Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Удивительный мир многогранников
Автор работы:
Буханцова Дарья
ученица 10 «А» класса МБОУ Кулешовской СОШ №17 Азовского района
Руководитель: Головань О.Г.
2 слайд
Цель проекта: выявление основных видов многогранников в окружающем мире.
Были поставлены следующие задачи:
ознакомиться с видами многогранников в научной литературе;
обосновать существование основных видов многогранников;
познакомиться с принципами получения многогранников;
рассмотреть вопрос о существовании многогранников в окружающем мире;
показать связь геометрии с другими науками.
3 слайд
Учёные в истории многогранников.
Архиме́д (287 до н.э. — 212 до н.э.)-Существует семейство тел, родственных Платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники, или Архимедовы тела.
Платон (Pláton) (428 или 427 до н. э.)-открыл правильные многогранники.
Кеплер Иоганн (Kepler I, 1571-1630г)-И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга.
Леонардо Эйлер (1707-1783) -Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника.
4 слайд
Согласно мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.
5 слайд
Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником. Примером многогранника является призма, пирамида.
Призма Усечённая пирамида Наклонный
параллелепипед
6 слайд
Многогранником(многогранной поверхностью)называется поверхность составленная
из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону
от плоскости каждой его грани.
Выпуклый
многогранник
Невыпуклый
многогранник
7 слайд
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.
8 слайд
Свойство 1. В выпуклом многограннике
все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид
с общей вершиной, основания
которых образуют поверхность
многогранника
Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани
9 слайд
Число вершин, рёбер и граней правильных многогранников связано друг с другом интересным соотношением.
Сумма числа граней и вершин любого многогранника
равна числу рёбер, увеличенному
на 2.
Г + В = Р + 2
Число граней плюс число вершин минус число рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г + В Р = 2
Формула Эйлера
Леонардо Эйлер (1707-1783)
10 слайд
Формула Эйлера
Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2.
Г + В = Р + 2
Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.
Г + В Р = 2
11 слайд
Названия многогранников
пришли из Древней Греции
в них указывается число граней:
эдра грань
тетра 4
гекса 6
окта 8
икоса 20
додека 12
12 слайд
Свойство правильных многогранников: каждый из них можно вписать в сферу
Все три сферы имеют общий центр, являющийся, к тому же, и центром многогранника.
13 слайд
Существует ли больше правильных многогранников?
Обозначим через p число сторон у грани правильного многогранника. Так как двугранные углы равны, то все пространственные углы в правильном многограннике также равны. Поэтому в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и тоже число граней, которое мы обозначим через q .
Используя правильность граней и равенство двугранных углов, древние греки легко получили, что для правильных многогранников пары целых чисел ( p , q ) могут быть лишь такими (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3). Однако благодаря теореме Эйлера можно получить те же пять пар чисел не только для правильных многоугольников, но и вообще для произвольных выпуклых многогранников, у которых каждая грань имеет одинаковое число p сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число q граней.
14 слайд
Действительно, так как каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а каждая грань имеет ровно p ребер, то p · Г равно удвоенному числу ребер в многограннике: p · Г = 2Р. Поскольку каждое ребро имеет ровно два конца, а в каждой вершине сходится ровно q ребер, то q · В = 2Р. Итак, Г = 2Р/ p и В = 2Р/ q (4)
Подставим отношение (4) в формулу Эйлера:
2P/ q + 2P/ p = P + 2 (5)
Найдем Р из (5):
P = 2 pq /(2 · ( p + q ) - pq ) (6)
Знаменатель дроби в (6) равен 4 - ( p - 2)( q - 2), а так как знаменатель положителен, то ( p - 2)( q - 2)<4. С другой стороны, как число p сторон у грани, так и число q граней, сходящихся в вершине, не меньше 3. Поэтому уравнение (5) при условии p ≥3, q ≥3 имеет пять и только пять целочисленных решений (p , q ): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3).
Отсюда следует, что комбинаторно различных многогранников, у которых все грани одноименные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней, не более пяти.
15 слайд
Правильные многогранники
Тетраэдр -правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками.
16 слайд
Тетраэдр
(от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников.
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объем
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
ребер
Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер.
Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.
17 слайд
Правильные многогранники
Октаэдр – правильный четырёхугольный диэдр с равными рёбрами, ограниченный восемью правильными треугольниками.
18 слайд
Октаэдр
(от греческого okto – восемьи hedra – грань) –правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников.
Октаэдр обладает симметрией. Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер. Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии.
Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости. Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер.
