Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Решение
квадратных уравнений
различными способами
Ученик 8 б класса Шаяхметов Руслан
Учитель: Матвеева С.Н.
2 слайд
1. Определение квадратного уравнения, его виды
: Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax2 + bx + c = 0,
где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
3 слайд
Неполные квадратные уравнения
1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;
2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;
3) ах2 = 0.
4 слайд
Из истории квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
5 слайд
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта(VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2+вх=с, а0.
В этом уравнении коэффициенты, кроме а,могут быть и отрицатель-ными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
6 слайд
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.Книга способствовала распространению алгебраических знаний в Италии, в Германии, Франции и др. странах Европы.
7 слайд
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
В глубокой древности была найдена формула для решения квадратного уравнения с помощью радикалов (корней). Вывод формулы имеется у Виета,но он признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кордано, Бомбелли в XVI в.учитывают и отрицательные корни. В XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
8 слайд
Различные способы решения квадратных уравнений
1. Разложение левой части уравнения на множители
Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
9 слайд
Разложение левой части уравнения на множители
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
10 слайд
Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение х + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат.
11 слайд
Решение квадратных уравнений по формуле
Х1,2 =
12 слайд
4х + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1
Х=
Х=
, х2 = –1
х1 =
13 слайд
4х – 4х + 1 = 0,
а =4, b = - 4, с = 1.
D = b – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0,
D = 0, один корень;
Х=
14 слайд
2х +3х + 4 = 0
а =2, b= 3, с = 4
D = b – 4ас=9 – 4∙2∙4 =9 – 32 =
- 13
D < 0. Уравнение не имеет корней.
15 слайд
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
(прямой и обратной)
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + q = 0.
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
16 слайд
Теорема Виета для квадратного уравнения ах +вх +с = 0
имеет вид
17 слайд
Примеры
Решить уравнение х – 9х + 14 =0
Попробуем найти два числа х и х ,
такие, что х +х = 9 ,х х = 14
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.
18 слайд
Решение уравнений способом «переброски»
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а х + а bх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению
у + by + ас = 0, равносильного данному. Его корни у и у найдем с помощью теоремы Виета.
19 слайд
Примеры
Решим уравнение 2х – 11х + 15 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у – 11y +30 = 0.
Согласно теореме Виета
20 слайд
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),
то х1 = 1, х2 = .
Если а - b + с = 0, или b = а + с, то
х1 = – 1, х2 = –
21 слайд
Решим уравнение 345х – 137х – 208 = 0.
Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0)
, то х1 = 1, х2 = .
Решим уравнение
132х + 247х + 115 = 0
Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
х1= - 1, х2= -
22 слайд
Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде
Х =
23 слайд
Графическое решение квадратного уравнения
Решим графически уравнение
х – 3х – 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде
х = 3х + 4 . Построим параболу у = х и прямую у = 3х + 4.
Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и
х2 = 4.
24 слайд
у=х2 у у=-3х+4
-1 0 4 х
25 слайд
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в
точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах + bх + с = 0
и проходит через точки А (0;1) и С(0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС откуда
ОС = .
26 слайд
у
C(0, )
А(0; 1)
В(х1, 0) D(х2, 0)
S(
27 слайд
Решим графически уравнение
х – 2х – 3 = 0.
Определим координаты точки центра окружности по формулам
Х=-
У= =
Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1).
28 слайд
Ответ: х1 = – 1 , х2 = 3
у
А
-1 3 х
S(1,-1)
29 слайд
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
30 слайд
Примеры
1.Для уравнения
z2 – 9z + 8 = 0.
Номограмма дает корни
z1 = 8, 0 и z2 = 1,
2.Решим с помощью
номограммы уравнение
2 z – 9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты
Этого уравнения на 2, получим уравнение
z – 4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
31 слайд
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 625 564 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Матвеева Светлана Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.