Презентация по математике по теме "Последовательности"

Исследовательская работа учащихся 10 класса Селютиной А.

  и Фурцевой Вероники по теме «Последовательности».

1.Числовые последовательности.

1.1. Что такое последовательность

    Простое понятие, как натуральный ряд чисел 1,2,3,4…, обозначает бесконечный объект. С помощью натурального ряда описывают и другие бесконечные объекты, в частности числовые последовательности.

    Допустим, указано правило, согласно которому каждому натуральному числу  1,2,3,…,n,… поставлен в соответствие элемент a_n  некоторого множества (чисел, точек, геометрических фигур и т.п.). Тогда говорят, что задана последовательность элементов a_n. Её принято обозначать с помощью фигурных скобок:{a_1, a_2,… } или просто {a_n}. Как правило, a_n – это числа, и такие последовательности называют числовые.
Определение Функцию y=f(x), x є N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y=f(n) или a_1, a_2, a_3, …, a_n, … .

       1.2 Как задаются числовые последовательности.

       Каким же образом задаются числовые последовательности? Как угодно, лишь бы соответствие было однозначным, т.е. каждому n-своё a_n.

       Один из способов - описательный (словесный).Суть этого способа задания   последовательности поясним на примере. Известно, что =1,41121… .С этим иррациональным числом можно связать разные последовательности:

  1)последовательность десятичных приближений числа  по недостатку : 1,  1,4, 1,41,  1,414,  1,4142…;

  2)последовательность десятичных приближений числа  по избытку: 2, 1,5,  1,42,  1,415,  1,4143…;

  3)последовательность десятичных знаков числа 1,41421…:

       1, 4, 1,4, 2, 1,… .

Во всех трёх случаях правило сопоставления последовательности описано словами (не формулой).

Последовательности, описанные алгоритмически:

Математики вносят уточнение в понятие «описание» , заменяя его термином «алгоритм». Алгоритм – это точное предписание, определяющее  процесс перехода от исходных данных к искомому результату. Если задано такое точное предписание, которое для любого числа n позволяет вычислить a_n, то говорят, что последовательность {a_n} описана алгоритмически. Алгоритмической является и последовательность десятичных знаков числа  :

  {1, 4, 1, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 2, …}

Нахождение аналитического задания последовательности по её словесному описанию часто бывает сложной, а иногда и неразрешимой задачей.

Второй способ задания последовательности - формульный(аналитический).Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула её n-го члена a_n=f(n).В этом случае приводят формулу или, если необходимо, несколько формул, позволяющих по заданному n вычислить a_n.Так,  {2n-1} – последовательность нечётных чисел, {n²} - квадратов, {2^n-1} - степеней двойки, {1} -последовательность единиц.

Весьма распространён рекуррентный (от лат. recurrere-возвращаться)  метод задания последовательностей. Он состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны её предыдущие члены. Таким образом, по известным первым p членам последовательности можно найти (p+1)-й, затем по p членам со 2-ого по (p+1)-й включительно-(p+2)-й член и т.д. Последовательность, содержащая только единицы, рекуррентно описывается так: a₁=1, и для всех n≥1  a_n+1=a_n. А вот последовательность нечётных чисел: : a₁=1; a_n+1=a_n+2 для n≥1 .И последовательность квадратов легко задать рекуррентно: a₁=1, a_n+1=a_n+2n+1, n≥1.

