Презентация по математике на тему "Задача одна - решений много"

• 1 слайд

  Задача одна –
  решения разные
  
  Выполнила:
  ученица 10 класса
  Тулякова Анастасия Сергеевна
  Руководитель:
  учитель математики 1 категории
  Титова Мария Панкратовна
  
  
  
  Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
  Шатовская средняя школа
  
   
  Исследовательская работа: естественнонаучное направление-математика
   
  
  

• 2 слайд

  Цель
  Познакомиться с разными способами решения алгебраических и геометрических задач
  Научиться применять их на практике
  

• 3 слайд

  Задачи
  Изучить литературу, рассматривающую решения задач несколькими способами.
  Овладеть новыми методами решения задач
  Научиться новым алгоритмам решения задач
  Научиться рационально планировать поиск решения задач
  
  

• 4 слайд

  Алгебраические задача
  

• 5 слайд

  Задача №1
  Пусть α, b – натуральные числа . Доказать, что, если a - b делиться на 3, то и 𝒂 𝟑 - 𝒃 𝟑 делиться на 9
  

• 6 слайд

  1. Преобразуем разность кубов и ± 3ab
  𝑎 3 - 𝑏 3 = 𝑎−𝑏 𝑎 2 +𝑎𝑏+ 𝑏 2 …=
  = 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 2 +3𝑎𝑏
  
  
  2. Пусть 𝒂−𝒃=𝟑𝒌, 𝑘ϵ𝑁
  𝑎=3𝑘+𝑏, 𝑎 3 - 𝑏 3
  … =9k 3 𝑘 2 +3𝑘𝑏+ 𝑏 2
  
  
  3. Преобразуем разность кубов другим способом
  𝑎 3 − 𝑏 3 =…= 𝑎−𝑏 3 +3𝑎𝑏 𝑎−𝑏
  4. 𝑎=3𝑐+𝑟, 𝑏=3𝑑+𝑟
  3𝑐+𝑟 3 − 3𝑑+𝑟 3 =…=
  9 3 𝑐 3 +3 𝑐 2 𝑟+𝑐 𝑟 2 −3 𝑑 3 −3 𝑑 2 𝑟−𝑑 𝑟 2
  
  
  
  
  5. 𝑎−𝑏=3𝑘, 𝑘ϵ𝑁
  𝑎 3 − 𝑏 3 =…= 𝑎−𝑏 3 −3𝑎𝑏 𝑎−𝑏 ==27 𝑘 3 −9𝑎𝑏𝑘
  
  
  
  Способы решения
  

• 7 слайд

  Задача №2
  Разложить на множители многочлен 𝒙 𝟓 + 𝒙 𝟒 +𝟏
  
  

• 8 слайд

  1. 𝑥 5 + 𝑥 4 ± 𝒙 𝟐 ±𝒙+1 = 𝑥 5 − 𝑥 2 + 𝑥 4 −𝑥 + 𝑥 2 +𝑥+1 …⇛
  Способы решения
  𝒙 𝟓 + 𝒙 𝟒 +𝟏
  2. 𝑥 5 + 𝑥 4 ± 𝒙 𝟑 +1= 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 − 𝑥 3 −1 …⇛
  
  3. 𝑥 5 + 𝑥 4 ± 𝒙 𝟐 +1= 𝑥 5 − 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 2 +1 …⇛
  
  4. 𝑥 5 + 𝑥 4 ± 𝒙 𝟑 ± 𝒙 𝟐 ±𝒙+1= 𝑥 5 − 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 4 − 𝑥 2 +𝑥 + 𝑥 3 −𝑥+1 …⇛
  
  𝐱 𝟐 +𝐱+𝟏 𝐱 𝟑 +𝐱+𝟏
  
  5. Аналитический
  𝒙 𝟓 + 𝒙 𝟒 +𝟏
  𝑥 2 −𝑥+1
  𝑥 2 +𝑥+1
  𝑥 2 +𝑥−1
  𝑥 2 −𝑥−1
  𝑥+1
  𝑥−1
  

• 9 слайд

  Геометрические задачи
  

• 10 слайд

  В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны
  и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС
  
  

• 11 слайд

  О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы АD => прямоугольные треугольники АВО и DВО равны. Поэтому АО=ОD=2 и АВ=ВD, так что ВС=2АВ.
  Точка О начало прямоугольной системы координат, оси Ох придадим направление вектора ОD и будем считать, что |𝑂𝐷| 2  единица масштаба. В данной системе точки А, D, В имеют координаты: А(-2; 0), В(0; b), и D(2; 0). Для того чтобы определить длины сторон треугольника АВС надо найти число b.
  Выразим через b координаты точек С и Е.
  Так как D – середина отрезка ВС, то С(4; -b).
  Для точки Е найдем координаты(0; у).
  Вторую координату точки Е найдем, пользуясь тем,
  что точка Е принадлежит прямой АС.
  Уравнение прямой АС имеет вид:  𝑥+2 6 = 𝑦 −𝑏
  Координаты точки E(0;у) удовлетворяют этому уравнению.
  Подставив в него 0 вместо х, получим
  BE=4, у= - 1 3   b. Следовательно, ВЕ= 4 3  b. По условию задачи 
  значит, b=3.
  Итак, A(-2; 0), В(0; 3), С(4; -3). Зная координаты вершин треугольника АВС, найдем его стороны: АВ= 13   , ВС=2 13  , АС=3. 5
  
  1 способ
  

• 12 слайд

  Обозначим АВ=х, угол АВС=2а. По теореме косинусов из треугольников АВЕ и ВСЕ находим: 
  АЕ2=х2+16-8х 𝑐𝑜𝑠 𝑎
  CE2=4x2+16-16x 𝑐𝑜𝑠 𝑎
  
  Учитывая, что СЕ=2АЕ или CE2=4AE2 , получаем: x 𝑐𝑜𝑠 𝑎 =3. Но x 𝑐𝑜𝑠 𝑎 =ВО, значит, ВО=3 и ОЕ=1.Остается, пользуясь теоремой Пифагора, вычислить стороны треугольника АВС. 
  
  2 способ
  

• 13 слайд

  3 способ
  Так как АО=ОD=2, ВЕ=4 и АD перпендикулярно ВЕ, то площадь каждого из треугольников ВАЕ и ВDE равна 4. Площадь треугольника СDE также равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равных треугольника. Значит площадь треугольника АВС равна 12. Поскольку AD – медиана треугольника АВС, то площадь треугольника ABD равна 6.
  По формуле площади треугольника АО*ВО=6. Но АО=2, значит, ВО=3. Стороны треугольника АВС найдем по теореме Пифагора. Итак, задача решается устно, если догадаться соединить точки D и Е и вычислять площади треугольников. 
  
  

• 14 слайд

  
  
  B
  
  
  
  
  
  
  A
  O
  
  D
  
  
  
  E
  
  
  C
  
  Точки А и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим еще точку, симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Для этого продолжим отрезок DE до пересечения с прямой АВ и обозначим через F точку пересечения прямых АВ и DЕ. Получим равнобедренный треугольник ВСF; из равенства треугольников ВЕF и ВЕС следует, что ВF=ВС. Продолжим еще биссектрису ВЕ до пересечения с СF в точке Н. Тогда ВН – биссектриса треугольника ВСF, а следовательно, и его медиана. Таким образом, Е – точка пересечения медиан треугольника ВСF, и поэтому ЕН=2 ВЕ=4, а ВН=6. 
  
  Средняя линия АD треугольника ВСF делит медиану ВН пополам, поэтому ВО=3. Далее по теореме Пифагора найдем стороны треугольника АВС. АВ= 13 , ВС=2 13 , АС=3 5
  
  4 способ
  F
  H
  

• 15 слайд

  5 способ
  Проведем среднюю линию DK треугольника ВСЕ. Так как DK||ВЕ и АО=ОD, то ОЕ – средняя лини треугольника АDK. Следовательно, ОЕ= 1 2  DK и DK= 1 2  ВЕ, т.е. ОЕ=  1 4 ВЕ. Так как ВЕ=4, то ОЕ=1 и ВО=3. Из приведенного решения видно, что отношение ВО/ОЕ не зависит от длин отрезков ВЕ и АD. Найти это отношение можно также, используя лишь тот факт, что АD – медиана треугольника АВС и АО=ОВ, причем без всяких вспомогательных построений.