Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему"Методы и способы решения тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по математике на тему"Методы и способы решения тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов
Методы и способы решения тригонометрических уравнений Выполнила: Габдрахманов...
История тригонометрии Тригонометрия- с греч. измерение треугольников. Возникл...
Актуальность Знания тригонометрии применяются во многих областях науки; Изуче...
Цель исследования: Изучение методов решений тригонометрических уравнений на у...
Решение простейших уравнений sin x = α, |α| ≤ 1 x= (– 1)narcsin α + πn, где n...
Методы и способы решения тригонометрических уравнений В своей работе я рассмо...
Решение тригонометрических уравнений с помощью введения новой переменной. Три...
Уравнения, решаемые разложением на множители. Под разложением на множители п...
Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степеней. Уравнение н...
Решение тригонометрических уравнений с помощью формул. ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ...
Формулы преобразования суммы тригонометрической функции в произведение sin (α...
Решение уравнений с помощью замены переменных. Уравнения вида Р(sin x  cos x...
Уравнения f(x)= (x), содержащие арифметический квадратный корень. Уравнения т...
Результаты анкетирования. Им были предложены следующие вопросы и варианты отв...
Результаты, представленные в виде диаграмм 1 вопрос. Вы считаете тема «Тригон...
2 вопрос. Кто и в каком классе оказывал Вам помощь при решении тригонометриче...
3 вопрос. Будете ли Вы приступать к выполнению задания С1 (№15)?
Заключение В своей работе я изучила историю возникновения и применение на пра...
Углубленно изучила материалы по данной теме с использованием знаний, полученн...
Мои достижения
Спасибо за внимание!
21 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Методы и способы решения тригонометрических уравнений Выполнила: Габдрахманов
Описание слайда:

Методы и способы решения тригонометрических уравнений Выполнила: Габдрахманова Гульнара Владиковна, ученица 10 класса Научный руководитель: учитель математики высшей категории Бычкова Светлана Владимировна Ямало – Ненецкий автономный округ МБОУ СОШ №8 Г. Новый Уренгой

№ слайда 2 История тригонометрии Тригонометрия- с греч. измерение треугольников. Возникл
Описание слайда:

История тригонометрии Тригонометрия- с греч. измерение треугольников. Возникла тригонометрия в результате решения задач, связанных с землемерием, астрономией и строительным делом. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (II в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (II в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями. Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783гг.). Дальнейшее развитие теории было положено в XIX в. Н. И. Лобачевским и другими учёными.

№ слайда 3 Актуальность Знания тригонометрии применяются во многих областях науки; Изуче
Описание слайда:

Актуальность Знания тригонометрии применяются во многих областях науки; Изучение тригонометрии помогает развить логику, нестандартное мышление человека; Затрачивается огромное количество различных ресурсов человека на решение тригонометрических уравнений, поэтому методы и способы их решения необходимо систематизировать.

№ слайда 4 Цель исследования: Изучение методов решений тригонометрических уравнений на у
Описание слайда:

Цель исследования: Изучение методов решений тригонометрических уравнений на уроках математики; Обобщение и расширение знаний и умений, связанных с решением тригонометрических уравнений на базе физико-математической школы УРЕК(г.Белорецк, Башкирия); Изучение новых способов решения тригонометрических уравнений, выходящих за пределы курса алгебры 10 класса; Исследование тригонометрического уравнения несколькими способами. Задачи исследования: Провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа; Рассмотреть другие методы решения тригонометрических уравнений; Подобрать задания из вариантов ЕГЭ; Рассмотреть способы отбора корней на заданном промежутке из заданий части С1. Провести анкетирование среди учеников 10-11 классов МБОУ СОШ №8 с целью выяснить их мнение о задании С1 (№15).