1.3  Свойства последовательностей

    Последовательность {a_n} называется монотонной, если a_n+1≥ a_n или a_n+1≤a_n для всех n. В первом случае это монотонно неубывающая, во втором – монотонно невозрастающая последовательность. Если a_n+1>a_n или a_n+1< a_n для всех n, то говорят, что последовательность {a_n} строго монотонна (возрастает в первом случаем и убывает во втором).
     Последовательность {a_n} называется ограниченной, если существуют такие числа c и C, что для всех членов последовательности выполняются неравенства c ≤ a_n ≤ C.
     Ограниченной сверху называется последовательность, для которой существует такое число C, что для всех членов последовательности выполняется неравенство a_n ≤ C.
     Ограниченной снизу называется последовательность, для которой существует такое число c, что для всех членов последовательности выполняется неравенство a_n ≥ c.
      Таким образом, если говорят, что последовательность ограничена, это означает, что она ограничена и сверху и снизу.
     Если существует такое натуральное T, что, начиная с некоторого n, выполняется равенство a_n = a_n+1 , то последовательность называется периодической, а T-длиной её периода.
      Используя понятия монотонности, ограниченности и периодичности, можно описать немало простейших свойств последовательностей. Вот некоторые из них.
      Если последовательность {a_n} монотонно возрастающая, то последовательность {-a_n} монотонно убывающая, и наоборот. Аналогично, если последовательность {a_n} монотонно невозрастающая, то последовательность {-a_n} монотонно неубывающая, и наоборот.             
       Монотонно возрастающая ограниченна снизу, монотонно убывающая – сверху.
       Монотонно возрастающая или монотонно убывающая последовательность не может быть периодической.

       Периодическая последовательность всегда ограничена.

             А теперь исследуем одну замечательную последовательность.

     1.4 Последовательность Фибоначчи.

Многим поколениям европейцев Леонардо Пизанский (Фибоначчи, Fibonacci - сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)
был известен прежде всего как автор «Книги абака» ( «Liber abacci» 1202 г.). «Книги абака» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими («арабскими») цифрами и с десятичной системой счисления. Теперь его имя чаще всего вспоминают в связи с последовательностью чисел   {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …}, которую он рассмотрел при решении задачи о размножении кроликов.  

Задача Фибоначчи:

“Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения"

Месяцы       0		2	3		4	5	6	7	8	9	10	11	12
Пары            0    кроликов		1  1	2  3		5  8	13	21	34	55	89	144	233	377

Ряд чисел 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; 8+13=21 и т.д. Эта последовательность задаётся следующим рекуррентным соотношением:

  a₁=1

  a₂=1

 a_n+2=a_n+1+a_n (n≥1).

Числа Фибоначчи встречаются во многих разделах математики: в комбинаторике, геометрии, теории чисел, в задачах на максимум и на минимум.

Сколькими способами можно подняться по лестнице?

Вспомните, как вы поднимаетесь по лестнице: то наступая на каждую ступеньку, то перескакивая через одну. Для лестницы в одну ступеньку и способ единственный, для двухступенчатой их два.

Ну а сколько “путей” ведут на n-ю ступеньку? Обозначим их через число b_n..Очевидно, что попасть на n-ю ступеньку можно, либо сделав шаг с (n-1)-й, либо шагнув через ступеньку с (n-2)-й. Количество способов подняться на (n-1)-ю ступеньку есть, по определению, b_n-1 ,на (n-2)-ю- b_n-2 .Значит, b_n= b_n-1+ b_n-2 .Теперь ясно: число b_n равно (n-1)-му члену последовательности Фибоначчи!

1.5. Применение последовательностей
    Ответ на этот вопрос, к сожалению, не так прост, как хотелось бы. Изучив математику чуть глубже, можно узнать, что она подобна дереву, в котором мощный ствол держится на множестве тонких, скрытых под землёй корней, и уже из него растут многочисленные раскидистые ветви, радующие взор плодами. Теория числовых последовательностей — один из самых незаметных корней.
    Простейший пример: у вас есть какой-то многошаговый процесс, и вы хотите узнать, чем он закончится. Хороший, почти классический (правда, в другой области математики) пример такого процесса — изменение численности популяции.
    Пусть в некотором абстрактном поселении живёт сто человек. И пусть его не касаются болезни, голод, войны и миграция: люди в нём только рождаются и умирают. Пусть µ — рождаемость, а α — смертность. Это такие числа, что при населении в N жителей в среднем за год рождается µN жителей и умирает αN жителей. (Это необязательно целые числа, но фраза в среднем позволяет нам оперировать вещественными.) Тогда если a(n-1)  — население нашего посёлка в (n-1) -м году, то его население в n-ном выражается формулой :

                                              a(n)=(1+µ-α)*a(n-1)

    Таким образом, задав начальное население нашего посёлка n(0)=100, мы можем получить последовательность, описывающую изменение его населения за всю оставшуюся историю.
    Внимательно посмотрев на нашу формулу, выражающую очередной член последовательности через предыдущий, можно прийти к выводу, что вся наша последовательность описывается простым соотношением:

                                              a(n)=a(0)*(1+µ-α)ⁿ.