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объем
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
ребер
19 слайд
Икосаэдр- поверхность, ограниченная двадцатью правильными треугольниками.
Правильные многогранники
20 слайд
Икосаэдр
(от греческого ico — шесть и hedra — грань) правильный
выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников.
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объем
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
ребер
Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер.
Плоскостей симметрии также 15.
21 слайд
Куб(гексаэдр)- правильная четырёхугольная призма с равными рёбрами, ограниченная шестью квадратами.
Правильные многогранники
22 слайд
Куб (гексаэдр)
(от греческого hex — шесть и hedra — грань) - правильный многогранник, составленный из 6 квадратов.
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объем
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
ребер
Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии.
Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра ( таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3).
23 слайд
Правильные многогранники
Додекаэдр- поверхность, ограниченная двенадцатью правильными пятиугольниками.
24 слайд
Додекаэдр
(от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) – это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников.
Плоскостей симметрии 9 и проходят они либо через противоположные ребра
(таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3). Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объем
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
ребер
25 слайд
Двойственность многогранников
У правильных многогранников есть ещё одна особенность
Если считать центры граней тетраэдра вершинами нового многогранника, то вновь получим тетраэдр.
26 слайд
Центры граней икосаэдра образуют додекаэдр
27 слайд
Центры граней куба образуют октаэдр.
28 слайд
Центры граней октаэдра образуют куб
29 слайд
Центры граней додекаэдра образуют икосаэдр
30 слайд
В средние века учения о правильных многогранниках возродил в своих трудах
Иоганн Кеплер (1571- 1630) и сделал потрясающее открытие: строение солнечной системы связано с правильными многогранниками. Оказывается, радиусы орбит таких планет ,как Меркурий, Венера, Земля, Марс и Юпитер, связаны с радиусами сфер, вписанных и описанных вокруг правильных многогранников.
31 слайд
Схематично модель Кеплера можно представить следующим образом.
32 слайд
Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
33 слайд
Математические расчёты показали, что совпадение с данными Коперника по радиусам планетных орбит было поразительным, но всё-таки не совсем точным. Однако, эта работа привела к открытию истинных астрономических законов- трёх знаменитых законов Кеплера, на базе которых И.Ньютон построил свою теорию тяготения.
34 слайд
35 слайд
Полуправильные
многоугольники
36 слайд
ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны, и, так называемые, антипризмы с равными ребрами. На рисунке изображены правильная пятиугольная призма и пятиугольная антипризма.
Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, возможно, с разным числом сторон, и все многогранные углы равны, причем один из них в другой можно перевести движением самого многогранника.
37 слайд
ТЕЛА АРХИМЕДА
Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр.
38 слайд
ТЕЛА АРХИМЕДА
Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр. Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.
39 слайд
ТЕЛА АРХИМЕДА
Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр.
40 слайд
ТЕЛА АРХИМЕДА
Поверхность ромбокубооктаэдра состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов.
Поверхность ромбоикосододекаэдра состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов.
41 слайд
ТЕЛА АРХИМЕДА
Последние два многогранника – так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхность которых состоит из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.
42 слайд
Усеченный
тетраэдр
Кубооктаэдр
Ромбоусеченный
кубооктаэдр
Тела Архимеда
Усеченный куб
Икосодекаэдр
Ромбоусеченный
икосододекаэдр
43 слайд
Усеченный
додекаэдр
Ромбокубооктаэдр
Курносый куб
Усеченный
икосаэдр
Ромбоикосасододекаэдр
Кубооктаэдр
Курносый
додекаэдр
44 слайд
Тела
Архимеда
Тело
Ашкинузе
45 слайд
ПРАВИЛЬНЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
46 слайд
Малый звездчатый додекаэдр
Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.
47 слайд
Большой звездчатый додекаэдр
Если в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получится большой звездчатый додекаэдр.
48 слайд
Большой додекаэдр
При продолжении граней додекаэдра возникает 2 возможности. Если в качестве граней рассматривать правильные пятиугольники, то получится большой додекаэдр.
49 слайд
Большой икосаэдр
Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр.
50 слайд
Новое «архимедово тело» -
псевдоромбокубооктаэдр
Получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси –
открыл Миллер в 1930 г. и независимо от него В. Г. Ашкинузе и Л. Есаулова.
51 слайд
Звездчатые кубооктаэдры
Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра.
52 слайд
Звездчатые икосаэдры
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59.
53 слайд
Звездчатые икосододекаэдры
На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19.
54 слайд
Звездчатые многогранники
Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
55 слайд
КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА ПОВАРЕННОЙ СОЛИ. Маленькие шарики – ионы натрия, большие – ионы хлора. Все кристаллы поваренной соли имеют одинаковую кубическую форму.