№ слайда 5 Решение простейших уравнений sin x = α, |α| ≤ 1 x= (– 1)narcsin α + πn, где n
Описание слайда:

Решение простейших уравнений sin x = α, |α| ≤ 1 x= (– 1)narcsin α + πn, где n  Z Частные случаи: α = – 1, х = - π/2 + 2πn, n € Z α = 0, х = πn, где n  Z; α = 1, х = π/2 + 2πn, n € Z cos x = α, | α | ≤ 1 x =  arccos α + 2πn, где n Z Частные случаи: α = – 1, х = - π + 2πn, n € Z α = 0, х = π/2 + πn, n € Z α = 1 , х = 2πn, n € Z Простейшими называются тригонометрические уравнения вида sin x = α; cos x = α; tg x = α; ctg x = α, где x – переменная, α – данное число. tg x = α, α  (– ; ), x ≠ x = arctg α + πn, где n  Z ctg x = α, α  (– ; ), x ≠ x = arсctg α + πn, где n  Z

№ слайда 6 Методы и способы решения тригонометрических уравнений В своей работе я рассмо
Описание слайда:

Методы и способы решения тригонометрических уравнений В своей работе я рассмотрела следующие способы: Решение тригонометрических уравнений с помощью введения новой переменной: Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным; Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента; Уравнения, решаемые разложением на множители; Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени; Решение тригонометрических уравнений с помощью формул: Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму; Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение; Применение формул понижения степени. Решение уравнений с помощью замены переменных: Уравнения вида Р (sin x  cos x, sin x cos x) = 0; Решение уравнений с помощью универсальной подстановки. Уравнения, содержащие арифметический квадратный корень.

№ слайда 7 Решение тригонометрических уравнений с помощью введения новой переменной. Три
Описание слайда:

Решение тригонометрических уравнений с помощью введения новой переменной. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным. Этот метод еще называют алгебраическим. Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, мы преобразовываем все тригонометрические функции, участвующие в рассматриваемом уравнении через одну какую-нибудь простейшую тригонометрическую функцию. И вводим новый аргумент t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. Этот метод применяют при решении уравнений вида a sinx + b cosx = c, a2 + b2 ≠ 0 (относительно переменной x). Сначала следует обе части разделить на a2 + b2 . Получим a/ a2 + b2 sinx+b/ a2 + b2 cosx= = c/ a2 + b2; Коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами: 1) | a/ a2 + b2 | < 1, b/ a2 + b2 < 1; 2) (a/ a2 + b2 )2 + (b/ a2 + b2 )2 = 1; Т.е. a/ a2 + b2 = cos , а b/ a2 + b2 = sin , где - вспомогательный угол. Тогда уравнение приобретет следующий вид: sin ( x + ) = c/ a2 + b2 ; Откуда x = - + (- 1)narcsin(c/ a2 + b2)+ n, nZ, где = arccos(a/ a2 + b2 ) или = arcsin(b/ a2 + b2 ). Если c/ a2 + b2 > 1,то решений нет.

№ слайда 8 Уравнения, решаемые разложением на множители. Под разложением на множители п
Описание слайда:

Уравнения, решаемые разложением на множители. Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. Пример. cos2x + sinx • cosx = 1. Решение. cos2 x + sin x•cos x – sin2 x –cos2x=0, sin x cos x – sin2 x = 0 sin x ( cos x – sin x )= 0 sin x = 0; xn = πn, где n  Z cos x – sin x = 0 ; 1 – tg x = 0; tg x = 1; xm = π/4 + πm, где m  Z. Ответ: xn = πn, n  Z; xm = π/4 + πm, m  Z.

№ слайда 9 Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степеней. Уравнение н
Описание слайда:

Однородные тригонометрические уравнения первой и второй степеней. Уравнение называется однородным относительно sinх и cosх, если все его члены одной и той же степени относительно sinх и cosх одного и того же угла. ао sinn х + a1 sinn – 1 х  сos x + a2 sinn – 2 х  сos2 x + … + an сos n x=0, где ао, a1, a2, …, an – действительные числа, n – показатель однородности. Чтобы решить однородное уравнение, нужно: перенести все его члены в левую часть; вынести все общие множители за скобки; приравнять все множители и скобки нулю; скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin) в старшей степени; решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg.

№ слайда 10 Решение тригонометрических уравнений с помощью формул. ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Описание слайда:

Решение тригонометрических уравнений с помощью формул. ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭТИМ МЕТОДОМ НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ СЛЕДУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ Формулы преобразования произведения тригонометрической функции в сумму sin α · cos β = (sin (α + β) + sin (α - β)) sin α · sin β = (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β =(cos (α - β) + cos (α + β)) tgα ∙ tgβ = cos (α - β) - cos (α + β) ÷ ÷ cos (α - β) +cos (α + β)= tgα + tgβ ÷ ctgα+ctgβ ctgα ∙ ctgβ = cos (α - β) +cos (α + β) ÷ ÷ cos (α - β) - cos (α + β) = ctgα+ctgβ ÷ tgα+tgβ tgα ∙ ctgβ = sin (α - β) + sin (α + β) ÷ ÷ sin (α + β) - sin (α - β) Формулы понижения степени тригонометрических функций sin² α = 1-cos 2α ÷ 2 cos² α = 1+cos 2α ÷ 2 tg2 α = 1-cos 2α ÷ 1+cos 2α ctg2 α = 1+cos 2α ÷ 1-cos 2α sin2 α/2 = 1-cos α ÷ 2 cos2 α/2 = 1+cos α ÷ 2 tg2 α/2 = 1-cos α ÷1+cos α ctg2 α/2 = 1+cos α ÷1-cos α

№ слайда 11 Формулы преобразования суммы тригонометрической функции в произведение sin (α
Описание слайда:

Формулы преобразования суммы тригонометрической функции в произведение sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β) tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β) ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α) ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

№ слайда 12 Решение уравнений с помощью замены переменных. Уравнения вида Р(sin x  cos x
Описание слайда:

Решение уравнений с помощью замены переменных. Уравнения вида Р(sin x  cos x, sin x *cos x) = 0 Уравнения вида Р(sin x  cos x, sin x *cos x) = 0, где P(y, z) – многочлен, решается заменой cos x sin x = t, (cos x sin x)2 = t2 ,1  2sin x *cos x = t2 ,  2sin x*cos x = t2-1 Решение уравнений с помощью универсальной подстановки. Этот метод является общим для решения уравнений вида R(sinx, cosx) = 0, где R (u, v) – дробно-рациональная функция от переменных u, v. Он основан на замене переменной tg x/2=t, следовательно, выражая выражения тригонометрических функций, будем иметь sinx = 2tg ÷ 1+tg 2 = 2t ÷ 1+t 2; cosx = 1-tg 2 ÷1+tg 2 = 1-t 2÷ 1+t 2 . При этом исходное уравнение преобразуется к виду R (2t ÷ 1+t, 1-t 2 ÷ 1+t 2 )= 0, которое является дробно-рациональным уравнением относительно t. Оно сводится (после умножения на общий знаменатель) к многочленному уравнению. Найдя корни t = ti, где i = 1,…,k уравнения R (2t ÷ 1+t, 1-t 2 ÷ 1+t 2 ) = 0, получим простейшие уравнения tg = ti (i = 1,…, k). Решив эти уравнения, найдем корни исходного уравнения. Замена tg = t сужает ОДЗ исходного уравнения, так как функция tg не имеет смысла при x ÷ 2=π ÷ 2+πn x=(2n+1)π, n€ Z. Поэтому, при решении уравнения R(sinx, cosx) = 0 с помощью универсальной подстановки можно потерять корни. Чтобы этого не произошло, необходимо сначала проверить, будут ли значения x ÷ 2=π ÷ 2+πn x= (2n+1)π, n€ Z переменной x корнями исходного уравнения, а затем, считая, что x ≠ (2n+1)π, n€ Z , применить подстановку tg = t.

