Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике "Основные формулы тригонометрии"

Презентация по математике "Основные формулы тригонометрии"

  • Математика
муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининград с...
Как известно, в тестах, предлагаемых одиннадцатиклассникам на ЕГЭ, ежегодно п...
Создать учебно - методическое пособие для учителей математики и учащихся 9 –...
Тригонометрия – раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и уг...
Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык о...
В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы та...
Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были сост...
В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты уч...
Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столет...
Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисе...
В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального мат...
P O M1 M2 M3 M4 1 -1 2 -2 -3 3 Пусть вертикальная прямая касается в точке P о...
Число — одна из главных математических постоянных. Его значение объясняется б...
P O M1 M2 M3 M4 1 -1 2 -2 -3 3 Т.к. точке прямой с координатой 1 ставится в с...
O P M R R R Рассмотрим окружность произвольного радиуса R и отметим на ней ду...
Угол	 300	 450	 600	 900	1800	2700	3600 							 Угол	1200
О Р(1;0) 1 -1 -1 x y М Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиус...
О y x Р(1;0) 1 -1 -1 2) Пусть .В этом случае поворот на угол рад означает, чт...
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокр...
Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) во...
Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается...
Правило для формул приведения: Необходимо определить знак результата (по чет...
функция четверть sin ( ) – 2 четверть, т.е. знак результата «+» cos( ) – 1 че...
Формулами сложения называют формулы, выражающие и через синусы и косинусы угл...
1. 2. 3.
1. Запишем основное тригонометрическое тождество в виде: Вывод формул: 2. 3....
4. Вычитая равенства (1) и (2), получим: 5. отсюда: отсюда:
Тождество – равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в н...
Из основного тригонометрического тождества можно выразить через и через : В э...
преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; на...
1) Преобразуем левую часть тождества к правой:
Получили: Значит, левая часть тождества равна его правой части. Тождество док...
2) Преобразуем правую часть к левой. Значит, правая часть тождества равна его...
Найдем разность между левой и правой частями и установим, что она равна нулю:...
4) Преобразуем левую часть тождества. Преобразуем правую часть тождества. Так...
1 из 48

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининград с
Описание слайда:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининград средняя общеобразовательная школа №45 Учебно – методическое пособие по алгебре по теме Составил учитель математики первой категории Гавинская Елена Вячеславовна 2015 – 2016 учебный год sin2x+cos2x=1

№ слайда 2 Как известно, в тестах, предлагаемых одиннадцатиклассникам на ЕГЭ, ежегодно п
Описание слайда:

Как известно, в тестах, предлагаемых одиннадцатиклассникам на ЕГЭ, ежегодно предлагаются для решения задания по тригонометрии. Причем они содержатся и в группе В, и в группе С. Поэтому возникает необходимость глубокого и всестороннего повторения теории и всех типов возможных заданий по указанной теме. Данное пособие поможет учителям организовать итоговое повторение в 9 и 11 классах при подготовке к экзамену, а учащиеся смогут найти в нем всю необходимую теорию и образцы оформления основных типов практических заданий для успешной сдачи ЕГЭ.

№ слайда 3 Создать учебно - методическое пособие для учителей математики и учащихся 9 –
Описание слайда:

Создать учебно - методическое пособие для учителей математики и учащихся 9 – 11 классов для подготовки к сдаче Единого Государственного Экзамена по математике.

№ слайда 4 Тригонометрия – раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и уг
Описание слайда:

Тригонометрия – раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника.

№ слайда 5 Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык о
Описание слайда:

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

№ слайда 6 В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы та
Описание слайда:

В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии.   Весьма   точно   предсказывали   затмения   еще   древне-вавилонские   ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

№ слайда 7 Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были сост
Описание слайда:

Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Г и п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии. (Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.)

№ слайда 8 В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты уч
Описание слайда:

В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир -Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты.

№ слайда 9 Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столет
Описание слайда:

Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

№ слайда 10 Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисе
Описание слайда:

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью. Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.

