Презентация по математике на тему "Вероятность"

• 1 слайд

  Случайные события и их вероятности Математика

• 2 слайд

  Событие называется случайным если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Этот комплекс условий называется случайным опытом или случайным экспериментом. Случайным считается событие, связанное со случайным экспериментом. Пример Событие «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков.» Случайный эксперимент – подбрасывание кубика.

• 3 слайд

  Типы случайных событий Достоверное событие Невозможное событие Достоверное событие – это событие, которое обязательно происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Этому событию соответствует всё множество исходов данного эксперимента. Пример. Событие «При бросании кубика выпало не более 6 очков» Невозможное событие – это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Этому событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента. Пример. Событие «При бросании кубика выпало 7 очков»

• 4 слайд

  Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) - это событие Ā, которое не происходит, если А происходит, и наоборот. Пример Событие А «выпало четное число очков» и А«выпало нечётное число очков» при бросании игрального кубика. Два события А и В называются совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента (т.е. в соответствующих им множествах экспериментов нет одинаковых (общих) исходов). Пример События «Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось 6 очков; чётное число очков» - совместные. События «Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось 6 очков; 5 очков» - несовместные. Два события А и В считаются независимыми, если вероятность каждого из них ( Р(А) и Р(В) ) не зависит от наступления или не наступления второго.

• 5 слайд

  Классическое определение вероятности Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу (равновозможных между собой) исходов этого испытания. Обозначают так: Р(А)

• 6 слайд

  Классическая вероятностная схема Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого числа испытаний следует: Найти число N всех возможных исходов данного испытания; Найти количество N(A) тех исходов испытания, в которых наступит событие А. Найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

• 7 слайд

  Теорема 1 (правило суммы) Если множество А состоит из n элементов, множество B состоит из k элементов, а пересечение A ∩ B состоит из m элементов, то объединение A U B состоит из (n + k - m) элементов.

• 8 слайд

  Теорема 2 (о вероятности суммы событий) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность произведения этих событий: Р(А + В) = Р(А) Р(В) – Р(АВ)

• 9 слайд

  Следствия Следствие 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие 2. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие 3. Сумма вероятности события и вероятности противоположного ему события равна единице. Следствие 4. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события. Следствие 5. Если из единицы вычесть вероятность противоположного события, то получится вероятность самого события.

• 10 слайд

  Теорема 3 Пусть р – вероятность события А в некотором испытании и пусть это испытание независимым образом повторяют n раз. Тогда: вероятность того, что событие А наступит в каждом из n повторений, равна pn; Вероятность того, что событие А наступит хотя бы в одном из повторений, равна 1 – (1 - р)n

• 11 слайд

  Решение задач

• 12 слайд

  Задача№1 Игральный кубик бросают два раза. Описать пространство элементарных событий. Описать события: А – сумма появившихся очков равна 8; В – по крайней мере один раз появится 6.

• 13 слайд

  Решение задачи № 1 Будем считать пространством элементарных событий множество пар чисел (i, j), где i (соответственно j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании, тогда множество элементарных событий будет таким: W={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)} А – сумма появившихся очков равна 8. Этому событию благоприятствуют такие элементарные события А={(2,6) (6,2) (5,3) (3,5) (4,4)}. В – по крайней мере один раз появится 6. Этому событию благоприятствуют такие элементарные события В={(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)}.

• 14 слайд

  Задача № 2 Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов – по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из пяти тем в билете?

• 15 слайд

  Решение задачи №2 Обозначим события: А1, А2 – студент подготовил 1-й, 2-й вопросы билета по каждой теме; Bi – студент подготовил хотя бы один вопрос билета из двух по i-й теме (i = 1, 2, ..., 5); С – студент сдал экзамен. В силу условия С = В1В2В3В4B5. Полагая ответы студента по разным темам независимыми, по теореме умножения вероятностей Так как вероятности Р(Вi) (i=1,2,..., 5) равны, то P(C) = (Р(Вi))5 Теперь P(C) = 0,7635 = 0,259

• 16 слайд

  Задача № 3 Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков?

• 17 слайд

  Решение задачи № 3 Элементарное событие - число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А={выпало не более 4 очков} благоприятствует 4 элементарных события : 1,2,3,4. Поэтому N = 4. Поэтому Р(А) = N/п = 4/6 = 0,67.

• 18 слайд

  Задача № 4 В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

• 19 слайд

  Решение задачи № 4 Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.

• 20 слайд

  Задача кавалера де Мере При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу?

• 21 слайд

  Решение задачи кавалера де Мере На каждой из четырех костей может выпасть любое из шести чисел, независимо друг от друга. Всего вариантов 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296 Количество вариантов без шестерки будет, соответственно, 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625 В остальных 1296 – 625 = 671 вариантах шестерка выпадет хотя бы один раз. Значит, появление шестерки хотя бы один раз при четырех бросаниях происходит чаще, чем ее непоявление.

• 22 слайд