Презентация по математике на тему "Тригонометрические уравнения"

• 1 слайд

  
  Тригонометрические уравнения
  
  

• 2 слайд

  Определение.
  Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком  тригонометрических функций.
  Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида
  

• 3 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
  Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует четыре основных методов решения  тригонометрических уравнений.
  ‪1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки ) 
  

• 4 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
   2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.
   П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
  Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:
  sin x + cos x – 1 = 0
  преобразуем и разложим на множители выражение в
                                 левой части уравнения:
  

• 5 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
   2. Разложение на множители. 
  П р и м е р   2.   Решить уравнение:
  cos 2 x + sin x · cos x = 1.
    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
  sin x · cos x – sin 2 x = 0 , sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
  
  

• 6 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
   3.Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
    а)  перенести все его члены в левую часть;
     б)  вынести все общие множители за скобки;
     в)  приравнять все множители и скобки нулю;
     г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; 
     д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg . 
  
  

• 7 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
  Пример. Решить уравнение: 
  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
  Решение .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
  sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
  tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
  корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда
  1)   tg x = –1,                  2)   tg x = –3,
  
  

• 8 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений.
  4. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы 
  П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.
   
      Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:
   
                                          cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
   
                                                   cos 8x = 0 ,
   
                                                   8x = p / 2 + pk ,
   
                                                   x = p / 16 + pk / 8 .
   
  

• 9 слайд

  Решение уравнения
  а) sin²x+cos²2x=1,
  sin²x+(1-2sin²x)²=1,
  sin²x +1-4 sin²x+4 sin⁴x-1=0,
  -3 sin²x+4 sin⁴x=0,
  sin²x(-3+4sin²x)=0,
  sin x=0 или -3+4sin²x=0,
  x=πk, k€Z sin²x=3/4,
  sinx=√3/2 или sinx= -√3/2
  
  

• 10 слайд

  Решение уравнения
  
  
  
  3tg²x-8=4cos²x,
  
  
  3-3cos²x-8cos²x=4cos x,
  4cos x+11cos²x-3=0. Пусть cos²x=t, 0 ≤ t ≤ 1
  4t²+11t-3=0,
  t₁=1/4, t₂= -3 не удовлетворяет условию 0≤t≤1
  cos²x=1/4,
  cosx=±1/2, x₁=±π/3+2πk,
  x₂=±2π/3+2πk, k€Z