2. Предел последовательностей.

2.1 Предел последовательностей

   Понятие предела – это тот порог, за которым открывается дверь из элементарной математики в высшую. Почти каждый способен быстро воспринять и усвоить интуитивное представление о пределе, хотя строгое определение многим покажется довольно сложным.

2.2. Несколько полезных теорем
   Имеются теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности, опираясь на уже изученные последовательности. Вот некоторые из этих теорем :

    Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Следовательно, если последовательность не ограничена, то предела быть не может. Например, не имеет предела последовательность натуральных чисел {n}.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Если последовательность {a_n} имеет предел A, то последовательности{сa_n},{a_n+c} и {|a_n|}, и имеют пределы cA, A+c  и |A| соответственно (здесь c – произвольное число).

Если последовательности {a_n}  и {b_n}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pa_n+qb_n}, имеет предел pA+qB.

Если последовательности {a_n}  и {b_n}имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b_n≠0 и B≠0, то последовательность {a_n/b_n} имеет предел A/B.             

3. Арифметические и геометрические прогрессии

3.1 Арифметическая прогрессия

  Определение: Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного же числа d, называют арифметической прогрессией.  При этом число d называют разностью прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия-это числовая последовательность (a_n), заданная рекуррентно соотношениями:

a₁=a,

a_n=a_n-1+d,  (n=2, 3, 4,… )

(где a и d-заданные числа).Другими словами, первый член последовательности известен, а каждый последующий больше предыдущего на одну и ту же величину.

Легко найти явное (формульное) выражение a_n через n. При переходе к очередному элементу его значение возрастает на d по сравнению с предыдущим. Чтобы добраться от первого элемента до n-ого, нужно проделать n-1 таких переходов, вследствие чего a_n превышает a₁ на (n-1) d, т.е.

 a_n= a₁+(n-1) d. -формула n-ого члена арифметической прогрессии.

Члены данной последовательности всё время “прирастают” одним и тем же числом d, т.е. прогрессируют, либо поднимаясь всё выше (при d > 1), либо опускаясь всё ниже (при d < 0).В первом случае арифметическая прогрессия является возрастающей, во втором-убывающей).

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Давайте в этом убедимся. Возьмём три произвольных члена последовательности, идущих подряд, например a_n-1, a_n и a_n+1.Согласно правилам образования арифметической прогрессии,

                              a_n = a_n-1  +(n-1) d,

                                 a_n+1=a_n+ d,

             откуда

                                       a_n =a_n+1 – d.

Сложив первое и третье равенства, получаем

  a_n= (a_n-1  + a_n+1) / 2,  - характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Теперь рассмотрим выражение для суммы первых n членов арифметической прогрессии, если известны лишь первый и последний члены, т.е. a₁  и  a_n :

       S_n = n ( a₁  + a_n ) / 2.

Иногда оказывается полезной несколько видоизмененная формула суммы n членов арифметической прогрессии:

       S_n =( 2a₁ – d(n-1) )* n /2.

