Презентация по математике на тему:"Симметрия в алгебре и в геометрии" (10-11 класс)

• 1 слайд

  Симметрия в природе
  

• 2 слайд

  Симметрия устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне никак не связанными.
  

• 3 слайд

  Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений.
  
  

• 4 слайд

  “Симметрия” - слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей. В древности слово “симметрия” употреблялась как “красота”, “гармония”.
  

• 5 слайд

  Посмотрите, какая красота и симметричность!
  

• 6 слайд

  Симметрия широко распространена в природе.
  

• 7 слайд

• 8 слайд

  Так же издавна человек использовал симметрию в архитектуре.
  
  Тадж-Махал — мавзолей-мечеть, находящийся в Агре, Индия, на берегу реки Ямуна. Усыпальница имеет центральную симметрию относительно гробницы Мумтаз-Махал. Единственным нарушением этой симметрии является гробница Шах-Джахана, которую там соорудили после его смерти.
  
  

• 9 слайд

  Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости, спокойствия и равновесия.
  
  

• 10 слайд

• 11 слайд

• 12 слайд

• 13 слайд

  Наиболее ясны и уравновешены здания с симметричной композицией.
  Такие здания были характерны для архитектуры эпохи классицизма.
  

• 14 слайд

• 15 слайд

  Геометрическая симметрия — это наиболее известный тип симметрии для многих людей. Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства.
  

• 16 слайд

  Виды геометрических симметрий:
  Зеркальная симметрия
  Осевая симметрия
  Вращательная симметрия
  Центральная симметрия
  Скользящая симметрия
  Точечная симметрия
  Поступательная симметрия
  Винтовая симметрия
  Неизометричная симметрия
  Фрактальные симметрии
  
  

• 17 слайд

  Зеркальная симметрия
  Зеркальная симметрия или отражение — движение евклидова пространства. Зеркальная симметрия — это тип симметрии объекта, когда объект при операции отражения 
  переходит в себя.
  

• 18 слайд

  Центральная симметрия
  Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.
  
  О
  А
  А1
  

• 19 слайд

  Осевая симметрия:
  Фигура называется симметричной относительно прямой А, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой А также принадлежит этой фигуре.
  
  

• 20 слайд

  Вращательная симметрия— термин, означающий симметрию объекта относительно всех или некоторых собственных вращений m-мерного евклидова пространства. 
  Собственными вращениями называются разновидности изометрии, сохраняющие ориентацию.
  

• 21 слайд

  Симметрии в биологии:
  

• 22 слайд

  У биологических объектов встречаются следующие типы симметрии:
  сферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы.
  аксиальная симметрия (радиальная симметрия, симметрия вращения неопределённого порядка) — симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси.
  симметрия вращения n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси.
  двусторонняя (билатеральная) симметрия — симметричность относительно плоскости симметрии (симметрия зеркального отражения).
  трансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние (её частный случай у животных — метамерия).
  триаксиальная асимметрия — отсутствие симметрии по всем трём пространственным осям.
  
  

• 23 слайд

  Радиальная симметрия
  

• 24 слайд

  Билатеральная симметрия - симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны.
  При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, различия в папиллярных линиях, ветвлении сосудов и расположении родинок на правой и левой руках человека).
  

• 25 слайд

  Симметрия важна также для химии, так как она объясняет наблюдения в спектроскопии, квантовой химии и кристаллографии.
  
  

• 26 слайд

  Симметрия в архитектуре, религии и культуре
  

• 27 слайд

  Симметрия в социальных взаимодействиях
  Люди наблюдают симметричную природу (также включающую асимметричный баланс) социального взаимодействия в различных контекстах. Они включают оценки взаимности, эмпатии, извинения, диалога, уважения, справедливости и мести.
  

• 28 слайд

  Применение законов симметрии человеком:
  Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать.
  

• 29 слайд

  «...быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным» (Платон)
  Симметрия - закономерное расположение элементов формы относительно плоскости, оси или точки. Человек давно осмыслил симметрию в творениях природы и стал использовать се как средство организации искусственных форм. В Древней Греции слово "симметрия" было синонимом красоты, гармонии формы.
  

