Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике " Решение олимпиадных задач по геометрии"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по математике " Решение олимпиадных задач по геометрии"

библиотека
материалов
Решение и оформление олимпиадных задач по геометрии Автор: Волков Макар
Вашему вниманию представляются несколько теорем, которые могут оказаться поле...
Окружность OP2 = R2 - mn a2 + b2 + c2 + d2 = D2 OK2 = R2 – 2Rr 1) K1C = K2C =...
Треугольник = ac X (a+b) = ac y (a+b) CL2 = ab - xy b2 = t2 - mn Теорема Чевы...
Рассмотрим пример решения олимпиадной задачи
Дано: ΔАВС разбит на 4 треугольника и 3 четырехугольника, как показано на ри...
В олимпиадных задачах по геометрии очень часто требуется выполнить дополнител...
Проведем отрезки KF и MB Рассмотрим ΔMKB и ΔMFB, каждый из них состоит из сер...
Проведем отрезки AL и DE, CK и DL Ранее было доказано, что KF∥MB; аналогично...
Иногда в решении задачи необходимо использовать некоторую лемму. В таком случ...
Докажем лемму о том, что в трапеции прямая, проходящая через точку пересечени...
Продлим AL до пересечения с MB По доказанной лемме: BS=MS По теореме Фалеса:...
ΔBPN~ΔAPM по первому признаку = => MB AM KF	AK ΔAMB~ΔAKF по первому признаку...
Итак, мы получили три равенства: Пусть: Тогда имеем систему уравнений: Решив...
Так как ΔAMB~ΔAKF, то = с = Треугольники AFC и BFC имеют равные высоты (перпе...
Тогда имеем уравнение: = 2x+2 x+2 Откуда x = Таким образом, мы нашли искомую...
Итак, повторим основные моменты, важные при решении олимпиадных задач по геом...
1. Начинаем оформление с чертежа, он должен быть большим, аккуратным и понятн...
Вот и всё! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
19 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Решение и оформление олимпиадных задач по геометрии Автор: Волков Макар
Описание слайда:

Решение и оформление олимпиадных задач по геометрии Автор: Волков Макар

№ слайда 2 Вашему вниманию представляются несколько теорем, которые могут оказаться поле
Описание слайда:

Вашему вниманию представляются несколько теорем, которые могут оказаться полезными при решении олимпиадных задач по геометрии

№ слайда 3 Окружность OP2 = R2 - mn a2 + b2 + c2 + d2 = D2 OK2 = R2 – 2Rr 1) K1C = K2C =
Описание слайда:

Окружность OP2 = R2 - mn a2 + b2 + c2 + d2 = D2 OK2 = R2 – 2Rr 1) K1C = K2C = KC 2) ∠K1KK2 = 90° 3) ∠O1CO2 = 90°

№ слайда 4 Треугольник = ac X (a+b) = ac y (a+b) CL2 = ab - xy b2 = t2 - mn Теорема Чевы
Описание слайда:

Треугольник = ac X (a+b) = ac y (a+b) CL2 = ab - xy b2 = t2 - mn Теорема Чевы Теорема Менелая AK * BL * CM = 1 KB LC MA BZ * AY * CX = 1 ZA YC XB

№ слайда 5 Рассмотрим пример решения олимпиадной задачи
Описание слайда:

Рассмотрим пример решения олимпиадной задачи

№ слайда 6 Дано: ΔАВС разбит на 4 треугольника и 3 четырехугольника, как показано на ри
Описание слайда:

Дано: ΔАВС разбит на 4 треугольника и 3 четырехугольника, как показано на рисунке. Площади всех серых треугольников равны S=1. 1)Доказать, что площади четырехугольников равны; 2)Определить величину их площади.

№ слайда 7 В олимпиадных задачах по геометрии очень часто требуется выполнить дополнител
Описание слайда:

В олимпиадных задачах по геометрии очень часто требуется выполнить дополнительное построение.

№ слайда 8 Проведем отрезки KF и MB Рассмотрим ΔMKB и ΔMFB, каждый из них состоит из сер
Описание слайда:

Проведем отрезки KF и MB Рассмотрим ΔMKB и ΔMFB, каждый из них состоит из серого треугольника и треугольника MLB => SMKB=SMFB Так как SΔ= ½ aha , то SMKB=½ KH*MB, SMFB=½ FG*MB => KH=FG => MKFB-трапеция (по признаку трапеции) => KF∥MB Опустим перпендикуляры из точек K и F на отрезок MB: KH⊥MB, FG⊥MB

№ слайда 9 Проведем отрезки AL и DE, CK и DL Ранее было доказано, что KF∥MB; аналогично
Описание слайда:

Проведем отрезки AL и DE, CK и DL Ранее было доказано, что KF∥MB; аналогично доказывается, что AL∥DE, CK∥DL

№ слайда 10 Иногда в решении задачи необходимо использовать некоторую лемму. В таком случ
Описание слайда:

Иногда в решении задачи необходимо использовать некоторую лемму. В таком случае перед использованием её надо доказать.

