси ординат; Функция возрастает при: +2n  x  2(n+1), nZ; Функция убывает при: n  x   + 2n, n  Z. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 16 * Свойства функции y = cos x (продолжение) Функция принимает значения: Равные
Описание слайда:

* Свойства функции y = cos x (продолжение) Функция принимает значения: Равные нулю при х=/2+n, nZ; Положительные при -/2+2n  x  /2+2n, nZ; Отрицательные при /2+2n  x  3/2+2n, nZ; Наибольшее, равное 1, при x = 2n, n  Z; Наименьшее, равное –1, при x =  + 2n, n  Z. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 17 * Преобразование графика функции y = cos x Изменение функции y = cos x + A y
Описание слайда:

* Преобразование графика функции y = cos x Изменение функции y = cos x + A y = k · cos x y = - cos x y = cos x  Изменение аргумента y = cos (x – a) y = cos (k · x) y = cos (- x) y = cos x  Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 18 * y = cos x + A Параллельный перенос графика функции у = соs x вдоль оси орди
Описание слайда:

* y = cos x + A Параллельный перенос графика функции у = соs x вдоль оси ординат на А единиц вверх, если А > 0 и на А  единиц вниз, если А < 0. Например: y = cos x + 2; y = cos x – 1. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 19 * y = cos x + A (свойства) Изменяются множество значений функции; наибольшее
Описание слайда:

* y = cos x + A (свойства) Изменяются множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения; нули функции; промежутки положительных (отрицательных) значений. Например: y = cos x + 2. E (f): cos x + 2 = a  cos x = a – 2, т.к. – 1  y  1, то –1  а – 2  1  1  а  3, т.е. y  1; 3. Нули функции: cos x + 2 = 0  cos x = -2 данное уравнение не имеет корней т.к. |-2|  1  график данной функции не пересекает ось абсцисс. f (x) > 0: при любом значении х. f (x) < 0: нет. y (наиб) = 3, при: x = 2n, n  Z (т.к. cos x + 2 = 3  cos x = 1  x = 2n, n Z). y (наим) = 1, при: x =  + 2n, n Z (т.к. cos x + 2 = 1  cos x = - 1  x =  + 2n, n  Z). Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 20 * y = k · cos x Растяжение графика функции у = соs x вдоль оси ординат относи
Описание слайда:

* y = k · cos x Растяжение графика функции у = соs x вдоль оси ординат относительно оси абсцисс в k раз, если k > 0 и сжатие в 1/k раз, если 0 < k < 1. Например: y = 3 • cos x; y = 0,5 • cos x. Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 21 * y = k · cos x (свойства) Изменяется множество значений функции; наибольшее
Описание слайда:

* y = k · cos x (свойства) Изменяется множество значений функции; наибольшее (наименьшее) значения. Например: y = 3 • cos x E (f): 3•cos x = a  cos x = a/3, т.к. – 1  y  1, то - 1  a/3  1  - 3  a  3, т.е. y  -3; 3. Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при: x = 2n, n  Z (т.к. 3cos x = 3  cos x = 1  x = 2n, n  Z). Функция принимает наименьшее значение, равное – 3, при: x =  + 2n, n  Z (т.к. 3cos x = - 3  cos x = - 1  x =  + 2n, n  Z). Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 22 * y = 3 · cos x – 2 Построить график функции y = 3•cos x –2 (параллельный пер
Описание слайда:

* y = 3 · cos x – 2 Построить график функции y = 3•cos x –2 (параллельный перенос графика y = 3•cos x вдоль оси OY на 2 единицы вниз). Построить график функции y = cos x; Построить график функции y = 3•cos x (растяжение графика функции y = cos x вдоль оси OY в 3 раза); Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 23 * Свойства функции y = 3 · cos x – 2 Область определения: D(f): х  R; Множес
Описание слайда:

* Свойства функции y = 3 · cos x – 2 Область определения: D(f): х  R; Множество значений: y  [- 5; 1], т.к. –1  cos x  1  - 3  3cos x  3  - 5  3cos x – 2  1; Периодичность: Т = 2; Четность: четная, т.к. 3сos (-x) –2 = 3cos x – 2  график функции симметричен относительно оси OY; Возрастает: на отрезке [; 2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2; 3…; Убывает: на отрезке [0;  и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3… Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 24 * y = 3 – 2 · cos (x + /2) Построим график функции y = cos x; Построим графи
Описание слайда:

* y = 3 – 2 · cos (x + /2) Построим график функции y = cos x; Построим график функции y = cos (x + /2)(параллельный перенос графика функции y = cos x вдоль оси абсцисс на /2 единиц влево); Построим график функции y = 2cos(x + /2)(растяжение графика функции y = cos(x + /2) вдоль оси OY в 2 раза); Построим график функции y = - 2cos(x + /2)(симметричное отражение графика функции y = 2cos (x + /2) относительно оси OX); Построим график функции y = 3 – 2cos (x + /2) (параллельный перенос графика функции y = - 2cos (x + /2) вдоль оси OY на 3 единицы вверх). Наумова Ирина Михайловна

№ слайда 25 * Свойства функции y = 3 – 2 · cos (x + /2) Область определения: D(f): x  R
Описание слайда:

* Свойства функции y = 3 – 2 · cos (x + /2) Область определения: D(f): x  R; Множество значений: y   1; 5, т.к. –1  cos (x + /2)  1  –2  2cos (x + /2)  2  1  3 – 2cos (x + /2)  5; Периодичность: Т = 2; Четность: ни четная, ни нечетная, т.к. у(-х)  у(х)  -у (х) (график не симметричен ни оси OY, ни началу координат ) Возрастает: на 3/2; 5/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3… Убывает: на /2; 3/2 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2n, n = 1, 2, 3… Функция принимает значения равные: нулю: нет (уравнение 3 – 2cos( x + /2) = 0 не имеет корней т.к.|- 3/2| > 1); положительные: при любом х; наибольшее, равное 5: при x = /2 + 2n, n  Z. наименьшее, равное 1: при х = - /2 + 2n, n  Z. Наумова Ирина Михайловна



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

В презентации очень подробно рассмотрена данная тема, хорошее наглядное представление и присутствуют элементы анимаций. Рекомендую

Построение графика функции y = cos x;

Свойства функции y = cos x;

Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента;

Изменение свойств функции y = cos x в зависимости от изменения функции и аргумента;

Примеры построения графиков функций путем анализа изменения их свойств.

Функция y = cos x определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок [-1; 1]. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.

Итак, график функции y = cos x построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке [0; p]. Поэтому свойства функции y = cos x можно получить , опираясь на свойства этой функции на отрезке [0; p]. Например, функция y = cos x возрастает на отрезке [-p; 0], так как она убывает на отрезке [0; p] и является четной.
Перечислим основные свойства функции y = cos x.


Как найти область определения и множество значений тригонометрических функций;

Какие функции называются периодическими и как найти период функции;

Какие функции называются четными (нечетными);

Когда функция возрастает (убывает);

Как найти нули функции;

Как определить на каких промежутках функция принимает положительные (отрицательные) значения;

Как определить когда функция принимает наибольшее (наименьшее) значения.


Автор
Дата добавления 19.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров873
Номер материала 287626
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх