Презентация по математике на тему"Геометрический смысл производной"

• 1 слайд

  
  
  Геометрический смысл производной
  Презентация разработана преподавателем
  КС и ПТ Каракашевой И.В
  
  Санкт – Петербург
  2015
  

• 2 слайд

  Геометрический смысл
  производной
  Рассмотрим график функции y = f ( x ):
  Дадим x приращение x
  тогда функция получит приращение y.
  Если приближать (.) В к (.)А,
  x 0, то секущая АВ
  приблизится к касательной АС.
  Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной
  
  
  у
  Х
  0
  у=f(x)
  В
  С
  А
  x0
  x0 +
  y’(x0)=tg ∝
  

• 3 слайд

  Уравнение касательной
  Уравнение касательной к графику функции в точке A (x0, f (x0) ).
  y = f (x0) + f ’(x0) * ( x – x0 )
  Механический смысл производной
  Пусть материальная точка движется вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. Скорость точки в любой момент времени V(t)=x’(t).
  Подготовка к ЕГЭ
  Типовые задачи
  

• 4 слайд

  ПОДГОТОВКА К ЕГЭ
  1 тип
  На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательной к нему в точке с абсциссой x0. Найти значение производной функции в точке x0
  Алгоритм
  1) Определяем знак производной: если касательная – возрастающая функция то ставим знак «+»(в ответе его не пишем), если убывающая – знак «-».
  2) Значение производной функции в точке x0 равно tg угла наклона касательной. Для нахождения tg «навесим»под касательную прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты состояли из целого числа клеток
  

• 5 слайд

  1 тип
  tg =
  
  
  
  
  tg =
  Самостоятельная работа: Сборник «ЕГЭ 3000 задач. Математика» Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко, № 1864-1938
  число клеток вертикального катета
  число клеток горизонтального катета
  a
  b
  

• 6 слайд

  2 тип
  На рисунке изображен график функции y=f(x) на интервале. Найти количество точек, в которых касательная к графику параллельна прямой y=b.
  Алгоритм:
  Касательная параллельна горизонтальной прямой только в точках гладкого экстремума(значение производной в этих точках равно 0). Для решения задачи надо подсчитать количество точек гладкого экстремума
  
  гладкий гладкий
  максимум минимум
  Для решения задачи надо подсчитать количество точек гладкого экстремума
  Самостоятельная работа: Сборник «ЕГЭ 3000 задач. Математика» Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко, № 1684-1708
  

• 7 слайд

  3 тип
  На рисунке изображен график производной функции y=f(x) на интервале. Найти количество точек, в которых касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=k*x+и или совпадает с ним
  Алгоритм:
  Проводим горизонтальную прямую y=k и определяем количество точек пересечения этой прямой с графиком.
  Самостоятельная работа: Сборник «ЕГЭ 3000 задач. Математика» Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко, № 1803-1831
  

• 8 слайд

  4 тип
  Прямая y=kx+b параллельна касательной к графику y=f(x). Найти абсциссу точки касания.
  Алгоритм:
  Прямая параллельна касательной к графику функции если их угловые коэффициенты равны, т.е k=f’(x). Решить полученное уравнение относительно x.
  Самостоятельная работа: Сборник «ЕГЭ 3000 задач. Математика» Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко, № 1670-1674
  

• 9 слайд

  Решение:
  Касательная – убывающая функция => «-»
  Число клеток вертикального катета = 6
  Число клеток горизонтального катета = 4
  tg = -(6/4) = -1,5
  Ответ: -1,5
  1) На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
  

• 10 слайд

  2) На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x0
  Решение:
  Касательная возрастающая => «+»
  Число клеток вертикального катета = 3
  Число клеток горизонтального катета = 4
  tg = +(3/4) =0,75
  Ответ: 0,75
  
  
  

• 11 слайд

  3) На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-9; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=2x+5 или совпадает с ней.
  Решение:
  k=2
  Ответ: 4
  

• 12 слайд

  4) На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;15). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=1.
  Ответ: 7
  

• 13 слайд

  5) Прямая y=6x+9 параллельна касательной к графику функции y=x2+7x-6. Найдите абсциссу точки касания.
  Решение:
  y=6x+9 y параллельна касательной
  y=x2+7x-6
  k=6
  y’=2x+7 , k=y’(x0) => 6=2x0+7
  2x0=-1
  x0=-0,5
  Ответ: -0,5
  

