Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Решение и оформление олимпиадных задач по геометрии Выполнил ученик 10 класса Волков Макар Руководитель: Гудкова В.Д. 2016г. г. Батайск
2 слайд
Несколько теорем, которые могут оказаться полезными при решении олимпиадных задач по геометрии
3 слайд
Окружность OP2 = R2 - mn a2 + b2 + c2 + d2 = D2 OK2 = R2 – 2Rr 1) K1C = K2C = KC 2) ∠K1KK2 = 90° 3) ∠O1CO2 = 90°
4 слайд
Треугольник = ac X (a+b) = bc y (a+b) CL2 = ab - xy b2 = t2 - mn Теорема Чевы Теорема Менелая AK * BL * CM = 1 KB LC MA BZ * AY * CX = 1 ZA YC XB
5 слайд
Рассмотрим пример решения олимпиадной задачи из книги «Математические олимпиады школьников» Москва, « Просвещение», « Учебная литература», 1997г Авторы: Н.Х. Агаханов, Л.П.Купцов, Ю.В. Нестеренко, С.В. Резниченко, А.М. Слинько
6 слайд
Дано: ΔАВС разбит на 4 треугольника и 3 четырехугольника, как показано на рисунке. Площади всех серых треугольников равны S=1. 1)Доказать, что площади четырехугольников равны; 2)Определить величину их площади.
7 слайд
В олимпиадных задачах по геометрии очень часто требуется выполнить дополнительное построение.
8 слайд
Проведем отрезки KF и MB Рассмотрим ΔMKB и ΔMFB, каждый из них состоит из серого треугольника и треугольника MLB => SMKB=SMFB Так как SΔ= ½ aha , то SMKB=½ KH*MB, SMFB=½ FG*MB => KH=FG => MKFB-трапеция (по признаку трапеции) => KF∥MB Опустим перпендикуляры из точек K и F на отрезок MB: KH⊥MB, FG⊥MB
9 слайд
Проведем отрезки AL и DE, CK и DL Ранее было доказано, что KF∥MB; аналогично доказывается, что AL∥DE, CK∥DL
10 слайд
Иногда в решении задачи необходимо использовать некоторую лемму. В таком случае её надо доказать.
11 слайд
Докажем лемму о том, что в трапеции прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон, делит основания трапеции пополам: BN=NC,AM=MD Доказательство. 1) Рассмотрим ΔBPN и ΔAPM, они подобны по 1-ому признаку (∠APM-общий, ∠PAM=∠PBN, как соответственные): ΔBPN~ΔAPM = => BNPN AMPM Аналогично: ΔNPС~ΔMPD 2) Аналогично: ΔBNQ~ΔDMQ ΔCNQ~ΔAMQ Сравнив полученные равенства, имеем: BN=NC,AM=MD Что и требовалось доказать = => NCPN MDPM = => NCBN MDAM = => BNNQ MDMQ = => CNNQ AMMQ = => BNCN MDAM
12 слайд
Продлим AL до пересечения с MB По доказанной лемме: BS=MS По теореме Фалеса: так как BS=MS и AS∥ME, то BL=LE => CL-медиана ΔBCE Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то SBCL=SLCE ΔBCL состоит из четырехугольника CEKB и треугольника MKL, ΔLCE состоит из четырехугольника MLBD и треугольника CDM, SCDM=SMKL (по условию) => SCEKB=SMLBD Аналогично доказывается, что SFLKA=SMLBD Таким образом, SCEKB=SMLBD=SFLKA Первая часть задачи решена
13 слайд
ΔBPN~ΔAPM по первому признаку = => MB AM KFAK ΔAMB~ΔAKF по первому признаку = => MBBL KFKL = => BLAM MK+AK MK KLAK AK AK = = +1 ΔBDL~ΔBCK по первому признаку = => CK BK DLBL ΔCMK~ΔLMD по первому признаку = => CKCM DLML = => CM BK LK+BL LK ML BL BL BL = = +1 ΔCME~ΔCLA по первому признаку = => LA CL ME CM ΔLKA~ΔMKE по первому признаку = => LAAK ME MK = => AK CL ML+CM ML MKCM CM CM = = +1
14 слайд
Итак, мы получили три равенства: Пусть: Тогда имеем систему уравнений: Решив её, получим: = BLMK KLAK +1 = CM LK ML BL +1 = AKML MK CM +1 a b c a = + 1; b = + 1; c = + 1. 1 c 1 a 1 b a = b = c = √5 + 1 2
15 слайд
Так как ΔAMB~ΔAKF, то = с = Треугольники AFC и BFC имеют равные высоты (перпендикуляр из точки С на прямую АВ): Заметим, что треугольник AFC состоит из двух серых треугольников, площади которых 1, и двух белых четырехугольников, площади которых обозначим за x. Тогда SACF = 2x+2. Аналогично: SBCF = x+2. = AFAK BFMK √5 + 1 2 = =
16 слайд
Тогда имеем уравнение: = 2x+2 x+2 Откуда x = Таким образом, мы нашли искомую площадь. Ответ. . √5 + 1 2 √5 + 1 √5 + 1
17 слайд
Итак, повторим основные моменты, важные при решении олимпиадных задач по геометрии
18 слайд
1. Начинаем оформление с чертежа, он должен быть большим, аккуратным и понятным, все элементы чётко обозначены. 2. Если в решении используется дополнительное построение, то оно оговаривается. Если используется вспомогательная лемма, то ее следует доказать. 3. Решение должно быть четким и логично выстроенным. 4. В конце обязательно следует написать «Ответ».
19 слайд
Вот и всё! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 625 653 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Гудкова Валентина Дмитриевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.