№ слайда 11 В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального мат
Описание слайда:

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13 P O M1 M2 M3 M4 1 -1 2 -2 -3 3 Пусть вертикальная прямая касается в точке P о
Описание слайда:

P O M1 M2 M3 M4 1 -1 2 -2 -3 3 Пусть вертикальная прямая касается в точке P окружности с центром О радиуса 1. Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке Р, а положительным направлением на прямой – направление вверх. За единицу длины на числовой оси возьмем радиус окружности. Отметим на прямой несколько точек : (напомним, что - иррациональное число, приближенно равное 3,14) . Вообразив эту прямую в виде нерастяжимой нити, закрепленной на окружности в точке Р, будем мысленно наматывать ее на окружность. При этом точки числовой прямой с координатами 1, ,-1, -2 перейдут соответственно в точки окружности М1, М2, М3, М4, такие, что длина дуги РМ1 равна 1, длина дуги РМ2 равна и т.д. Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

№ слайда 14 Число — одна из главных математических постоянных. Его значение объясняется б
Описание слайда:

Число — одна из главных математических постоянных. Его значение объясняется большой ролью, которую играет в науке и технике окружность и связанные с ней функции синус и косинус. Без синуса и косинуса невозможно описание волновых процессов в электронике, электротехнике, гидродинамике, механике. Например, ток и напряжение в электрической розетке описывается синусом или косинусом. Число равно отношению длины окружности к удвоенному радиусу (диаметру). Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Такие бесконечные числа называются иррациональными. Долгое время в математике существовала задача построения с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна площади круга данного радиуса. Это так называемая "задача о квадратуре круга". Она не может быть решена, т.к. отношение длины окружности к диаметру (или радиусу) не может быть выражено числом конечной длины. Число пи с точностью 17 верных знаков равно 3.14159265358979328.

№ слайда 15 P O M1 M2 M3 M4 1 -1 2 -2 -3 3 Т.к. точке прямой с координатой 1 ставится в с
Описание слайда:

P O M1 M2 M3 M4 1 -1 2 -2 -3 3 Т.к. точке прямой с координатой 1 ставится в соответствие точка М1 , то естественно считать угол РОМ1 единичным и мерой этого угла измерять другие углы. Например, угол РОМ2 следует считать равным , угол РОМ3 – равным «-1», угол РОМ4 – равным «-2». Такой способ измерения углов широко используется в математике и физике. В этом случае говорят, что углы измеряются в радианной мере, а угол РОМ1 называют углом в 1 радиан (1 рад). Отметим, что длина дуги окружности РМ1 равна радиусу.

№ слайда 16 O P M R R R Рассмотрим окружность произвольного радиуса R и отметим на ней ду
Описание слайда:

O P M R R R Рассмотрим окружность произвольного радиуса R и отметим на ней дугу PM, длина которой равна R, и угол POM (см. рисунок). Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан. Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Т.к. дуга длиной R (полуокружность) стягивает центральный угол в 1800, то дуга длиной R стягивает угол, в раз меньший, т.е. 1 рад = . Т.к. 3,14 , то 1 рад 57,30. Если угол содержит радиан, то его градусная мера равна .

№ слайда 17 Угол	 300	 450	 600	 900	1800	2700	3600 							 Угол	1200
Описание слайда:

Угол 300 450 600 900 1800 2700 3600 Угол 1200

№ слайда 18 О Р(1;0) 1 -1 -1 x y М Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиус
Описание слайда:

О Р(1;0) 1 -1 -1 x y М Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол рад, где R . 1) Пусть . Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки P(1;0) против часовой стрелки, прошла путь длиной . Конечную точку пути обозначим М. В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол рад против часовой стрелки.

№ слайда 19 О y x Р(1;0) 1 -1 -1 2) Пусть .В этом случае поворот на угол рад означает, чт
Описание слайда:

О y x Р(1;0) 1 -1 -1 2) Пусть .В этом случае поворот на угол рад означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной . 3) Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте. Вообще, если 0 ,то при повороте на угол получается та же самая точка, что и при повороте на угол 0 .

№ слайда 20 Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.
Описание слайда:

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

№ слайда 21 Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокр
Описание слайда:

Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается sin ). x y O sin Р(1;0) 1 -1 -1 Синус угла определен для любого угла, а его значения заключены от «-1» до «1», т.е. .

№ слайда 22 Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) во
Описание слайда:

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается cos ). Р(1;0) x y -1 -1 1 O cos Косинус угла определен для любого угла, а его значения заключены от -1 до 1, т.е. .

№ слайда 23 Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается
Описание слайда:

Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается tg ). Тангенс угла определен для любых углов, кроме . Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу (обозначается ctg ). Котангенс угла определен для любых углов, кроме .

