Презентация по математике "Неевклидова геометрия"

• 1 слайд

  Иордан Ирина Ивановна
  МБОУ СОШ №50
  Новосибирск-2015
  
  
  Неевклидова геометрия
  «Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией».
  Карл Фридрих Гаусс
  

• 2 слайд

  Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) —геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
  
  Евклидова аксиома о параллельных гласит:
  через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.
  
  В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
  через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
  
  Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.
  

• 3 слайд

  Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.
  Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида — аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его из остальных постулатов Евклида.
  При попытках доказательства пятого постулата математики вводили некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным. Были предприняты попытки использовать доказательство от противного. Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате.
  

• 4 слайд

  Модели геометрии Лобачевского показали, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.
  Сам Лобачевский дал основы своей аналитической геометрии, и тем самым он уже фактически наметил такую модель. Он также заметил что орисфера в пространстве Лобачевского изометрична евклидовой плоскости, тем самым фактически предложил обратную модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах Клейна и других.
  Николай Иванович Лобачевский (1792 — 1856) - великий русский математик, создатель геометрии Лобачевского, деятель университетского образования и народного просвещения.
  

• 5 слайд

  Лобачевский указывал на связь геометрии с физикой, и хотя его измерения углов треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии.
  Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации. Довольно неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского.
  Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.
  

• 6 слайд

  Псевдосфера
  Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера.
  Эудженио Бельтрами (1835 —1900) — итальянский математик, сыгравший значительную роль в утверждении неевклидовой геометрии.
  

• 7 слайд

  Модель Клейна
  В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского.
  Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. Тогда всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых»).
  Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик.
  

• 8 слайд

  Модель Пуанкаре
  Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры.
  Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.
  Жюль Анри Пуанкаре (1854 —1912) — выдающийся французский математик, физик, философ и теоретик науки.