• 14 слайд

  6) Прямая y=x+11 является касательной к графику функции y=x3+5x2+9x+15. Найдите абсциссу точки касания.
  Решение:
  y=x3+5x2+9x+15
  y=x+11
  k=1 => y’(x0)=1
  y’=3x2+10x+9 => 3x2+10x+9=1 => 3x2+9x+8=0
  x1=-2
  x2=-4/3
  Ответ: x1=-2
  С учетом ЕГЭ ответ -2, хотя в общем случае требуется проверка: в какой из точек уравнения касательной будет y=x+11
  
  

• 15 слайд

  Решение типовых задач
  1) Найти угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции f(x)=3x3-2x2-6 в точке с абсциссой x=2
  Решение:
  k=f’(x0) x0=2
  f’(x)=9x2-4x
  f’(x0)=9*22-4*2=36-8=28
  Ответ: k=28
  
  

• 16 слайд

  2) Найти координаты точки графика функции f(x)=2x2-x+1, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен 7.
  Решение:
  f’(x)=4x-1
  k=f’(x0)=4x0-1
  По условию k=7 => 4x0-1=7
  x0=2
  f(x0)=f(2)=2*22-2+1=8-1=7
  Ответ: (2;7)
  
  

• 17 слайд

  3) f(x)= x3-4x+2. Найти координаты точек ее графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.
  Решение:
  Т.к касательные к графику параллельны оси OX, то ∝=0 => tg∝=0 = > k =0
  k=f’(x0)
  f’(x)=x2-4
  f’(x0)=x02-4 k=0 => x02-4=0 =>
  x0=2 f(2)= *23-4*2+2= -6= -6=-
  x0=-2 f(-2)=(- )*23+4*2+2=(- )+10=- +10=
  
  Ответ: (2; - );(-2; )
  
  

• 18 слайд

  4) К функции f(x)=2sinx+3cosx проведены касательные в точках с абсциссами x1= и x2= . Являются ли эти касательные параллельными прямыми?
  Решение:
  Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, т.е
  k1=k2
  k1=f’(x1) k2=f’(x2)
  f’(x)=2cosx-3sinx
  k1=f’( )=2cos( )-3sin( )=2*0-3*1=-3
  k2=f’( )=2cos( )-3sin( )=2*0-3*(-1)=3
  k1≠k2
  Ответ: касательные не параллельны
  

• 19 слайд

  5) Найти угол между касательной к графику функции y=x4-2x3+3 в точке с абсциссой x0= и осью OX
  Решение:
  tg∝=y’(x0), где ∝ - угол наклона касательной к оси OX
  y’(x)=4x3-6x2
  y’( )=4*( )3-6*( )2= - = - =-1
  
  =>tg∝=-1 =>∝=1350
  Ответ: ∝=1350
  

• 20 слайд

  6) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у=х3-2x2+3 в точке с абсциссой х0=-2
  Решение: k=у’ (х0)
  y’=3x2-4x
  y’(-2)=12+8=20
  Ответ: k=20
  

• 21 слайд

  7) В каких точках кривой y=x3-6x2+9x касательная параллельна
  a) оси OX
  б) прямой y=9x-16
  Решение:
  а) если касательная параллельна оси OX => ее угловой коэффициент равен 0
  y’=3x2-12x+9
  y’=0  x2-4x+3=0 => x1=3, x2=1
  x1=3 => y(3)=27-54+27=0 (3;0)
  x2=1 => y(1)=1-6+9=4 (1;4)
  Ответ: касательная параллельна OX в точках (3;0) и (1;4)
  
  

• 22 слайд

  б) Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
  y=x3-6x2+9x k1=y’(x0)=3x02-12x0+9
  y=9x-16 => k2=9
  k1=k2 => 3x02-12x0+9=9
  x0(x0-4)=0 => x01=0, x02=4
  x01=0 y(0)=0 (0;0)
  x02=4 y(4)=64-96+36=4 (4;4)
  Ответ: касательные параллельны прямой y=9x-16 в точках (0;0) и (4;4)
  Самостоятельная работа: «Сборник задач для проведения письменного экзамена за курс средней школы. 11 класс», Дорофеев Г.В.
  4.165-4.184, 5.83-5.88