№ слайда 24
Описание слайда:

№ слайда 25
Описание слайда:

№ слайда 26
Описание слайда:

№ слайда 27 Правило для формул приведения: Необходимо определить знак результата (по чет
Описание слайда:

Правило для формул приведения: Необходимо определить знак результата (по четверти). Выяснить, меняется ли функция на кофункцию (если в формуле присутствуют углы , то происходит замена на кофункцию, т.е.: sin cos ; cos sin ; tg ctg ; ctg tg ; если в формуле углы ,то замены на кофункцию не происходит). Например, 1) sin( ) = cos = 2) sin( ) = -sin = 3) cos( ) = sin = 4) cos( ) = cos = 5) tg( ) = -ctg = -1 6) tg( ) = tg = 7) ctg( ) = -tg = 8) ctg( ) = ctg = 1

№ слайда 28 функция четверть sin ( ) – 2 четверть, т.е. знак результата «+» cos( ) – 1 че
Описание слайда:

функция четверть sin ( ) – 2 четверть, т.е. знак результата «+» cos( ) – 1 четверть, т.е. знак результата «-» tg( ) – 3 четверть, т.е. знак результата «+» ctg( ) – 4 четверть, т.е. знак результата «-» l ll lll lV + + - - + - - + + - + - + - + -

№ слайда 29
Описание слайда:

№ слайда 30 Формулами сложения называют формулы, выражающие и через синусы и косинусы угл
Описание слайда:

Формулами сложения называют формулы, выражающие и через синусы и косинусы углов и .

№ слайда 31 1. 2. 3.
Описание слайда:

1. 2. 3.

№ слайда 32
Описание слайда:

№ слайда 33 1. Запишем основное тригонометрическое тождество в виде: Вывод формул: 2. 3.
Описание слайда:

1. Запишем основное тригонометрическое тождество в виде: Вывод формул: 2. 3. Складывая равенства (1) и (2) , получим: отсюда:

№ слайда 34 4. Вычитая равенства (1) и (2), получим: 5. отсюда: отсюда:
Описание слайда:

4. Вычитая равенства (1) и (2), получим: 5. отсюда: отсюда:

№ слайда 35
Описание слайда:

№ слайда 36
Описание слайда:

№ слайда 37
Описание слайда:

№ слайда 38
Описание слайда:

№ слайда 39 Тождество – равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в н
Описание слайда:

Тождество – равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. Основное тригонометрическое тождество. O 1 Р(1;0) -1 -1 Пусть точка М(x ;y) единичной окружности получена поворотом точки (1;0) на угол . Тогда по определению синуса и косинуса ; . Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому её координаты (x ; y) удовлетворяют уравнению x2+y2=1. Следовательно, x y x y . . .

№ слайда 40 Из основного тригонометрического тождества можно выразить через и через : В э
Описание слайда:

Из основного тригонометрического тождества можно выразить через и через : В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы. Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению тангенса и котангенса , . Перемножая эти равенства, получаем Из полученного равенства можно выразить через и наоборот: Данные равенства справедливы при .

№ слайда 41
Описание слайда:

№ слайда 42 преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; на
Описание слайда:

преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; нахождение разности между левой и правой частями и установление, что она равна нулю; преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.

№ слайда 43
Описание слайда:

№ слайда 44 1) Преобразуем левую часть тождества к правой:
Описание слайда:

1) Преобразуем левую часть тождества к правой:

№ слайда 45 Получили: Значит, левая часть тождества равна его правой части. Тождество док
Описание слайда:

Получили: Значит, левая часть тождества равна его правой части. Тождество доказано.

№ слайда 46 2) Преобразуем правую часть к левой. Значит, правая часть тождества равна его
Описание слайда:

2) Преобразуем правую часть к левой. Значит, правая часть тождества равна его левой части. Тождество доказано.

№ слайда 47 Найдем разность между левой и правой частями и установим, что она равна нулю:
Описание слайда:

Найдем разность между левой и правой частями и установим, что она равна нулю: Значит, разность между левой и правой частями тождества равна нулю. Тождество доказано. 3)

№ слайда 48 4) Преобразуем левую часть тождества. Преобразуем правую часть тождества. Так
Описание слайда:

4) Преобразуем левую часть тождества. Преобразуем правую часть тождества. Таким образом, левая часть тождества равна его правой части. Тождество доказано.

Автор
Дата добавления 07.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров125
Номер материала ДВ-427086
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх