Презентация по математике «НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАТЕМАТИКЕ»

• 1 слайд

  УРОК ПО ТЕМЕ:
  «НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАТЕМАТИКЕ»
  
  Класс: 9, 10, 11.
  Учитель: Абузов Юрий Иванович.
  Стаж: 42 года.
  Категория: высшая.
  Школа: МБОУ СОШ п. Селекция, Кстовского района, Нижегородской области.
  Дата: январь 2015 года.
  
  

• 2 слайд

  Некоторые комментарии.
  В программе по математике средней школы, где математики в 10-11 классах 4 часа в неделю, а в 5-9 классах 5 часов в неделю нет темы «Необходимые и достаточные условия». Тем не менее, в задачах и теоремах встречаются слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Определенные трудности испытывают и выпускники школ, когда на лекциях по математике в вузах слышат слова «необходимо и достаточно». Данная тема довольно сложная, вся трудность заключается в ее логическом смысле. Неплохо, если учитель в своей речи уже с пятого класса использует эти слова, не объясняя ученикам их логического смысла. В связи с этим полезно провести уроки на эту тему (на элективе, факультативе, кружке). Включить учащихся в деятельность по открытию необходимых и достаточных условий учитель может только ведя их за собой, показывая образец рассуждений.
  
  

• 3 слайд

  Конспект урока.
  Тема урока. Необходимые и достаточные условия в математике.
  
  Тип урока. Урок изучения нового учебного материала.
  
  Цель урока. Учащиеся должны знать Необходимые и Достаточные условия и применять их при доказательстве теорем и решении задач.
  
  

• 4 слайд

  Структура урока.
  Актуализация знаний.
  Введение Необходимых и Достаточных условий.
  Узнавание Необходимых и Достаточных условий в примерах.
  Решение задач на Необходимые и Достаточные условия.
  Подведение итогов.
  Выдача домашнего задания и его комментирование.
  
  

• 5 слайд

  Актуализация.
  Каждая теорема содержит условие и заключение. Правда, эти части теоремы не всегда бывают отчетливо выделены. Например: диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
  Очень важно уметь выделять условия и заключения, т.е. представить теорему в виде: Если А (условие), то В (заключение). В нашем примере: Если четырехугольник ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
  Выделите в следующих теоремах условие и заключение:
  Вертикальные углы равны
  В прямоугольнике диагонали равны
  Синусы равных углов равны
  Косинусы смежных углов отличаются только знаком
  Разность двух чисел, умноженная на их сумму, равна разности квадратов этих чисел
  Сумма смежных углов равна 180 градусов
  Параллелограмм имеет центр симметрии
  Повторить признаки и свойства параллелограмма.
  
  

• 6 слайд

  Объяснение.
  Рассматривается теорема о центре симметрии параллелограмма, устанавливается ее истинность, на доске появляется запись:
  Если четырехугольник – параллелограмм,
  
  А
  то он имеет центр симметрии
  
  В
  Если А, то В или А В
  Говорят, что В есть Необходимое Условие для А.
  Что называется Необходимым Условием для А?
  
  

• 7 слайд

  Определение: В истинной теореме её заключение называют необходимым условием её условия.
  Сформулируем эту теорему, применяя слово «необходимо»:
  центральная симметрия необходима для параллелограмма
  наличие центра симметрии – необходимое условие параллелограмма.
  Далее идут упражнения на отыскание Необходимых Условий. Можно их приготовить на плакате, кодопленках, компьютере.
  
  

• 8 слайд

  Найдите Необходимые Условия параллелограмма АВСД:
  
  
  
  
  
  
  
  Методика выполнения такая:
  составь теорему
  установи, истинна она или нет
  если истинна, то соответствующее заключение есть Необходимые Условия параллелограмма. Если теорема ложная, то заключение не является Необходимым Условием.
  
  
  
  
  М – центр симметрии
  СД = АВ
  ВД = АС
  ∠ А= ∠ В
  ∠ А= ∠ С
  Δ АВС= Δ АДС
  ∠ А= ∠ Д
  ∠ А+ ∠ Д=180°
  МА = МС, МВ = МД
  

• 9 слайд

  Рассмотрим «Достаточные условия».
  
  На доске теорема:
  Если углы вертикальные, то они равны
  
  А В
  
  Если А, то В; или А⟹В; А−Достаточное Условие для В.
  Говорят, что А – Достаточное Условие для В.
  Что называется Достаточным Условием для В?
  
  

• 10 слайд

  Формулировка
  Определение: В верной теореме её условие называется Достаточным Условием её заключения.
  
  Сформулируем эту теорему, используя слово «достаточно»:
  вертикальность углов достаточна для их равенства
  чтобы углы были равны, достаточно их вертикальности.
  
  

• 11 слайд

  Рассмотрим упражнения.
  