Куб (гексаэдр)
56 слайд
Форму куба имеют кристаллические решётки многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие)
Куб (гексаэдр)
57 слайд
Тетраэдр
Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты также являются тетраэдрами.
Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра.
Метан горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо.
58 слайд
Тетраэдр
Фосфорноватистая кислота Н3РО2
Молекула имеет форму тетраэдра с атомом фосфора в центре, в вершинах тетраэдра находятся два атома водорода, атом кислорода и гидроксогруппа.
Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р4 . Такая молекула имеет вид тетраэдра.
59 слайд
Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдр
Тетраэдр
60 слайд
Тетраэдр
Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра.
Метан горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо.
Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты также являются тетраэдрами.
61 слайд
Оптимальная конфигурация ядер в молекуле
В молекуле четыре заряда
расположены в вершинах
тетраэдра
В молекуле шесть зарядов
расположены в вершинах
октаэдра
62 слайд
Молекула аммиака представляет
собой правильный тетраэдр
Молекула воды представляет собой правильный тетраэдр
63 слайд
Платины гексафторид (PtF6)-
один из сильнейших окислителей .
Молекула PtF6 - правильный октаэдр.
Молекулярная решетка
в форме октаэдра
64 слайд
Богатства музея из Средней Сибири приросли самородным железом из Хунгтукунской интрузии, кристаллами анальцима до 20 см, октаэдрами пирохлора до 15 см с р.Татарка на Енисейском кряже.
Кристалл пирохлора в форме октаэдра
65 слайд
Кристаллы в форме октаэдра
Квасцы
Шпинель
Флюорит
Алмаз
Перовскит
66 слайд
Кристаллы колчедана
кристаллы бора (B)
Имеют форму додекаэдра
Имеют форму икосаэдра
67 слайд
Кристалическая решетка
хлорида натрия.
Кристалическая решетка
льда
68 слайд
Вирусология
69 слайд
Вирус гепатита В
Вирус AIDS имеет форму икосаэдра
70 слайд
Аденовирусы - семейство ДНК-
содержащих вирусов, вызывающих
у человека и животных аденовирусные
болезни.
71 слайд
Вирусы-бактериофаги
Головка вируса-бактериофага
также имеет форму икосаэдра
72 слайд
Способная вызвать заражение,
вирусная частица вне клетки- вирион.
Вирусная частица
73 слайд
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра
Вирус герпеса имеет форму икосаэдра
74 слайд
Радиолария
75 слайд
Молекула ДНК представляет собой вращающийся куб.
водоросль вольвокс — один из простейших многоклеточных организмов, — представляющая собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками.
76 слайд
Цветочная пыльца
77 слайд
Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель
Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности.
78 слайд
Применения икосаэдров
Титульный лист
книги Ж. Кузена
«Книга о перспективе».
Надгробный памятник
в кафедральном соборе Солсбери.
79 слайд
Меланхолия
Автор картины Альбрехт Дюрер
80 слайд
Додекаэдр встречается в работах художника Я. Барбари.
Портрет Луки Пачоли
81 слайд
«Тайная вечеря» Сальвадора Дали
82 слайд
Сальвадора Дали
В поисках четвёртого измерения
83 слайд
Эта картина Суламифи Вулфинг изображает младенца Христа внутри икосаэдра, что очень уместно, потому что икосаэдр символизирует воду, а Христос был крещён в воде, что символизировало начало нового сознания.
Суламифи Вулфинг «Младенец Христос»
84 слайд
Рафаэль Санти «Обручение Марии»
Рафаэль обладал удивительным даром композиции. Мастерство с которым он соединял элементы композиции в единое целое, острое чувство симметрии, пропорции, золотого сечения, ритма – все эти качества рафаэлевского гения ярко проявились в полотне «Обручение Марии».
85 слайд
Графика
Эшера
86 слайд
В центре данной картины расположен комплекс конструкций поднимающийся на фоне ландшафта с террасами Вертикальная ось создается двумя мощными башнями, каждая из которых увенчана острогранными многогранниками (слева - три пересекающиеся куба, а справа также три пересекающихся правильных октаэдра).
87 слайд
Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика».
88 слайд
Работы современных авторов
89 слайд
Многогранники в архитектуре
90 слайд
ё
Зарайский кремль
(Никольская башня)
Великая пирамида
в Гизе
Александрийский маяк
Храм Преображения
Господня (с.Журавна)
Фаросский маяк
91 слайд
Различные геометрические формы находят свое отражение практически во во всех отраслях знаний: архитектура, искусство.
Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.
92 слайд
Казанская церковь в Москве
Многогранники в архитектуре
93 слайд
В наше время при строительстве домов используют в основном форму куба, прямоугольника, но иногда встречаются и формы пирамиды, даже круга.
94 слайд
Мечеть
Кул-Шариф
Архитектура этой мечети представляет собой сочетание различных многогранников.
95 слайд
Храм знаний в алмазе…
Именно так будет выглядеть новое здание Национальной библиотеки Беларуси.
96 слайд
Эскиз обсерватории. Здание имеет форму многогранника. Тяжелое перекрытие (1) опирается на кирпичную стену (2). Комфортный доступ к инструменту обеспечивает лестница (3). Сооружение стоит на фундаменте (4).
Обсерваториия на дачном участке
С. В. Киселева
Общий вид обсерватории построенной автором
97 слайд
Обман зрения
в Праге
Так в Праге оформили вход на станцию "Малостранска". Кольца соеденины таким образом, что создаётся иллюзия того, что мы видим сферу хотя на самом деле, кольца лежат в одной плоскости.
98 слайд
99 слайд
Современная
архитектура
100 слайд
виде додекаэдров изготавливают “всенаправленные” динамики, как на картинке
101 слайд
Многогранники в нашем доме
102 слайд
Катафо́т (др.-греч. κατα- — «назад; вниз» + φως, fos — «свет») — устройство обеспечения безопасности, широко применяемое в дорожном строительстве и транспорте.
Тетраэдр в технике
103 слайд
Октаэдр в изображениях на полях
104 слайд
Странные предметы
В последнее время на территории различных стран находят весьма странные предметы. Например, на Севере Европы во многих местах были найдены бронзовые полые вещицы, от 4 до 11 сантиметров в диаметре, имеющие форму додекаэдра и икосаэдра.
105 слайд
Игральные кости
106 слайд
Многогранники в ювелирном деле
107 слайд
Уголковый отражатель — устройство в виде прямоугольного тетраэдра со взаимно перпендикулярными отражающими плоскостями.
Прямоугольный тетраэдр используется в оптике.
Отражатели для оптического диапазона, как правило, изготовляются в виде прямоугольного тетраэдра из прозрачного материала (стекло, прозрачные пластики). Лучи света отражаются от граней за счет эффекта полного внутреннего отражения. Весь отражатель состоит из множества тетраэдров.
108 слайд
Решение задачи о заполнении пространства
Кубами можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической решетки и покажите, что ими можно заполнить пространство.
Решение.
Средний куб оставим нетронутым, а в каждом из "окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть пар противолежащих ребер. При этом "окаймляющие" кубы разобьются на шесть равных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр.
Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство. Как следствие получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани додекаэдра.
Задача
109 слайд
Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
Задача
110 слайд
Наоборот :
Обозначим центры граней октаэдра .Каждая грань октаэдра граничит с тремя другими , так что центр каждой грани будет соединен ребрами с тремя соседними .так как расстояние между центрами граней , имеющих общее ребро , одинаковы , то получится фигура , имеющая восемь вершин ; и с каждой вершины выходят по три одинаковых ребра и все грани представляют собой квадраты.
Значит, эта фигура - куб . Что и требовалось доказать .
Задачи
Обозначим центры граней куба C1, C2, C3, C4, C5, C6.
Каждая грань куба граничит с четырьмя другими ,так что каждая из точек С будет соединена с четырьмя другими.
Так как расстояния между центрами граней, имеющих общее ребро, в кубе одинаковы, то получим фигуру, имеющую 6 вершин, в каждой из которых сходится по n ребер, и все грани представляют собой правильные треугольники. Значит эта фигура - октаэдр.
Решение
111 слайд
Задача: Определите количество граней,
вершин и рёбер многогранника, изображённого
на рисунке . Проверьте выполнимость
формулы Эйлера для данного многогранника.
112 слайд
Анкета
Просим вас поставить галочку в нужном квадратике и ответить на вопрос анкеты, проведя соответствие между фигурой и стихией.
Учитель Ученик Родитель
Варианты: огонь, вода, земля, воздух, Вселенная.
113 слайд
Результаты исследования и выводы
114 слайд
Миром красоты и гармонии мы называем многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников – «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников – «Тела Пуансо – Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.
Заключение.
115 слайд
Звезда
116 слайд
Квазиусеченный звездчатый додекаэдр
117 слайд
Квазиусеченный гексаэдр
118 слайд
Битригональный додекаэдр
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 662 882 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Головань Ольга Георгиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.