Презентация по математике "Решение комбинаторных задач" Подготовка к ЕГЭ

• 1 слайд

  Подготовка к ЕГЭ по математике (В4)
  Решение комбинаторных задач
  Зарьянцева В.П.
  

• 2 слайд

  Комбинаторика
  Правило
  суммы
  произведения
  Формулы
  Перестановки
  Размещения
  Сочетания
  

• 3 слайд

  Правило суммы
  Если элемент x можно выбрать способами nx и если элемент y можно выбрать ny способами, то выбор «либо x, либо y» можно осуществить способами nx+ ny.
  Nx=4
  Ny=5
  Выбираем один шар
  Любой цвет
  Nx +Ny=4+5=9 способов
  

• 4 слайд

  Пример 1
  В коробке 10 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линию. Сколькими способами можно выбрать одну тетрадь?
  Решение: или – логическая сумма
  10+5=15 (выбор неважен)
  

• 5 слайд

  Пример1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?
  
  Решение:
  к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),
  к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)
  к1+к2 = 5+4 = 9
  

• 6 слайд

  Правило произведения
  Если элемент x можно выбрать nx способами и если после его выбора элемент y можно выбрать ny способами, то выбор упорядоченной пары (x, y) можно осуществить nx∙ ny способами.
  Nx=4
  Ny=5
  Выбираем пару шаров
  Синий и рыжий
  Nx ∙Ny=4∙5=20 способов
  

• 7 слайд

  Пример 2
  В магазине "Все для чая'' есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?
  
  5*3=15
  

• 8 слайд

  Пример 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?
  Решение: N= 5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)
  б) Сколько среди них чисел, кратных 5?
  Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.
  На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.
  N= 5х1 =5
  
  

• 9 слайд

  Пример5. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
  а)Сколько всего стран могут использовать такую символику?
  Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24
  
  

• 10 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  б) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?
  
  Решение: Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  Пример7. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля оказались рядом?
  Решение: Будем считать, что на скамейке 6 пустых мест. Посадить Колю можно шестью способами, после чего Олю посадить рядом с ним одним или двумя способами. Это зависит от того, куда мы посадили Колю – на крайнее место или нет.
  
  

• 12 слайд

  Пусть Коля сидит на краю. Место на краю можно выбрать 2 способами, после чего Олю можно посадить одним способом, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4х3х2х1 способами, значит, всего 2х1х4х3х2х2=48 способов
  
  Коля сидит где-то в середине. Место для Коли можно выбрать 4 способами, Олю можно посадить 2 способами, значит, всего
  4х2х4х3х2х1=192 способами.
  
  По правилу сложения 48+192= 240 способов
  

• 13 слайд

  ПОРЯДОК ВАЖЕН?
  НЕТ
  ПОВТОРЕНИЯ ЕСТЬ?
  НЕТ
  ДА
  ДА
  НУЖНО ВЫБРАТЬ ВСЕ n ЭЛЕМЕНТОВ
  НЕТ
  ДА
  Определите n (общее количество объектов) и m (сколько объектов выбираем)
  СОЧЕТАНИЯ
  СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ
  Повторения есть
  Повторения есть
  НЕТ
  НЕТ
  ДА
  Размещения
  Размещения с повторениями
  Перестановки
  Перестановки с повторениями
  ДА
  

• 14 слайд

  Перестановки
  
  
  
  
  
  

• 15 слайд

  Перестановки без повторений
  Перестановками без повторений из n различных элементов называются все возможные последовательности этих n элементов. Число перестановок без повторений из n элементов равняется
  
  по определению
  

• 16 слайд

  Перестановки без повторений
  6 различных перестановок
  

• 17 слайд

  Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?
  

• 18 слайд

  Задача 19. Даны цифр: 1,2,3,4,5,6,7. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
  Примеры: 1234567, 2354167, 7546321.
  Перестановка-упорядоченное множество.
  Число перестановок из n элементов вычисляют по формуле Pn=n!.
  По условию n=7
  Так из 7 цифр можно 7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 различных чисел.
  
  

• 19 слайд

  Перестановки с повторениями
  Перестановки с повторением из n элементов k типов
  число элементов 1-го типа n1;
  число элементов 2-го типа n2; …;
  число элементов k-го типа nk,
  все возможные последовательности исходных n элементов. Число перестановок с повторениями обозначают
  подсчитывают так:
  

• 20 слайд

  Перестановки с повторениями
  n1=2
  n2=1
  n=n1+n2=2+1=3
  3 различные перестановки
  

• 21 слайд

  Пример 4
  Дворовая футбольная команда выбирает капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать, если в команде 11 человек?
  
