Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
“Задачи Наполеона”
Гайсина Рита Рамилевна
Иванова Надежда Владимировна
МАОУ Лицей №58 г. Уфа
Научный руководитель:
Егорова Нурия Талгатовна,
учитель математики МАОУ №58 г. Уфа
2 слайд
Наполеоне Буонапарте
(1769—1821)
3 слайд
Цель работы:
Изучить задачи Наполеона
и найти способ решения задачи о
делении окружности на четыре
равные части с помощью
только одного циркуля
4 слайд
Задачи:
1) Изучить соответствующую историческую и математическую литературу.
2) Изучить задачи и головоломки Наполеона.
3) Решить задачу Наполеона о делении окружности на четыре равные части с помощью только одного циркуля.
4) Найти алгоритм деления окружности на равные части с помощью циркуля и линейки.
5) Показать практическое применение деления окружности на равные части.
5 слайд
В своей работе мы выдвинули следующее предположение: можно ли разделить окружность на четыре части не прибегая к линейке
(одна из задач Наполеона).
6 слайд
Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний.
Теорема Наполеона:
7 слайд
На сторонах треугольника построим во внешнюю его сторону равносторонние треугольники.
Вот как это выглядит в движении.
8 слайд
Центры равносторонних треугольников.
Вот как это выглядит в движении.
9 слайд
Центры равносторонних треугольников равноудалены друг от друга.
Зеленый треугольник всегда равносторонний.
10 слайд
Теорема Наполеона
Решение с использованием метода координат
Решение с использованием геометрических преобразований
Решение с использованием теоремы косинусов для четырехугольников
11 слайд
∠AO1С = ∠BO2А = ∠СО3В = 120°
∠O1СO3 + ∠О1АO2 + ∠O2ВO3 = 360°
O1, O2 и O3 - центры равносторонних треугольников
AO1 = O1С, ВO3 = O3C, BО2 = O2А
Доказательство теоремы:
12 слайд
Выделим шестиугольник АO2ВO3СO1 ,а внешние к нему невыпуклые четырехугольники отбросим
Отрезаем от шестиугольника треугольники О2АО1 и O2ВO3, перемещая их в плоскости, получаем четырехугольник O2O1DO3.
Доказательство теоремы:
13 слайд
Доказательство теоремы:
Следовательно,
треугольник O1O2O3 равносторонний, что и требовалось доказать .
∠ DO3O2 = ∠DO1O2 = 120°
∠O2O1O3=∠O2O3O1 = 60°
Отрезок O1O3 делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника.
14 слайд
Если на сторонах параллелограмма построить вовне квадраты, то их центры образуют квадрат.
Обобщенная теорема Наполеона
(Теорема Тебо):
15 слайд
Флаг Израиля
Следствие теоремы Наполеона:
Звезда Давида — эмблема в форме шестиконечной звезды (гексаграммы), в которой два равносторонних треугольника наложены друг на друга: верхний — вершиной вверх, нижний — вершиной вниз, образуя структуру из шести равносторонних треугольников, присоединённых к сторонам шестиугольника.
16 слайд
Одно из 7 чудес света - египетские пирамиды. Самая знаменитая из них - пирамида Хеопса высотой 147 м, в основании которой квадрат со стороной 233 м. Если из каменных блоков пирамиды возвести стену толщиной 20 см вокруг Франции, то какова будет высота этой стены?
Задача Наполеона о пирамиде Хеопса:
17 слайд
Ответ: 2 метра 66 сантиметров
Дано:
h 1 = 147 м
S = 233 м
h = 20 см
L = 5000 км
Найти:
H - ?
СИ:
h = 0,2 м
L = 5.000.000 м
Решение:
V = 1/3*S*h
V = 1/3*233*233*147
= 2660161 м^3
H стены = V/Lh
H стены =
2660161/ 5.000.000 *0,2 = 2,66 м
Решение задачи Наполеона:
18 слайд
Одно из 7 чудес света - египетские пирамиды. Самая знаменитая из них - пирамида Хеопса высотой 147 м, в основании которой квадрат со стороной 233 м. Если из каменных блоков пирамиды возвести стену толщиной 20 см вокруг Башкортостана, то какова будет высота этой стены?
Задача:
19 слайд
Ответ: 5 метра 32 сантиметра
Дано:
h 1 = 147 м
S = 233 м
h = 20 см
L = 2500 км
Найти:
H - ?
СИ:
h = 0,2 м
L = 2.500.000 м
Решение:
V = 1/3*S*h
V = 1/3*233*233*147
= 2660161 м^3
H стены = V/Lh
H стены =
2660161/ 2.500.000 *0,2 = 5,32 м
Решение задачи:
20 слайд
Одно из 7 чудес света - египетские пирамиды. Самая знаменитая из них - пирамида Хеопса высотой 147 м, в основании которой квадрат со стороной 233 м. Если из каменных блоков пирамиды возвести стену толщиной 20 см вокруг Уфы, то какова будет высота этой стены?
Задача:
21 слайд
Ответ: 57 метра 33 сантиметра
Дано:
h 1 = 147 м
S = 233 м
h = 20 см
L = 232 км
Найти:
H - ?