№ слайда 13 Уравнения f(x)= (x), содержащие арифметический квадратный корень. Уравнения т
Описание слайда:

Уравнения f(x)= (x), содержащие арифметический квадратный корень. Уравнения такого типа решаются следующим образом: при условии, что обе части тригонометрического уравнения неотрицательны, возводим их в квадрат и решаем. Самый лучший способ решения уравнения – каждый раз заменять его равносильным, тогда корни последнего уравнения будут корнями исходного. Такой способ решения уравнений считается идеальным. На практике приходится заменять уравнение его следствием, вообще говоря, ему не равносильным. При этом потеря корней не происходит, но посторонние корни могут появиться. Для исключения из решения уравнения таких корней необходимо провести проверку или для эквивалентности достаточно рассмотреть f2(x)= (x) . f(x) > 0

№ слайда 14 Результаты анкетирования. Им были предложены следующие вопросы и варианты отв
Описание слайда:

Результаты анкетирования. Им были предложены следующие вопросы и варианты ответа: 1) Вы считаете тема «Тригонометрические уравнения» простая; сложная; не задумывался. 2) Кто и в каком классе оказывал Вам помощь при решении тригонометрических уравнений? родители; учитель; друзья. 3) Будете ли Вы приступать к выполнению задания С1 (№15)? да; нет; не знаю. Из 53 учеников участвовали в анкетировании 33 человека. Было проведено анкетирование среди 10-11 классов МБОУ СОШ №8 для того, чтобы узнать мнение старшеклассников о задании части С1(№15).

№ слайда 15 Результаты, представленные в виде диаграмм 1 вопрос. Вы считаете тема «Тригон
Описание слайда:

Результаты, представленные в виде диаграмм 1 вопрос. Вы считаете тема «Тригонометрические уравнения»

№ слайда 16 2 вопрос. Кто и в каком классе оказывал Вам помощь при решении тригонометриче
Описание слайда:

2 вопрос. Кто и в каком классе оказывал Вам помощь при решении тригонометрических уравнений?

№ слайда 17 3 вопрос. Будете ли Вы приступать к выполнению задания С1 (№15)?
Описание слайда:

3 вопрос. Будете ли Вы приступать к выполнению задания С1 (№15)?

№ слайда 18 Заключение В своей работе я изучила историю возникновения и применение на пра
Описание слайда:

Заключение В своей работе я изучила историю возникновения и применение на практике знаний о тригонометрии. Повторила решения тригонометрических уравнений школьного курса алгебры и познакомилась с новыми методами решений тригонометрических уравнений (замена неизвестного; решение уравнений, содержащих функцию под знаком радикала). Кроме того, я исследовала классификацию уравнений по способу их решения, подобрала примеры уравнений, встречающихся на Едином государственном экзамене, и изучила способы отбора корней на заданном промежутке.

№ слайда 19 Углубленно изучила материалы по данной теме с использованием знаний, полученн
Описание слайда:

Углубленно изучила материалы по данной теме с использованием знаний, полученных на лекциях НОУ Уральского РЭК г.Белорецк с 2012 по 2014 гг. Эти конспекты помогли мне при написании данной исследовательской работы, также как и знания, полученные в Заочном физико-математическом лицее «Авангард» с 2010 по 2015 гг. и консультации с преподавателем математики Бычковой Светланой Владимировной. Благодаря изучению данной темы я смогла решить заключительную олимпиаду по математике среди учащихся 10 классов, что подтверждаю своими дипломами. Также прошла в полном объеме курсы дополнительной физико-математической подготовки Всероссийской школы математики и физики «Авангард». Цель моего исследования достигнута: мне удалось решить тригонометрическое уравнение из части С1 (№15) 3 способами по отбору корней. В ходе анкетирования выяснила, какое мнение имеют о части С1 (№15) мои одноклассники и выпускники МБОУ СОШ №8. Данная тема не оставила их равнодушными, так как тригонометрические уравнения вызывают затруднения при сдаче выпускного экзамена в форме ЕГЭ.

№ слайда 20 Мои достижения
Описание слайда:

Мои достижения

№ слайда 21 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 09.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров265
Номер материала ДВ-245903
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх