Презентация по математике "Решение простейших тригонометрических уравнений"

МОСКОВСКИЙ  ГУМАНИТАРНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Колледж

 Решение простейших тригонометрических уравнений

Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика»

                        Для специальности 43.02.11 Гостиничный сервис

I курс

                                                                          Составил преподаватель: Мухамметжанова Р.К.

2015

Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели занятия:

 Образовательная:

§  Вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

§  Сформировать у студентов первичные умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

 Развивающая:

§  Развивать математическое мышление.

§  Умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать   математические ситуации.

Воспитательная:

§  Воспитывать активность, самостоятельность, упорство и достижение цели.   

Формируемые ОК:

§  ОК.3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях, и нести за них ответственность.

§  ОК.4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития;

§  ОК.5.  Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий.

§  ОК.6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Знания и умения:

уметь:

У.5. уметь определять основные свойства функций и строить графики изученных функций

У.7. уметь преобразовывать простейшие тригонометрические выражения

У.9. уметь решать иррациональные, логарифмические и тригонометрические уравнения

      знать:

З.1. Знать значение математической науки для решения теоретических и практических задач;

З.3. знать способы решения различных алгебраических уравнений

З.4. знать основные определения и формулы тригонометрии

Тип занятия: комбинированный.

Обеспечение занятия:

Наглядные пособия: таблицы значений тригонометрических функций, сводные таблицы решения тригонометрических уравнений, тригонометрический круг.

ТСО: компьютер, диапроектор.

Оснащение ТСО: программа Microsoft office PowerPoint.

Вычислительные средства: микрокалькуляторы, таблицы значений тригонометрических функций, тригонометрический круг.

Ход занятия:

1.     Организационный момент:

            Проверка отсутствующих, заполнение журнала.

             Постановка темы и целей урока.

2.      Проверка знаний:

            Фронтальный опрос (устные вопросы)

                 1. Тригонометрический круг (слайд №2)

2. Сформулируйте определение арксинуса числа.

3.Чему равен ?

4.Сформулируйте определение арккосинуса числа.

5.Чему равен ?

6.Сформулируйте определение арктангенса.

7.Чему равен ?

8.Дайте определение арккотангенса числа.

9.Чему равен ?

Устный счет по таблицам значения тригонометрических функций: (слайд №3, 4)

;  ;  ;  ;  ;

;  ;  .

3.     Объяснение нового материала:

   Актуализация опорных знаний:

Обратные тригонометрические функции необходимы нам для изучения новой темы «Решение простейших тригонометрических уравнений»,

так как они используются при решении тригонометрических уравнений.

В курсе алгебры вы уже встречались с различными видами уравнений. Давайте вспомним какие это уравнения?

Предполагаемый ответ: линейные, квадратные, кубические, логарифмические, показательные, иррациональные.

Сегодня мы с вами познакомимся с тригонометрическими уравнениями.

Это не последние уравнения в математике, например, на втором курсе мы начнем решать дифференциальные уравнения.

 3.1 (Слайд № 5: Определение и виды простейших тригонометрических уравнений)

 Давайте запишем определение тригонометрического уравнения.

Тригонометрическим называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции.

Сегодня мы рассмотрим решение простейших из них:

; ; ; , где

 Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящей в него переменной, которая удовлетворяет этому уравнению.

3.2 (Слайд № 6: Частные случаи уравнения . )

При а=1 уравнение  имеет решения , .

При  а=-1 уравнение  имеет решения ,

При а=0 уравнение  имеет решения , .

3.3 (Слайд №7,8,9: Уравнение вида )

 Рассмотрим уравнение вида . 

 Так как , то уравнение   при   и  не имеет решений.

Период синуса равен , поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины . Из рисунка видно что, что на отрезке   синус возрастает и принимает каждое свое значение один раз. Следовательно,  на этом отрезке . На отрезке  синус убывает и принимает каждое свое значение тоже один раз. Чтобы найти решение на этом отрезке, вспомним что . Если , то

, и поэтому решением уравнения  на отрезке  будет .

Для получения всех решений уравнения  к каждому из двух полученных решений прибавим числа вида   где .Следовательно,

  (1)

     . (2)

Обе серии решений можно объединить:

,   (3)

 называют параметром, при к четном получается формула (1), при к нечетном получается формула (2)

3.4 (Слайд№10: Решите  уравнение(закрепление))

3.5(Слайд №11: Частные случаи уравнения  )

При а=1 уравнение  имеет решения , .

При  а= -1 уравнение  имеет решения ,

При а=0 уравнение  имеет решения , .

3.8      (Слайд №12,13,14: уравнение вида: )

Рассмотрим уравнение . При  и  уравнение  не имеет решений, так как .

Так как период косинуса равен , то при  для нахождения всех решений достаточно рассмотреть отрезок длины . Удобнее всего выбрать отрезок . Очевидно, что уравнение  на отрезке  имеет решение , а на отрезке - решение   так как функция косинус четная. Таким образом на отрезке  уравнение  имеет решения

.

Чтобы записать все решения уравнения необходимо, учитывая периодичность косинуса, прибавить к каждому из найденных значений по , где . В итоге получим бесконечное множество решений

, .

3.7 (Слайд №15: Решите уравнение (закрепление))

3.8  (Слайд №16,17: уравнения вида: , : )

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения , достаточно найти все его решения на любом отрезке длины . По определению арктангенса решение уравнения на промежутке  есть .

Для того чтобы получить все решения уравнения нужно к решению, полученному на отрезке длины , прибавить . Следовательно,

,

И решение уравнения 

,

3.9 (Слайд №18: Решите уравнение(закрепление))

3.10(Слайд № 19: Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений)

  Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Общее решение	Частные случаи
,	,	,	,	,
,	,	,	,	,
	,		,	,
	,	,	,	,

Студенты заполняют сводную таблицу по ходу объяснения материала.

3.11 (Слайд №20, 21: Примеры решения уравнений).

4.     Самостоятельное решение уравнений трех уровней.  Ребята, вы сейчас постараетесь решить уравнения по карточкам. Те из вас, кто быстро сможет решить 1-2 уравнение 1 уровня, переходите на следующий. Задания 1 уровня решить всем. Кто не успеет выполнить, будет решать эти уравнения дома.

I уровень            II уровень                                 III уровень

соsх =                соs2х =                                 соs(2х )=

sin х=  -               sin3 х=                               sin (х)­=              

соsх= 0                    соs5х=1                                   2 sin(3х)= 1

tgх=                  + 2соsх=0                          соs(х )= - 1

сtgх= -2

5.     (Слайд№22: Подведение итогов занятия).

Продолжите фразу :

Сегодня на занятии я  повторил …

Сегодня на занятии я  узнал  …

Сегодня на занятии я  научился  …

На следующем занятии мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения и познакомимся с методами их решения.

Активным студентам выставление оценок.

6. (Слайд№23: домашнее задание).

        (2) §33-35, решить примеры.

                              Литература:

·       1.Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч.1/ Под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Наука, 1987 – 464с.

·       Н.В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Заведений / Н.В. Богомолов – М.: Высшая школа, 2003-495с.

·       3. Ш.А. Алимов Алгебра и начала анализа 10 – 11 Москва Просвещение 2016г.

·       А.Г. Мордкович Алгебра и начала анализа 10 – 11 «Мнемозина» 2012г.

·       В.С. Шипачев Задачи по высшей математике «Легион Ростов на Дону» 2015г.