3.2 Геометрическая прогрессия

Определение Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (b_n), заданная рекуррентно соотношениями:
                       b₁ = b,  b_n = b_n-1*q
                       (n = 2, 3, 4, …)
(b и q – заданные числа, b≠0, q≠0).
    Шотландскому математику Джону Неперу принадлежит идея о том, что от свойств арифметической прогрессии можно перейти к аналогичным свойствам геометрической прогрессии с положительными членами, если сложение и вычитание заменить соответственно умножением и делением, а умножение и деление – возведением в степень и извлечением корня. После такой замены остаются в силе не только формулировки свойств, но и доказательства! (Надо сказать, математики любят сводить новые задачи к уже решённым.)
   Проверим принципы Непера на практике. Вспомним, что каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифметическое двух соседних с ним членов – предыдущего и последующего. Значит, каждый член геометрической прогрессии должен быть равен среднему геометрическому своих «соседей» (в том случае, когда все члены прогрессии положительны). Для доказательства возьмём три идущих подряд члена a_n-1, a_n и a_n+1 (n≥2). Согласно правилам образования геометрической прогрессии,
                                           a_n = a_n-1q,
                                           a_n+1 = a_nq,
откуда
                                         a_n = a_n+1/q
Если перемножить первое и третье равенства, получим :

                    a_n²= a_n-1*a_n+1 – характеристическое свойство геометрической прогрессии.
что и требовалось доказать.
Теорема:
Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии).
   Это доказательство в точности совпадает с доказательством для арифметической прогрессии, если арифметические операции заменить в соответствии с правилами Непера.
   Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q≠1) выглядит следующим образом:
                                            S_n = b₁(qⁿ-1)/q-1

3.3 Задачи на прогрессии
   Знание свойств арифметической и геометрической прогрессии позволяет решить немало различных задач. Можно, например, найти сумму первых n натуральных чисел для произвольного n, воспользовавшись на выбор формулой.

   Хозяин и работник.
   Рассмотрим такую задачу. Хозяин нанял работника на неделю (с понедельника по воскресенье включительно), повышая ему каждый день зарплату на одну и ту же величину. Сколько всего получил работник, если за четверг ему заплатили 3 рубля?
   В этой задаче угадывается арифметическая прогрессия, но кажется, что не хватает данных. Известны только число членов n = 7 и значение четвёртого члена a₄ = 3. Зная разность прогрессии или первый член, мы легко определили бы всё что требуется. А так…
  И всё-таки попробуем её решить. Пусть a – первый член прогрессии, а d – разность. Запишем заработок по дням в виде таблицы:

Понедельник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота	Воскресение
a	a+d	a+2d	a+3d	a+4d	a+5d	a+6d

За неделю работник получил 7a+21d=7 (a+3d). Но a+3d - это оплата за четверг,  т.е. 3 рубля. Значит, всего он заработал 21 рубль.
   А есть и другой способ. Зарплата за неделю – это сумма нечётного числа первых членов арифметической прогрессии. Заметим, что если нужно найти сумму 7 членов, то 4-й член как раз является средним. Поэтому можно применить формулу
                               S_n = na_k,
где n = 2k-1. Так что общая зарплата за неделю равна 7a₄ = 7*3 = 21 рубль.

   Другие примеры задач на последовательности:

   Хозяин платил зарплату наёмному работнику 7 дней, причём каждый день на одну и ту же величину больше. Найдите общую выплаченную за неделю сумму если зарплата за четверг 10 рублей.

Решение: За четверг a1+3d=10.
За всю неделю: a1+a1+d+a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=7a1+21d=7(a1+3d)=70

   Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

Решение:
Пусть улитка проползла в первый день a₁ метров, во второй –a₂, … , в последний – a_n метров. Тогда a₁+a_n=10 м а за n дней проползла S = a₁+a_n/2*n = 5n метров. Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: 5n=150; n=30. Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.
Ответ:30.

3.4. Прогрессии в истории.

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

                                                                                     

Задача из египетского папируса Ахмеса  :

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

Архимед (III век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в III веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (III век до н.э.).

Сам термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в VI веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 - 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100 , 2+99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии :

1 + 100 = 2+99 = 3+ 98 =…=50+51 = 101. Общая сумма равна 50 * 101 = 5050.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни : распределение продуктов, деление наследства и другими. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача «О семи старухах». 

«Задача о семи старухах»:

Старухи направляются в Рим,  каждая имеет 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), т.е. через три тысячи лет после.

Решение:

7, 49, 343, 2401, 16807, 117649…- это геометрическая прогрессия, первый член b₁ = 7 и знаменатель прогрессии q = 7 :

         b_n= b₁ * q^n-1  = 117649

         S_n = 7 * 117648 / 6 = 137256.

