Презентация по математике на тему :" Теорема Менелая"

• 1 слайд

  Теорема Менелая
  Выполнила ученица 8 «А» класса
  МБОУ СОШ № 20 г.Элисты.
  Ким Елена Сергеевна.
  «Все незначительное нужно,
  Чтобы значительному быть…»
  

• 2 слайд

  Содержание.
  Введение
  Биография великого математика Менелая
  Теорема Менелая
  Обратная теорема Менелая
  Задачи к теореме Менелая
  Приложение (домашнее задание)
  Заключение
  Литература
  

• 3 слайд

  
  Объект исследования: теорема Менелая
  
  Цель исследования:
  изучить теорему Менелая,узнать её историю и где она применяется.
  
  Задачи исследования:
  1.Познакомиться с биографией Менелая Александрийского.
  2.Изучить теорему Менелая.
  3.Узнать, какие задачи решаются с помощью теоремы Менелая.
  4.Составить и решить задачи с помощью теоремы Менелая.
  5.Расширить свои знания по истории математики.
  

• 4 слайд

  Введение
  В курсе геометрии были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс.Рассмотрим теорему,которую доказал Менелай Александрийский. Менелай впервые излагает тригонометрию обособленно от геометрии и астрономии.
  Менелай Александрийский,древнегреческий астролог и математик ( I века).Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики»( сохранились только в арабском переводе ). Тригонометрия у Менелая отделена
  от астрологии и геометрии.
  Арабские авторы упоминают также
  о книге Менелая по гидростатике.
  
  

• 5 слайд

  Теорема Менелая:
  «Если на сторонах ВС, СА, АВ треугольника ABC взяты три точки а, в, с, которые удовлетворяют соотношению,то эти три точки лежат на одной прямой».
  Раньше эта теорема была доказана для больших окружностей на сфере. Теорема Менелая была доказана ученым для сферического треугольника и, по всей вероятности была известна Евклиду (III до н.э.) Менелай доказал очень важную роль для геометрии теорему об условии принадлежности трех точек одной прямой.
  Мы знаем, что: медианы треугольника пересекаются в одной точки; биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; высоты треугольника (или их продолжениях) пересекаются в одной точке.
  Поставим теперь более общий вопрос. Рассмотрим треугольник ABC и отметим на его сторонах BC,CA и AB (или их продолжениях) точки A1,B1 и C1. При каком расположении этих точек прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или будут лежать на одной прямой?
  .
  

• 6 слайд

  Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС (или их продолжения) в точках А1, В1, С1, то справедливо соотношение
  Теорема Менелая
  B
  С1
  А1
  С
  B1
  А
  c
  .
  

• 7 слайд

  Доказательство.
  3. ∆АС1В1 и ∆ СКВ1 подобны т.к. С1АВ1 = КСВ1 и АС1В1 = СКВ1
  внешние односторонние углы при параллельных
  прямых АС1, СК и секущих АВ1 и С1В.
  4. Значит
  Теорема Менелая
  5. ∆ВС1А1 и ∆ СКА1 подобны, т.к. ВА1С1 = СА1К – вертикальные, С1ВА1 = КСА1 - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и СК и секущей ВС.
  1. Проведем через точку С, прямую параллельно АВ.
  2. К – точка её пересечения с
  прямой В1С1.
  B
  С1
  А1
  С
  B1
  А
  c
  К
  

• 8 слайд

  Теорема доказана.
  Доказательство.
  6. Значит
  Теорема Менелая
  B
  С1
  А1
  С
  B1
  А
  c
  К
  7. Из равенства находим, что
  8. Получаем, что
  

• 9 слайд

  Теорема Менелая
  B
  С1
  А1
  С
  B1
  А
  c
  Теорема (Менелая обратная). Пусть дан треугольник АВС. Предположим, что точка С1 лежит на стороне АВ, точка А1 лежит на стороне ВС, а точка В1 лежит на продолжении стороны АС, причём про эти точки известно, что
  
  
  Тогда эти точки лежат на одной прямой.
  .
  

• 10 слайд

  Задача 1. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причем АС = 2 СN. Точка М находится на стороне ВС, причем ВМ : МС = 1 : 3.
  В каком отношении прямая MN делит сторону АВ?
  А
  В
  С
  N
  M
  K
  a
  2a
  x
  3x
  Решение.
  Теорема Менелая
  Ответ:
  .
  

• 11 слайд

  Задача 2. В трапеции АВСD основание АD в три раза больше, чем ВС. Точка М делит сторону СD в отношении СМ : МD = 1 : 2. Определите в каком отношении отрезки АМ и BD делятся точкой их пересечения.
  Решение.
  Теорема Менелая
  2) Применим теорему Менелая к треугольнику ВCD и прямой АР:
  .
  

• 12 слайд

  Задача 3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD:DC =1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника AEF.
  E
  А
  В
  С
  D
  F
  Решение.
  Возьмем точку К на АВ так,
  что DK ││ЕC.
  К
  Δ СЕВ подобен Δ DKB по двум углам.
  СВ : DB = EB : BK = 3 : 1.
  Тогда ВК = х, АЕ = ВЕ = 3х.
  2) SABD : SABC = BD : CB = 1 : 3 (общая высота, проведенная из точки А).
  3) SAKD : SABD = AK : AB = 5 : 6
  (общая высота, проведенная из точки D).
  Теорема Менелая
  

• 13 слайд

  Задача 4. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найти отношение АР : РА1.
  х
  х
  5 – х
  8 – х
  4
  Теорема Менелая
  Решение.
  Ответ:
  

• 14 слайд

  Теорема Менелая
  
  Домашнее задание.
  3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка пересечения делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины.
  2. В треугольнике АВС угол С – прямой, ВС = 3, АС = 4 и проведены биссектриса СD и медиана АМ. Найти площадь треугольника СЕМ.
  Дан треугольник АВС, в котором ВМ – медиана. Точка Р лежит на стороне АВ, точка Q – на стороне ВС, причем
  
  Отрезок PQ пересекает медиану ВМ в точке R.
  Найти
  

• 15 слайд

  Заключение.
  В результате выполненного нами исследования как одного из приема по укрупнению дидактических единиц, обнаружена новая единица знаний – это использование исторических теорем для развития логического мышления.
  В нашей работе для решения задач используется кооординатный метод Декарта.В восьмом классе Погорелов впервые сообщает системы координат учащимся.
  В учебниках Погорелова, Александрова очень мало внимания уделяется истории геометрии, историческим задачам.
  Рассмотренные упражнения приучают учащихся думать, вырабатывать логическую последовательность в рассуждениях, способствуют выявлению их индивидуальных способностей.
  Практическая значимость состоит в том, что выводы и рекомендации данной работы могут быть использованы во внеклассной работе учителей средней школы.
  

• 16 слайд

  
  Литература
  1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7 - 9 . сред. шк. – 2-е изд. – М.: «Просвеще­ние», 1991.
  2.Математика в школе - №8, 2004.
  3.Шарыгин И.Ф. Геометрия 9 – 11. – от учебной задачи и творческой – М.: « Дрофа», 1997.