СИ:
h = 0,2 м
L =
232.000 м
Решение:
V = 1/3*S*h
V = 1/3*233*233*147
= 2660161 м^3
H стены = V/Lh
H стены =
2660161/ 232000*0,2 =57,33 м
Решение задачи:
22 слайд
В головоломке Наполеона девять фигур:
7 треугольников и 2 четырехугольника
23 слайд
Головоломка Наполеона:
24 слайд
Головоломка Наполеона:
25 слайд
Головоломка Наполеона:
26 слайд
Лоренцо Маскерони
По преданию Наполеон Бонапарт предложил итальянскому математику Лоренцо Маскерони задачу. Известно также, что во время беседы с Лагранжем и Лапласом (знаменитыми французскими математи-ками) Наполеон поразил их. Он объяснил им некоторые из предложенных Маскерони решений следующей его задачи.
27 слайд
Жозеф Луи Лагранж
По преданию Наполеон Бонапарт предложил итальянскому математику Лоренцо Маскерони задачу. Известно также, что во время беседы с Лагранжем и Лапласом (знаменитыми французскими математи-ками) Наполеон поразил их. Он объяснил им некоторые из предложенных Маскерони решений следующей его задачи.
28 слайд
Пьер Симон Лаплас
По преданию Наполеон Бонапарт предложил итальянскому математику Лоренцо Маскерони задачу. Известно также, что во время беседы с Лагранжем и Лапласом (знаменитыми французскими математи-ками) Наполеон поразил их. Он объяснил им некоторые из предложенных Маскерони решений следующей его задачи.
29 слайд
Данную окружность разделить на четыре равные части, не прибегая к линейке. Положение центра окружности дано.
Задача Наполеона:
30 слайд
1) Анализ задачи.
Разделить окружность на четыре части , значит вписать в эту
окружность квадрат со стороной а =
Решение задачи:
.
Сначала построим отрезок длиной r 3 и по теореме Пифагора получим r 2 .
3r 2 − r 2 = r 2
31 слайд
2) Построение.
32 слайд
2) Построение.
33 слайд
1) АС из АВС по теореме косинусов
АC =
2) АМО прямоугольный т.к. АМД равнобедренный, а МО медиана и высота.
2) ОМ из АМО по теореме Пифагора
ОМ = =
3) AP=AK = ОМ =
(как радиусы окружности (А, ОМ))
Так AD диаметр данной окружности (по построению),
следовательно, AP=PD=DK=AK=
3) Доказательство.
34 слайд
Так как окружность с центром в данной точке и с данным
радиусом можно провести единственным образом,
данная задача имеет одно решение.
4) Исследование.
35 слайд
1
2
3
4
5
6
7
8
Деление окружности на 4 и 8 равных частей:
36 слайд
1
2
3
4
Деление окружности на 3 равных частей:
37 слайд
1
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Деление окружности на 6 и 12 равных частей:
38 слайд
1
2
3
4
О
А
B
С
а5
D
Е
а5 = СЕ
K
5
Деление окружности на 5 равных частей:
39 слайд
1
2
3
4
О
А
В
Е
5
а10 = ОЕ
а10
Деление окружности на 10 равных частей:
40 слайд
1
2
3
4
О
А
В
D
5
а7 = ВД
а7
6
7
Деление окружности на 7 равных частей:
41 слайд
Алгоритм деления окружности
на любое количество равных частей:
Где k - коэффициент длины хорды, которую циркулем откладывают на заданной окружности n раз;
D – диаметр.
𝑘=𝐷 sin 180 𝑛
42 слайд
Алгоритм деления окружности
на любое количество равных частей:
43 слайд
Алгоритм деления окружности
на любое количество равных частей:
program abc;
Var n,a,R:real;
begin
writeln('Введите число n');
readln(n);
writeln('Введите радиус окружности R');
readln(R);
a:=2*R*sin(Pi/n);
writeln('Сторона правильного многоугольника равна ',a:3:1);
end.
44 слайд
ВЫВОД
В своей научно-исследовательской работе мы смогли решить задачу о делении окружности на 4 равные части с помощью только одного циркуля. Кроме этого мы доказали теорему Наполеона и разгадали его головоломку. Также составили свои задачи для границ Башкортостана и Уфы, аналогичные второй задаче Наполеона. В данной работе предложены алгоритмы деления окружности на n равных частей. В работе приведены примеры практического применения деления окружности на равные части в различных сферах.
45 слайд
Практическое значение работы:
Изучение задач Наполеона расширяет кругозор и развивает логическое мышление.
Алгоритмы деления окружности на n частей применяются на уроках черчения, начертательной геометрии в ВУЗах.
46 слайд
Заключение
Карл Фридрих Гаусс
Задача деление окружности эквивалентна решению двучленного уравнения:
xn — 1 = 0
Деление окружности при помощи циркуля и линейки возможно только тогда, когда все корни этого уравнения можно получить последовательным решением квадратных и линейных уравнений.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 625 167 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Егорова Нурия Талгатовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.