Ещё одна интересная задача:

 В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат.

Решение:

К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого.

Нетрудно сосчитать, используя формулу

 что количество зерна, нужное для расплаты, составляет:

18 446 744 073 709 551 615 .

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени. Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого.

Таким образом, прогрессии были известны ещё в глубокой древности.

3.5 Прогрессии в жизни            

   Прогрессии широко встречаются в окружающей нас жизни.

   В природе :

   Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны и функции бактерий в нашей жизни. Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить 281 474 976 710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.

   По наблюдениям Карла Линнея: потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых - самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

•15 апреля - самка отложила 120 яиц; в начале мая - вышло 120 мух, из них 60 самок.

•5 мая - каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая - выходит 60 x 120 = 7200 мух, из них 3600 самок;

•25 мая - каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня - выходит 3600 x 120 = 432 000 мух, из них 216000 самок;

•14 июня - каждая из 216000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня - выходит 25920000 мух, в их числе 1296000 самок;

•5 июля - 12960000 самок кладут по 120 яиц; в июле - выходит 1555200000 мух, среди них 777600000 самок;

•25 июля - выходит 93312000000 мух, среди них 46656000000 самок;

•13 августа - выходит 5598720000000 мух, среди них 2799360000000 самок;

•1 сентября - выходит 355923200000000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км - в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т. е. примерно, как от Земли до далекой планеты Уран)...

   Одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок. Если бы все они прорастали, мы имели бы: в 1 год 1 растение в 2 года 100 растений в 3 года 10000 растений в 4 года 1000000 растений в 5 года 100000000 растений в 6 года 10000000000 растений в 7 года 1000000000000 растений в 8 года 100000000000000 растений в 9 года 10000000000000000 растений.

(В одной головке одуванчика было насчитано даже около 200 семянок.)

  Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше. Следовательно, на 9-м году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре. Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.

    В литературе :

   Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из «Евгения Онегина»

…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…

   Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
   Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…,в которой первый член равен 1 и разность прогрессии равна 2.

Примеры:

Ямб
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»
Прогрессия 2; 4; 6; 8…
А.С.Пушкин

Хорей
«Я пропАл, как звЕрь в загОне…»
Прогрессия 1; 3; 5; 7…
Б.Л. Пастернак

Прогрессии в банковских расчётах:

   Представьте, что Вы стоите перед дилеммой: либо получить 100 тысяч долларов прямо сейчас, либо в течение 28 дней получать монетку в 1 цент, которая ежедневно удваивается.
Что бы Вы предпочли?
   Решение задачи:

   Большинство людей выберет 100 тысяч долларов, думая, что это большая сумма. Но они не учитывают эффект прогрессии. Если маленькая монетка в один цент будет ежедневно удваиваться, то к 28-му дню Вы получите 2.68 миллионов долларов!
   Этот эффект геометрической прогрессии часто используют в бизнесе.
   План маркетинга Герболайфа позволяет использовать все преимущества геометрической прогрессии.

4.Числовые ряды.

Можно ли вычислить сумму бесконечного количества слагаемых? В одном конкретном случае, а именно когда все слагаемые равны нулю, ответ напрашивается сам собой :

 0+0+0+… = 0

Ну а как быть в других случаях? Рассмотрим геометрическую прогрессию a_n = a₁ * q^n-1 ,знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы : -1<q<1. Вычислим сумму первых n членов прогрессии :

S_n  = a₁ + a₁q + a₁q² +… +a₁q^n-1 =a₁ *(1-qⁿ) / (1-q).

Очевидно, что при │q│< 1 с ростом n значение qⁿ  стремится к нулю. Тогда S_n стремится к a₁ / (1-q), и это число естественно назвать суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: a₁+ a₁q + a₁q² +… == a₁/ (1-q).

Точно также можно подойти к любой другой последовательности.

Сумма ряда- это предел последовательности его частичных сумм.