Презентация по математике "Упрощение тригонометрических выражений" (10 класс)

• 1 слайд

  Тригонометрические формулы.
  10 класс
  Упрощение тригонометрических
  выражений.
  УМК А. Г. Мордковича
  
  

• 2 слайд

  Величие человека –
  в его способности мыслить.
  (Б. Паскаль)
  

• 3 слайд

  Содержание
  1. Формулы тригонометрии:
  Основные тригонометрические тождества (10)
  Формулы сложения (6)
  Формулы двойного угла (8)
  Формулы тройного угла (2)
  Формулы половинного аргумента (7)
  Формулы понижения степени (7)
  Преобразование сумм в произведения (9)
  Преобразование произведений в суммы (3)
  2. Вычислить, упростить, решить уравнение (18)
  

• 4 слайд

  Основные тригонометрические формулы
  1.
  =>
  
  

• 5 слайд

  Основные тригонометрические формулы
  

• 6 слайд

  Формулы сложения
  1. Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny
  2. cos(x + y)= cosx·cosy - sinx·siny
  3. sin(x – y)= sinx·cosy - cosx·siny
  4. cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny
  5.
  
  6.
  
  

• 7 слайд

  Формулы двойного угла
  1. sin2x = 2 sinx·cosx;
  2. cos2x = cos²x - sin²x;
  3. cos2x = 1 – 2sin²x;
  4. cos2x = 2cos²x - 1;
  5.
  
  6.
  

• 8 слайд

  Формулы двойного угла
  7. 1 + sin2x = (cosx + sinx)²
  8. 1 - sin2x = (cosx - sinx)²
  

• 9 слайд

  Формулы тройного угла
  1. sin 3x = 3 sinx – 4 sin³x
  2. cos 3x = 4cos³x - 3cosx
  

• 10 слайд

  Формулы половинного аргумента
  

• 11 слайд

  Формулы половинного аргумента
  

• 12 слайд

  Формулы половинного аргумента
  

• 13 слайд

  Формулы понижения степени
  

• 14 слайд

  Формулы понижения степени
  Sin³α = ¼(3sinα – sin3α)
  Cos³α = ¼(cos3α – 3 cosα)
  Sin⁴α = 1/8 (cos4α – 4cos2α+3)
  cos ⁴α = 1/8 (cos4α + 4cos2α+3)
  
  

• 15 слайд

  Преобразование суммы в произведение
  

• 16 слайд

  Преобразование суммы в произведение
  

• 17 слайд

  Преобразование суммы в произведение
  Cosβ + sinβ = √2·cos(π/4 – β)
  Cosβ - sinβ = √2·sin(π/4 – β)
  
  

• 18 слайд

  Преобразование произведения в сумму
  1) Sinx · siny = ½(cos(x-y) – cos(x+y))
  2) Cosx · cosy = ½(cos(x-y) + cos(x+y))
  3) Sinx · cosy = ½(sin(x-y) + sin(x+y))
  или
  1) 2·Sinx · siny = cos(x-y) – cos(x+y)
  2) 2·Cosx · cosy =cos(x-y) + cos(x+y)
  3) 2·Sinx · cosy = sin(x-y) + sin(x+y)
  

• 19 слайд

  ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ
  

• 20 слайд

  Вычислить
  Sin 75° 2) cos 75°
  Решение.
  1) Sin 75° = Sin (30°+45°)=
  = Sin 30°· cos 45°+ Sin 45°· cos 30°=
  =1/2·√2/2 + √2/2 ·√3/2 = √2/4+ √6/4=
  =(√2+√6)/4
  2) Ответ: (√6 - √2)/4
  Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny
  

• 21 слайд

  Вычислить
  sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sin 4π/15
  Решение.
  Sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sinπ/15=
  =sin(4π/15 + π/15) =
  = sin(π/3)= √3/2
  Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny
  

• 22 слайд

  Вычислить самостоятельно
  cos37° · cos8° - sin37°· sin8°
  Ответ: √2/2
  sin44° · cos14° - cos44°· sin14°
  Ответ: 1/2
  

• 23 слайд

  Вычислить
  tg75°
  Решение.
  tg75°= tg(30°+45°) =….
  = (√3/3+1): (1- √3/3·1) =
  
  

• 24 слайд

  Вычислить самостоятельно
  
  
  
  Решение.
  

• 25 слайд

  Вычислить
  Cos²π/8 - sin²π/8
  Решение.
  Cos²π/8 - sin²π/8 = Cos (2· π/8) =
  = Cos π/4 = …
  Ответ: √2/2
  
  cos2x = cos²x - sin²x
  

• 26 слайд

  Вычислить
  Sin π/12 · cos π/12
  Решение.
  Sin π/12·cos π/12=Sin(2· π/12):2=
  = Sin(π/6):2=(1/2):2=…
  Ответ: 1/4
  sin2x = 2 sinx·cosx
  

• 27 слайд

  Упростить выражение
  Sin 43° + sin 17°
  Решение.
  Sin43°+sin17°=
  
  

• 28 слайд

  Упростить выражение
  Cos π/8 + cos 3π/8
  Решение.
  Cosπ/8+cos3π/8=
  
  

• 29 слайд

  Упростить выражение
  2sinxcosx(cos²x-sin²x)
  Решение.
  2sinxcosx·(cos²x-sin²x)= sin2x·cos2x=
  
  
  

• 30 слайд

  Решить уравнение
  Sin 5x + sin x = 0
  Решение.
  
  2· Sin3х·cos2x = 0 =>
  т.к. 2≠0, то Sin3х=0 или cos2x=0
  (дальше решаете сами)
  
  

• 31 слайд

  Вычислить, не пользуясь таблицами
  а) 2sin37°30´·cos7°30´
  б) sin52°30´·cos7°30´
  в) cos37°30´·cos7°30´
  г) sin52°30´·sin7°30´
  
  

• 32 слайд

  Решение
  а) =sin(37°30´+7°30´)+ sin(37°30´-7°30´)=
  = sin45°+ sin30°=√2/2+1/2=…
  б) =0,5·(sin(52°30´-7°30´)+sin(52°30´+7°30´))=
  = 0,5·(sin(45°)+ sin(60°))= 0,5·(√2/2+√3/2)=…
  в) =0,5·(cos(37°30´-7°30´)+cos(37°30´+7°30´))=
  = 0,5·(cos(30°)+cos(45°))= 0,5·(√3/2+ √2/2)=…
  г) =0,5·(cos(52°30´-7°30´)-cos (52°30´+7°30´))=
  = 0,5·(cos(45°)-cos(60°))= 0,5·(√2/2-1/2))=…
  

• 33 слайд

  Вычислить
  
  Решение.
  (кто желает объяснить)
  
  Ответ: -2
  

• 34 слайд

  Вычислить
  
  Решение.
  
  Ответ: 0,5
  (кто желает объяснить)
  

• 35 слайд

  Могут ли одновременно выполняться равенства?
  Решение.
  Ответ: да
  (кто желает объяснить)
  

• 36 слайд

  Могут ли одновременно выполняться равенства?
  Ответ: нет
  

• 37 слайд

  Могут ли одновременно выполняться равенства?
  Ответ: да
  

• 38 слайд

  Вычислить
  Ответ:
  

• 39 слайд

  Используемые ресурсы
  Учебник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012
  Задачник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012
  
  
  В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, Математика, - М., Высшая школа, 1991
  
  http://cbs-solncevo.ru/wp-content/uploads/2012/05/%D0%9C%D1%83%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0-%D1%83%D1%87%D0%B8%D1%82-%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D1%83%D0%BC%D1%831.jpg