  
  

• 22 слайд

  Пример 5
  Сколько различных гирлянд можно сделать, если у нас 5 красных, 7 синих и 4 желтых светодиода?
  
  
  
  

• 23 слайд

  Пример Даны цифр: 1,2,2,3,3,3,4,. Сколько различных чисел можно составить из этих цифр? Каждое число является перестановкой из 7 элементов.
  Примеры: 1223334, 4232331,2233314.
  Некоторые числа при перестановке одинаковых цифр не меняются.
  По условию n=7, n1=2 , n2=3
  
  
  
  

• 24 слайд

  Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?
  
  

• 25 слайд

  Сколько различных гирлянд получится, если замкнуть гирлянду из предыдущей задачи в кольцо?
  
  

• 26 слайд

  Размещения
  (выборки)
  

• 27 слайд

  Размещения без повторений
  Размещениями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
  Число размещений без повторений из n элементов по m обозначается символом
  
  

• 28 слайд

  Размещения без повторений
  n=3
  Выбираем два шара
  m=2
  Порядок выбора важен!
  6 различных выборок
  

• 29 слайд

  Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
  

• 30 слайд

  Пример
  Из группы в 15 человек выбирается 4 участника эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
  
  
  

• 31 слайд

  Размещения с повторениями
  Размещения с повторениями из элементов k типов по m элементов (k и m могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличаются друг от друга или порядком следования элементов, или составом элементов.
  

• 32 слайд

  Размещения с повторениями
  k=2
  n=3
  8 вариантов выборок
  

• 33 слайд

  Пример 8
  Назовем натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует четырехзначных "симпатичных" чисел?
  k=5 порядок важен
  
  
  

• 34 слайд

  Шифр сейфа состоит из 6 цифр, которые должны набираться последовательно и могут повторяться. Чему в этом случае равно общее число всех возможных комбинаций шифра?
  

• 35 слайд

  Сочетания
  

• 36 слайд

  Сочетания без повторений
  Сочетаниями без повторений из n различных элементов по m элементов называются все такие последовательности m различных элементов, выбранных из исходных n, которые отличаются друг от друга составом элементов.
  

• 37 слайд

  Сочетания без повторений
  n=3
  Выбираем два шара
  m=2
  Порядок выбора не важен!
  3 сочетания
  

• 38 слайд

  Пример 9
  Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
  

• 39 слайд

  Сколькими способами можно вывезти со склада 10 ящиков на двух автомашинах, если на каждую автомашину грузят по 5 ящиков.
  

• 40 слайд

  Сочетания с повторениями
  Сочетаниями с повторениями из элементов k типов по m элементов (m и k могут быть в любых соотношениях) называются все такие последовательности m элементов, принадлежащих исходным типам, которые отличают друг от друга составом элементов.
  

• 41 слайд

  Сочетания с повторениями
  k=2
  m=3
  4 варианта сочетаний
  

• 42 слайд

  Пример 10
  В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики. Все цветы на внешний вид одинаковы. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы?
  Решение
  Так как по условию задачи все цветы на внешний вид одинаковы, то мы получаем формулу без повторений.
  Вы выбираем цветы в букет, порядок выбора не важен, следовательно, мы получаем формулу сочетаний без повторений: два типа цветов, выбираем три цветка.
  
  

• 43 слайд

  В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?
  

• 44 слайд

  Формулы
  комбинаторики
  Перестановки
  Используются все элементы
  Порядок элементов важен
  Размещения
  Используются не все элементы
  Порядок элементов важен
  Сочетания
  Используются не все элементы
  Порядок элементов не важен
  

• 45 слайд

  Один выбор (анализ) элементов или несколько? Если один, то см. п.3
  Каким союзом варианты выбора (анализа) соединяются? «И» – правило произведения, «или» – правило суммы.
  Для каждого выбора задаются следующие вопросы:
  Все элементы используются? Если «да», то это перестановки. Переходим к п. 5.
  Порядок выбора элементов важен? Если «да», то это размещения, «нет» – сочетания.
  Есть ли одинаковые элементы? Если «да» – то формула с повторениями, «нет» – без повторений.
  