  Является ли Д.У. параллелограмма то, что:
  
  СД = АВ
  ∠А= ∠С
  МА = МС, МД = МВ
  ВС = АД, ВС ∥АД
  АВ ∥СД
  ВС = АД, АВ =СД
  ∠А=∠С, ∠В= ∠Д
  
  
  
  Методика выполнения такая:
  составь теорему,
  проверь, верна она или нет,
  если верна, то её условие есть Д.У. параллелограмма,
  если теорема ложная, то её условие не является Д.У.
  (При выполнении упражнений полезна таблица с клапанами)
  
  

• 12 слайд

  Свойства и признаки параллелограмма.
  Если четырёхугольник – параллелограмм, то
  Четырёхугольник – параллелограмм, если
  противоположные стороны попарно равны
  противоположные углы попарно равны
  диагонали точкой пересечения делятся пополам
  две противоположные стороны равны и параллельны
  Из рассмотренных примеров видно, что любое достаточное условие – признак фигуры. Любое необходимое условие – свойство фигуры.
  
  Если верны обе взаимно обратные теоремы, то это можно записать так:
  А⟺В
  А ⇒В В ⇒А
  (Д.У.) (Н.У.) (Д.У.) (Н.У.)
  

• 13 слайд

  Теорема о диагоналях параллелограмма.
  Сформулируем теорему о диагоналях параллелограмма.
  
  Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делились пополам.
  
  Часто вместо слов «необходимо и достаточно» употребляют другие, например, «тогда и только тогда», «в том и только в том случае».
  
  

• 14 слайд

  Рассмотрим упражнения:
  Заменить многоточия словами «необходимо»; «достаточно»; «необходимо и достаточно» так, чтобы теорема была верна:
  1. Чтобы равенство tgx =1 было верным, … чтобы х = 45
  Ответ: Д
  2. Чтобы углы были равны, … чтобы они были прямыми
  Ответ: Д
  3. Чтобы четырехугольник был ромбом, … чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны.
  Ответ: Н
  4. Чтобы треугольник был равнобедренным, … чтобы его два угла были равны.
  Ответ: Н и Д
  5. Чтобы число делилось на «5», … чтобы оно оканчивалось на ноль.
  Ответ: Д
  6. Равенство углов есть … условие вертикальности.
  Ответ: Н
  7. Для справедливости формулы 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 2 =2 𝑙𝑜𝑔 𝑎 (−𝜒 ) чтобы число «х» было отрицательным.
  Ответ: Н и Д
  
  Методика выполнения заданий:
  составь теорему и ей обратную
  проверь их на истинность
  выбери нужные слова
  

• 15 слайд

  8. Непрерывность есть … условие дифференцируемости.
  Ответ: Н
  9. Дифференцируемость функции - … условие непрерывности.
  Ответ: Д
  10. Для делимости суммы «а + в» на 3, … чтобы каждое слагаемое делилось на 3.
  Ответ: Д
  11. Чтобы треугольник был прямоугольным, … чтобы квадрат большей стороны был бы равен сумме квадратов двух других его сторон.
  Ответ: Н и Д
  12. Третий признак равенства треугольников есть … условие равенства треугольников.
  Ответ: Н и Д
  13. Равенство производной в точке нулю или её не существование в точке есть … условие экстремума функции.
  Ответ: Н
  14. Центр симметрии есть … условие параллелограмма.
  Ответ: Н и Д
  

• 16 слайд

  Упражнения на доказательство
  Доказать, что 2b-a<3𝑎−2𝑏 тогда и только тогда, когда a>𝑏;
  
  Числовая последовательность ( 𝑎 𝑛 ) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛+1 2
  
  Числовая последовательность ( 𝑏 𝑛 ) является геометрической прогрессией в том и только в том случае, если 𝑏 𝑛 2 = 𝑏 𝑛−1 ∙ 𝑏 𝑛+1
  
  В квадратном уравнении 𝑎𝑥 2 + bx + c = 0 один корень будет больше другого в два раза тогда и только тогда, когда 2 𝑏 2 = 9ac
  
  Для того, чтобы стороны a, b, с треугольника составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы ctg 𝐴 2 , ctg 𝐵 2 , ctg 𝐶 2 также составляли арифметическую прогрессию.
  
  Для того, чтобы выполнялось неравенство 4 𝑥 2 +𝑥+2 ≤ 2, Н. и Д. , чтобы 𝑥 4 + 𝑥 3 ≥0
  
  Для того, чтобы 8cos2𝛼-sin2𝛼=4, достаточно, чтобы 2cos𝛼+3𝑠𝑖𝑛𝛼=0
  
  Для того чтобы 3sin𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=0, необходимо, чтобы 4cos2𝛼+7𝑠𝑖𝑛2𝛼=−1
  
  

• 17 слайд

  Подведение итогов урока.
  Выдача домашнего задания и его комментирование.
  
  Домашнее задание:
  Неравенство 5 𝑥 2 -x-4<0 выполняется тогда и только тогда, когда 9𝑥+9 1−𝑥 >1
  Для того чтобы 8cos2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼=4, достаточно, чтобы 2cos𝛼+3𝑠𝑖𝑛𝛼=0
  Треугольник будет равнобедренным в том и только в том случае, если две медианы треугольника равны между собой.
  