№ слайда 11 Докажем лемму о том, что в трапеции прямая, проходящая через точку пересечени
Описание слайда:

Докажем лемму о том, что в трапеции прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения продолжений боковых сторон, делит основания трапеции пополам: BN=NC,AM=MD Доказательство. 1) Рассмотрим ΔBPN и ΔAPM, они подобны по 1-ому признаку (∠APM-общий, ∠PAM=∠PBN, как соответственные): ΔBPN~ΔAPM = => BN PN AM PM Аналогично: ΔNPС~ΔMPD 2) Аналогично: ΔBNQ~ΔDMQ ΔCNQ~ΔAMQ Сравнив полученные равенства, имеем: BN=NC,AM=MD Что и требовалось доказать = => NC PN MD PM = => NC BN MD AM = => BN NQ MD MQ = => CN NQ AM MQ = => BN CN MD AM

№ слайда 12 Продлим AL до пересечения с MB По доказанной лемме: BS=MS По теореме Фалеса:
Описание слайда:

Продлим AL до пересечения с MB По доказанной лемме: BS=MS По теореме Фалеса: так как BS=MS и AS∥ME, то BL=LE => CL-медиана ΔBCE Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, то SBCL=SLCE ΔBCL состоит из четырехугольника CEKB и треугольника MKL, ΔLCE состоит из четырехугольника MLBD и треугольника CDM, SCDM=SMKL (по условию) => SCEKB=SMLBD Аналогично доказывается, что SFLKA=SMLBD Таким образом, SCEKB=SMLBD=SFLKA То есть первая часть задачи решена

№ слайда 13 ΔBPN~ΔAPM по первому признаку = => MB AM KF	AK ΔAMB~ΔAKF по первому признаку
Описание слайда:

ΔBPN~ΔAPM по первому признаку = => MB AM KF AK ΔAMB~ΔAKF по первому признаку = => MB BL KF KL = => BL AM MK+AK MK KL AK AK AK = = +1 ΔBDL~ΔBCK по первому признаку = => CK BK DL BL ΔCMK~ΔLMD по первому признаку = => CK CM DL ML = => CM BK LK+BL LK ML BL BL BL = = +1 ΔCME~ΔCLA по первому признаку = => LA CL ME CM ΔLKA~ΔMKE по первому признаку = => LA AK ME MK = => AK CL ML+CM ML MK CM CM CM = = +1

№ слайда 14 Итак, мы получили три равенства: Пусть: Тогда имеем систему уравнений: Решив
Описание слайда:

Итак, мы получили три равенства: Пусть: Тогда имеем систему уравнений: Решив её, получим: = BL MK KL AK +1 = CM LK ML BL +1 = AK ML MK CM +1 a b c a = + 1; b = + 1; c = + 1. 1 c 1 a 1 b a = b = c = √5 + 1 2

№ слайда 15 Так как ΔAMB~ΔAKF, то = с = Треугольники AFC и BFC имеют равные высоты (перпе
Описание слайда:

Так как ΔAMB~ΔAKF, то = с = Треугольники AFC и BFC имеют равные высоты (перпендикуляр из точки С на прямую АВ): Заметим, что треугольник AFC состоит из двух серых треугольников, площади которых 1, и двух белых четырехугольников, площади которых обозначим за x. Тогда SACF = 2x+2. Аналогично: SBCF = x+2. = AF AK BF MK √5 + 1 2 = =

№ слайда 16 Тогда имеем уравнение: = 2x+2 x+2 Откуда x = Таким образом, мы нашли искомую
Описание слайда:

Тогда имеем уравнение: = 2x+2 x+2 Откуда x = Таким образом, мы нашли искомую площадь. Ответ. . √5 + 1 2 √5 + 1 √5 + 1

№ слайда 17 Итак, повторим основные моменты, важные при решении олимпиадных задач по геом
Описание слайда:

Итак, повторим основные моменты, важные при решении олимпиадных задач по геометрии

№ слайда 18 1. Начинаем оформление с чертежа, он должен быть большим, аккуратным и понятн
Описание слайда:

1. Начинаем оформление с чертежа, он должен быть большим, аккуратным и понятным, все элементы должны быть обозначены. 2. Если в решении используется дополнительное построение, то оно оговаривается. Если используется вспомогательная лемма, то ее следует доказать. 3. Решение должно быть четким и логично выстроенным. 4. В конце обязательно следует написать «Ответ».

№ слайда 19 Вот и всё! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Описание слайда:

Вот и всё! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 07.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров185
Номер материала ДВ-508773
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх