Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Урок одного уравнения
sinx + cosx = 1(*)
2 слайд
История развития человечества доказала уже много раз, что математика – красивейшая наука, без которой не может развиваться ни одна другая. Мы, учащиеся 10 класса, любим математику не только за красоту. По окончании школы мы будем получать профессиональное образование. Молодые специалисты должны быть способными заглядывать вперед, проявлять познавательный интерес, пытливость ума, быть готовыми взять на себя решение самых трудных задач. Учитывая это, мы готовимся к итоговой аттестации в 11 классе. Большое место в курсе «Алгебры и начал математического анализа» занимает раздел «Тригонометрия». Задания из этого раздела обязательно присутствуют в материалах ЕГЭ как в первой части, так и во второй. Задания С1 содержат, как правило, тригонометрические уравнения разного уровня сложности. Существует много методов их решения. Мы заинтересовались этой темой и решили изучить ее более подробно. В данной работе мы предлагаем 7 способов решения одного уравнения.
3 слайд
1 способ. Введение вспомогательного угла, разделим обе части уравнения на √2:
Sinx + cosx = 1 │: √2
1/√2sinx + 1∕√2cosx = 1∕√2 , или
Cos /4 sinx + sin /4 cosx = √2/2,
Sin(x + /4) = √2/2,
X + /4 = (-1)ⁿ arcsin √2/2 + n, n Z, т.е.
X = -/4 + (-1)ⁿ/4 + n, n Z
Ответ: X = -/4 + (-1)ⁿ/4 + n, n Z
4 слайд
2 способ. Введение выражений для sin и cos через tg/2 по формуле:
sin = 2tg/2 , cos=1-tg²/2 (1)
1+tg²/2 1+tg²/2
Обращение к функции tgx/2
предполагает, что cosx/2 ≠ 0,т.е. X ≠ +2n,
Где nz.Итак,но по формулам (1) из исходного уравнения (*) получаем:
2tgx/2 + 1-tg²x/2 = 1
1+tg²x/2 1+tg²x/2
Отсюда: 2tgx/2+1-tg²x/2=1+tg²x/2
2tgx/2-2tg²x/2=0 │:2
tgx/2(1-tgx/2)=0
tgx/2=0 или tgx/2=1
Если tgx/2=0,то x/2=n, nz, и тогда x=2n,nz
Если tgx/2=1,то x/2=/4+n, nz,или x=/2+n, nz.
Ответ:x=2n, x=/2+2n,nz.
5 слайд
3 способ. Сведение к однородному уравнению:
Выразим sinx, cosx и 1 через функции половинного аргумента:
2sinx/2cosx/2+cos²x/2-sin²x/2=sin²x/2+cos²x/2
2sinx/2cosx/2-2sin²x/2=0│:2cos²x/2
Tgx/2-tg²x/2=0, или tgx/2(1-tgx/2)=0
Если tgx/2=0,то x/2=n,nZ
Если tgx/2=1,то x/2=/4+n,nZ
Ответ:x=2n, nZ, x=/2+2n, nZ
6 слайд
4 способ. Преобразование суммы в произведение.
Выразим cosx через sin(/2 – x);
Sinx + sin(/2 – x) = 1,
2sin x +/2 – x · cos x - /2 + x = 1,
2 2
2sin/4cos(x-/4) = 1, или √2cos(x- /4) =1.
Тогда cos(x-/4)=√2/2
и x-/4=±arccos√2/2+2n, nZ,
X= /4 ± /4+2n , nZ.
Ответ: x=2n, nZ, x =/2+2n , nZ
5 способ. Применение формулы
Sinx + cosx = √2sin(x+/4)
√2sin(x+/4) = 1 │:√2
sin(x+/4) = 1/√2
X+/4 = (-1)ⁿarcsin1/√2 + n, nZ.
Ответ: x = -/4 + (-1)ⁿ/4+n, nZ.
7 слайд
6 способ. Возведение в квадрат обеих частей уравнения:
(sinx + cosx)²=1
2sinxcosx + 1 = 1
2sinxcosx = 0 │:2
Sinx = 0, или cosx = 0
Если Sinx = 0, то х = n, nZ.
Если cosx = 0, то х = ±/2 + 2n, nZ.
Этот способ требует отбора решений.
Из серии чисел х = n, решением будет серия х=2n, а серия х=+2n, (nZ) – постороннее решение.
Из серии х=±/2+n, серия /2+2n – решение,
а серия х = -/2 + 2n – постороннее решение.
Ответ: х = 2n, nZ, x = /2 + 2 n, nZ.
8 слайд
7 способ. Замена cosx выражением
±√1-sin²x:
Sinx ± √1-sin²x=1,
±√1-sin²x= 1-sinx,
1-sin²x=(1-sinx)²,
(1-sinx)(1+sinx)-(1-sinx)²=0,
(1-sinx)(1+sinx-1+sinx)=0,
2((1-sinx)sinx)=0,
Sinx=1,или sinx=0.
Если sinx=1,то x=/2+2n,nZ.
Если sinx=0,то x=n, nZ.
Из серии x=n, решением является только x=2n.
Ответ:x=/2+2n,nZ, x=2n,nZ.
9 слайд
Литература.
Мордкович А.Г., Семенов П.В., «Алгебра и начала математического анализа.» профильный уровень 10.Часть 1.Учебник. Мнемозина. Москва 2009г.
Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Часть 2.Задачник.под редакцией А.Г.Мордковича. Мнемозина. Москва 2009г.
Математика в школе. Журнал 1998г-№3
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012г.Учебно-методическое пособие. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко,С.Ю.Кулабухова.Легион-М.2011г
Математика. Математические тесты. Повышенный уровень ЕГЭ-2012г (С1,С3).Учебно-методическое пособие. Легион -М.2011г.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 625 829 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кальницкая Раиса Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.