• 46 слайд

  Сколько различных гирлянд можно сделать из 10 светодиодов разного цвета?
  При замыкании линии в кольцо перестановки, являющиеся циклическими сдвигами относительно друг друга, становятся одинаковыми.
  Возьмем, например, следующую перестановку и посмотрим, сколько других перестановок явлюяются ее циклическим сдвигом:
  1. ккккксссссссжжжж
  2. кккксссссссжжжжк
  3. ккксссссссжжжжкк
  ...
  15. жжккккксссссссжж
  16. жккккксссссссжжж
  Следовательно, все перестановки разбиваются на группы по 16 цепочек в группе. Итак, число кольцевых гирлянд будет
  
  
  

• 47 слайд

  Пример 11
  Световое табло состоит из лампочек. Каждая лампочка может находиться в одном из трех состояний («включено», «выключено» или «мигает»). Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 18 различных сигналов?
  

• 48 слайд

  У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
  а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
  б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?
  Решение 25*24*23 = 13800 способов. 
  Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали  3·2·1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число  13800 : 6 = 2300.
  

• 49 слайд

  Волонтеры разделились на две равные группы для розыска заблудившегося ребенка. Среди них только 4 знакомы с местностью. Каким числом способов они могут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих местность, если всего их 16 человек?
  Решение
  Мы делим всех волонтеров на две равные группы, то есть выбираем участников первой группы, а все остальные переходят в другую группу. Один выбор.
  Теперь рассмотрим этот выбор первой группы. Выбор состоит из выбора волонтеров, знающих местность, и выбора волонтеров, незнающих местность. Следовательно, будем соединять эти два числа правилом произведения.
  Найдем число выборов волонтеров, знающих местность. Всего таких волонтеров 4 человека. Нам нужно 2. Порядок выбора не важен. Сочетания без повторений.
  
  
  Найдем число выборов волонтеров, незнающих местность. Всего их 16-4=12 , выбираем шесть человек (ровно половину).
  
  
  Общее число выборов:
   
   
   
  
  

• 50 слайд

  Сколько существует натуральных чисел, меньших 25610, таких, что в записи каждого числа в двоичной системе счисления будет равное количество единиц и значащих нулей. В ответе укажите целое число.
  Решение
  Переведем данное число из десятичной системы счисления в двоичную.
  25610 =1000000002
  Следовательно, числа меньше данного состоят из восьми, семи, шести, пяти, четырех, трех, двух и одного разряда.
  1) Рассмотрим восьмиразрядные числа. 1ХХХХХХХ. Так как мы точно знаем сколько нулей и единиц, то мы используем формулу перестановки с повторениями.
  
  
  2) Рассмотрим семиразрядные числа. Очевидно, что такие числа не удовлетворяют условию задачи, так как не могут состоять из одинакового числа единиц и нулей. Аналогичный вывод можно сделать о пятиразрядных, трехразрядных и одноразрядных числах.
  
  

• 51 слайд

  3) Рассмотрим шестиразрядные числа. Рассуждая аналогично п.1 получаем:
  
  4) Четырехразрядные числа.
  5) Двухразрядное число только одно 102
  Итак, у нас может быть или восьмиразрядное число, или шестиразрядное число, или четырехразрядное число, или двухразрядное число. Правило суммы.
  
  

• 52 слайд

  Пример 15
  В коробке находятся 16 шариков – 4 красных, 4 синих и 8 черных. Из коробки наугад вынули два шарика. Какое из перечисленных сообщений несет в себе наибольший объем информации?
  Один из вынутых шариков – красного цвета, а другой – синего;
  Один из вынутых шариков – синего цвета, а другой – черного;
  Оба вынутых шарика красного цвета;
  Оба вынутых шарика черного цвета;
  Цвета вынутых шариков отличаются друг от друга;
  Вынуты шарики одного и того же цвета.
  

• 53 слайд

  Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, 2 ладьи, 2 слонов и 2 коней) на первой линии шахматной доски?
  

• 54 слайд

  Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.
  
  Решение
  В этой задаче нам обязательно нужно использовать цифры 2, 4 и 5. Но они могут стоять на разных местах и в разном порядке. У нас три "важные" и две "неважные" цифры в числе - два типа цифр. Это перестановки с повторениями.
  
  
  
  Теперь посчитаем сколько различных перестановок "важных" цифр между собой. Это перестановки без повторений
  
  Итак у нас 60 различных перестановок. Теперь посчитаем, сколько различных "неважных" цифр может быть в каждой из этих перестановок.
  Мы выбираем две "неважные" цифры из шести. Порядок выбора важен. Это размещения без повторений.
  
  
  
  

• 55 слайд

  В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?
  
  Решение:
  Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380.
  
  Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.