  

• 18 слайд

  Рассмотрим решение некоторых заданий.
  Задание №4.
  ( 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑥 1 =2 𝑥 2 ) ⟺(2 𝑏 2 =9𝑎𝑐)
  𝑥 1 =2 𝑥 2
  𝑥 1 + 𝑥 2 =− 𝑏 𝑎
  𝑥 1 ∙ 𝑥 2 = 𝑐 𝑎
  2. (− 𝑏 3𝑎 ) 2 = 𝑐 2𝑎
  3. 𝑏 2 9𝑎 2 = 𝑐 2𝑎
  4. 𝑏 2 ∙2𝑎=9 𝑎 2 𝑐 (:𝑎)
  2𝑥 2 + 𝑥 2 =− 𝑏 𝑎
  2𝑥 2 ∙ 𝑥 2 = 𝑐 𝑎
  3𝑥 2 =− 𝑏 𝑎
  2𝑥 2 2 = 𝑐 𝑎
  𝑥 2 =− 𝑏 3𝑎
  𝑥 2 2 = 𝑐 2𝑎
  2 𝑏 2 =9𝑎𝑐
  

• 19 слайд

  Задание №4.(2 часть.)
  ( 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑥 1 =2 𝑥 2 ) ⟺(2 𝑏 2 =9𝑎𝑐)
  
  2𝑏 2 =9𝑎𝑐 (: 𝑎 2 ) ;
  2( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 2 =9∙ 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 (: 𝑥 2 2 )
  2 ( 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 2 ) 2 =9 𝑥 1 𝑥 2
  2( 𝑥 1 𝑥 2 +1) 2 =9 𝑥 1 𝑥 2
  𝑥 1 𝑥 2 =𝑡 , 2 (𝑡+1) 2 =9𝑡
  … 𝑡 1 =2, 𝑡 2 = 1 2
  2( 𝑏 𝑎 ) 2 =9 𝑐 𝑎
  

• 20 слайд

  Упражнение №7
  Если 2cos𝛼+3sin𝛼=0, то 8cos2𝛼 - sin2𝛼=4
  Решение:
  2cos𝛼+3𝑠𝑖𝑛𝛼=0; 2+3𝑡𝑔𝛼=0, 𝑡𝑔𝛼=− 2 3
  8cos2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼=8 1− 𝑡𝑔 2 𝛼 1+ 𝑡𝑔 2 𝛼 − 2𝑡𝑔𝛼 1+ 𝑡𝑔 2 𝛼 = 8 1− 4 9 1+ 4 9 + 2 ∙ 2 3 1+ 4 9 = 8 9−4 9+4 + 12 9+4 = 40 13 + 12 13 = 52 13 = 4,
  4 = 4 – верно.
  
  

• 21 слайд

  Заполнить пропуски словами: «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и достаточно», «не необходимо и недостаточно».
  
  1. Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, … , чтобы одна из его высот была медианой
  Ответ: Н и Д
  2. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, … , чтобы какие-нибудь два угла его составляли в сумме 180 градусов
  Ответ: Н, но не Д
  3. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, … , чтобы он имел три прямых угла
  Ответ: Д, но не Н
  4. Чтобы данная точка являлась центром вписанной в треугольник окружности, … , чтобы она лежала на одной из биссектрис углов треугольника
  Ответ: не Н и не Д
  5. Для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, … , чтобы их скалярное произведение было равно нулю
  Ответ: Н и Д
  6. Чтобы один из углов треугольника был равен 30 градусов, … , чтобы длина одной из сторон была равна половине другой стороны
  Ответ: не Н и не Д
  7. Чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, … , чтобы он был равнобедренной трапецией
  Ответ: Д, но не Н
  
  Алгоритм выполнения упражнений:
  Составь теорему
  Составь теорему, обратную данной
  Проверь их на истинность
  Выбери нужные слова
  Сформулируй ответ
  
  
  

• 22 слайд

  8. Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, … , чтобы средняя линия равнялась полусумме ее боковых сторон
  Ответ: Н и Д
  9. Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, … , чтобы одна из диагоналей делила его на два равных треугольника
  Ответ: Н, но не Д
  10. Чтобы векторы с ненулевыми координатами были коллинеарны, … , чтобы соответствующие координаты были пропорциональны
  Ответ: Н и Д
  11. Для того чтобы медиана треугольника была равна половине стороны, к которой она проведена, … , чтобы треугольник был прямоугольным
  Ответ: Н и Д
  12. Чтобы выполнялось неравенство 𝑥 2 > 25, … , чтобы х>5
  Ответ: Д, но не Н
  13. Чтобы выполнялось равенство х=5, … , чтобы 𝑥 2 =25
  Ответ: Н, но не Д
  14. Чтобы параллелограмм был прямоугольником, … , чтобы его диагонали были равны
  Ответ: Н и Д