Презентация по математике "Тригонометрические функции и им обратные"

• 1 слайд

  муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининград
  средняя общеобразовательная школа №45
  
  Учебно – методическое пособие по алгебре по теме
  "Тригонометрические функции и им обратные"
  Составил
  учитель математики первой категории
  Гавинская Елена Вячеславовна
  
  
  2015 – 2016 учебный год
  
  sin2x+cos2x=1
  

• 2 слайд

  Тригонометрия – раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольника.
  

• 3 слайд

  
  
  Из истории тригонометрии
  Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.
  

• 4 слайд

  В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии.   Весьма   точно   предсказывали   затмения   еще   древне-вавилонские   ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.
  Из истории тригонометрии
  (продолжение)
  

• 5 слайд

  
  
  
  Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Г и п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии. (Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.)
  Из истории тригонометрии
  (продолжение)
  

• 6 слайд

  
  Из истории тригонометрии
  (продолжение)
  В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир -Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты.
  

• 7 слайд

  Из истории тригонометрии
  (продолжение)
  Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.
  

• 8 слайд

  Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.
  Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.
  (продолжение)
  Из истории тригонометрии
  

• 9 слайд

  В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.
  
  Из истории тригонометрии
  (продолжение)
  

• 10 слайд

  Тригонометрические
  функции.
  

• 11 слайд

  Тригонометрическими функциями называются функции вида:
  y=sin x , y=cos x , y=tg x , y=ctg x .
  y=ctg x
  R
  нечетная
  периодичная
  

• 12 слайд

  Правило.
  Если функция у=f(х) – периодическая с наименьшим
  положительным периодом T, то функция
  у= сf(ах+в) также периодическая с периодом
  
  
  
  где а, в, с –постоянные величины, причем а‡0
  
  

• 13 слайд

  x
  sin x
  Функция y=sin x
  Свойства :
  1) График - синусоида
  2) Промежутки монотонности:
  а) функция возрастает при
  б) функция убывает при
  y=1
  y= -1
  

• 14 слайд

  x
  sin x
  Функция y=sin x
  3) Промежутки знакопостоянства:
  sin x > 0 при
  sin x < 0 при
  в) sin x = 0 при
  4) yнаиб. = 1 при
  yнаим. = -1 при
  y=1
  y= -1
  

• 15 слайд

  Функция y=cos x
  x
  x
  y=1
  y= -1
  Свойства :
  1) График – косинусоида
  2) Промежутки монотонности:
  а) функция возрастает при
  б) функция убывает при
  
  
  

• 16 слайд

  Функция y=cos x
  x
  x
  y=1
  y= -1
  3) Промежутки знакопостоянства:
  а) cos x = 0 при
  б) cos x > 0 при
  в) cos x < 0 при
  4) yнаиб. = 1 при
  yнаим. = -1 при
  

• 17 слайд

  Функция y=tg x
  1) График – тангенсоида
  2) Промежутки монотонности:
  а) функция возрастает при
  б) функция убывает – нет таких промежутков
  3)
  Промежутки знакопостоянства:
  а) tg x = 0 при
  б) tg x > 0 при
  
  в) tg x < 0 при
  

• 18 слайд

  Функция y=ctg x
  1) График – тангенсоида
  2) Промежутки монотонности:
  а) функция возрастает – нет таких промежутков
  б) функция убывает при
  3) Промежутки знакопостоянства:
  а) ctg x = 0 при
  б) ctg x > 0 при
  
  в) ctg x < 0 при
  
  

• 19 слайд

  Обратные
  тригонометрические
  функции.
  

• 20 слайд

  Арксинус.
  Определение :
  Арксинусом числа называется такое число ,
  синус которого равен а, т.е. .
  * Обозначается :
  2)
  Пример :
  Пример :
  

• 21 слайд

  3)
  Д(у)=
  Е(у)=
  у(-х)= arcsin(-x) = - arcsinx = -y (x) – нечетная функция.
  а) у(0) = 0
  б) у(-0,5) =
  в) у(0,5) =
  г) у(-1) =
  д) у(1) =
  5. Монотонно возрастающая.
  Замечание:
  функция у = arcsinx - обратная для функции у = sinx на .
  

• 22 слайд

• 23 слайд

  Арккосинус.
  Определение :
  Арккосинусом числа называется такое число ,
  косинус которого равен а, т.е. .
  * Обозначается :
  Пример :
  2)
  Пример :
  

• 24 слайд

  3)
  Д(у)=
  Е(у)=
  у(-х)= arccos (-x) = П - arccosx
  а) у(0) =
  б) у(-0,5) =
  в) у(0,5) =
  г) у(-1) =
  д) у(1) = 0
  5. Монотонно убывающая.
  Замечание:
  функция у = arccosx - обратная для функции у = cos x на .
  

• 25 слайд

• 26 слайд

  Арктангенс.
  Определение :
  Арктангенсом числа называется такое число ,
  тангенс которого равен а, т.е. .
  * Обозначается :
  Пример :
  2)
  Пример :
  

• 27 слайд

  3)
  Д(у)= R
  Е(у)=
  у(-х)= arctg(-x) = - arctgx = -y (x) – нечетная функция.
  а) у(0) = 0
  б)
  в)
  г) у(-1) =
  д) у(1) =
  5. Монотонно возрастающая.
  Замечание:
  функция у = arctgx - обратная для функции у = tgx на .
  е)
  ж)
  

• 28 слайд

• 29 слайд

  Замечание.