• 30 слайд

  
  
  Симметрия – это гармония и красота, а также равновесие и устойчивость.
  

• 31 слайд

  Творческая работа в группах:
  С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Чтобы узнать все о многообразии симметрии, необходимо сформировать группы: физики, биологи, химики, искусствоведы. Ваша задача: найти и изучить различные виды симметрии в природе, физике, искусстве, химии; выделить главное и познакомить остальных.
  31
  

• 32 слайд

  Повторим, подумаем…
  

• 33 слайд

  1. Какие из точек лежат
  A (0; -9; 0), B (0; 2; -4), C (1; 0; -7), D (3; 6; 0)
  33
  

• 34 слайд

  x
  y
  0
  1
  1
  A
  z
  1
  B
  x1
  x2
  y1
  y2
  z1
  z2
  |x1–x2|
  |y1–y2|
  |z1–z2|
  C
  Расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)
  
  

• 35 слайд

  2. Найдите расстояние между точками:
  A (2; -5; 3)
  B (-1; -4; 6)
  35
  

• 36 слайд

  3. Найдите расстояние между точками:
  C (5; 0; -3)
  D (0; -1; 1)
  36
  

• 37 слайд

  x
  y
  0
  1
  1
  A
  z
  1
  B
  x1
  x2
  y1
  y2
  z1
  z2
  M
  Координаты середины отрезка АВ,
  где A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)
  

• 38 слайд

  4. Найдите координаты середины отрезка:
  C (6; 0; -3)
  D (0; -2; 1)
  38
  

• 39 слайд

  5. Найдите координаты середины отрезка:
  P (-4; 10; 4)
  Q (8; -8; 2)
  39
  

• 40 слайд

  Самооценка:
  

• 41 слайд

  Запишите ваш вариант ответа;
  После проверки поставьте напротив задания знак «+» («верно») или «-» («не верно»).
  Повторим, подумаем…
  

• 42 слайд

  1. Какие из точек лежат
  A (0; 0; 5), B (0; 2; -4), C (1; 0; -7), D (3; 6; 0)
  42
  

• 43 слайд

  2. Найдите расстояние между точками:
  A (3; -2; -3)
  B (-3; -4; 6)
  43
  

• 44 слайд

  3. Найдите расстояние между точками:
  C (3; 8; 3)
  D (8; 0; -1)
  44
  

• 45 слайд

  4. Найдите координаты середины отрезка:
  M (2; 2; -2)
  N (6; -2; 4)
  45
  

• 46 слайд

  5. Найдите координаты середины отрезка:
  P (-4; 0; 1)
  Q (0; -8; 2)
  46
  

• 47 слайд

  Самооценка:
  

• 48 слайд

  Преобразование симметрии в пространстве.
  

• 49 слайд

  x
  y
  z
  0
  1
  1
  A
  1
  a
  b
  c
  Пусть A(a; b; c)
  −a
  −b
  −c
  A0
  Построим точку A0, симметричную данной точке относительно точки O.
  Тогда координаты точки A0(−a; −b; −c).
  Центральная симметрия
  

• 50 слайд

  x
  y
  z
  0
  1
  1
  A
  1
  a
  b
  c
  Пусть A(a; b; c)
  −c
  −b
  A1
  Построим точку A1, симметричную данной точке относительно оси Ox.
  Тогда координаты точки A1(a; −b; −c).
  Осевая симметрия
  

• 51 слайд

  x
  y
  z
  0
  1
  1
  A
  1
  a
  b
  c
  Пусть A(a; b; c)
  −c
  −a
  A2
  Построим точку A2, симметричную данной точке относительно оси Oy.
  Тогда координаты точки A2(−a; b; −c).
  Осевая симметрия
  

• 52 слайд

  x
  y
  z
  0
  1
  1
  A
  1
  a
  b
  c
  Пусть A(a; b; c)
  −a
  −b
  A3
  Построим точку A3, симметричную данной точке относительно оси Oz.
  Тогда координаты точки A3(−a; −b; c).
  Осевая симметрия
  

• 53 слайд

  x
  y
  z
  0
  1
  1
  A
  1
  a
  b
  c
  Пусть A(a; b; c)
  −c
  A4
  Построим точку A4, симметричную данной точке относительно плоскости Oxy.
  Тогда координаты точки A4(a; b; −c).
  Зеркальная симметрия
  

• 54 слайд

  x
  y
  z
  0
  1
  1
  A
  1
  a
  b
  c
  Пусть A(a; b; c)
  −b
  A5
  Построим точку A5, симметричную данной точке относительно плоскости Oxz.
  Тогда координаты точки A5(a; −b; c).
  Зеркальная симметрия
  

• 55 слайд

  x
  y
  z
  0
  1
  1
  A
  1
  a
  b
  c
  Пусть A(a; b; c)
  A6
  Тогда координаты точки A6(−a; b; c).
  Зеркальная симметрия
  Построим точку A6, симметричную данной точке относительно плоскости Oyz.
  −a
  

• 56 слайд

  Симметрия в алгебре
  

• 57 слайд

  Охватив все виды симметрии в геометрии, не стоит и забывать об алгебре. В 10 классе Вы начали изучать предмет «Алгебра и начала анализа» и говорю я об этом не случайно. В данном разделе математики существует очень много заданий, в формулировках которых прослеживается симметрия. С одним из них я Вас сейчас познакомлю:
  𝑥 2 +𝑥𝑦+ 𝑦 2 =4 𝑥+𝑥𝑦+𝑦=2
  
  

• 58 слайд

  𝑥 2 +𝑥𝑦+ 𝑦 2 =4 𝑥+𝑥𝑦+𝑦=2
  Подстановка: 𝑥+𝑦=𝑢 𝑥𝑦=𝑣
  (𝑥+𝑦) 2 =4+𝑥𝑦 𝑥+𝑦+𝑥𝑦=2
  𝑢 2 =4+𝑣 𝑢+𝑣=2
  + 𝑢 2 −𝑣=4 𝑢+𝑣=2
  𝑢 2 +𝑢−6=0
  𝑢 1 =2 𝑣 1 =0 , 𝑢 2 =−3 𝑣 2 =5
  𝑥+𝑦=2 𝑥𝑦=0 ⇒ 2;0 , 0;2
  𝑥+𝑦=−3 𝑥𝑦=5 По теореме Виета 𝑧 2 +3𝑧+5=0⇒∅
  Ответ: 2;0 , 0;2
  
  

• 59 слайд

  При каких 𝑎 неравенство 𝑐𝑜𝑠𝑥−2 𝑥 2 +9 ≤− 𝑥 2 +9 𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑎 имеет единственное решение?
  Упростим: ( 𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 −2∗ 𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑥 2 +9 +( 𝑥 2 +9) 𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤0
  
  Функция 𝑓(𝑥)- четная, а, следовательно, 𝑥 0 =− 𝑥 0 ⇒ 𝑥 0 =0
  (𝑎+1−3) 2 𝑎+1 ≤0
  𝑎=2 𝑎<−1
  
  Проверка:
  𝑎=2
  (2+𝑐𝑜𝑠𝑥− 𝑥 2 +9 ) 2 ≤0⇔2+𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑥 2 +9
  2+𝑐𝑜𝑠𝑥=3 𝑥 2 +9 =3 𝑐𝑜𝑠𝑥=1 𝑥=0 , 𝑥=0 единственное решение.
  
  
  (2+𝑐𝑜𝑠𝑥− 𝑥 2 +9 ) 2 𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤0 𝑎<−1 ⇒𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑥<0⇒ (2+𝑐𝑜𝑠𝑥− 𝑥 2 +9 ) 2 ≥0 верно при всех 𝑥∈ℝ
  
  
  
  Ответ: 𝑎=2
  
  

• 60 слайд

  x=0 не является корнем уравнения, значит разделим обе части уравнения на
  Пусть
  ,
  получим
  Возвращаясь к уравнению замены, получим
  ,
  Решение симметрических уравнений высших степеней
  

• 61 слайд

  Для тех кто заинтересовался и хочет проверить свои силы предлагаю следующую систему уравнений в качестве домашнего задания:
  𝑥+𝑦=5 𝑥 5 + 𝑦 5 =275
  

• 62 слайд

  Спасибо за внимание: