Презентация по математике "Задачи на принцип Дирихле"

• 1 слайд

  Принцип Дирихле
  

• 2 слайд

  
  
  Пример:
  В классе 34 ученика. Докажите, что среди них обязательно найдутся по крайней мере два ученика, у которых фамилия начинается с одной буквы.
  В русском языке алфавит содержит 33 буквы. Предположим, что нет таких учеников, у которых бы фамилия начиналась с одной буквы. Тогда учеников должно быть не более 33,
  а их 34.
  

• 3 слайд

  
  У математиков встречаются весьма странные "принципы", которыми они никогда не поступаются.
  
  Впрочем, любой здравомыслящий человек, ознакомившись с этими принципами, вынужден их признать. Вот, например, так называемый
  принцип Дирихле.
  Математики очень любят объяснение этого принципа сводить к примеру кроликов (зайцев, голубей) в клетках.
  

• 4 слайд

  Петер Дирихле
  Дирихле Петер Август Лежён
  (1805-1859) — немецкий математик,
  иностранный член – корреспондент
  Петербургской Академии наук (1837),
  член многих других академий.
  Основные заслуги П. Дирихле в
  области математики:
  установил, что в арифметической
  прогрессии с целыми взаимно простыми
  а1 и d содержится бесконечно много
  простых чисел;
  ввёл (вместе с Н. И. Лобачевским) определение функции через
  соответствие и т. д.
  

• 5 слайд

  Принцип Дирихле
  
  
  
  
  
  
  В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов (7:3 =2 (ост 1))
  
  Если в ста (или n) клетках сидит не менее 101
  (или n+1) кроликов, то хотя бы в одной клетке находится более одного кролика.
  Более общая формулировка
  «Если z зайцев сидят в
  k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z : k зайцев»
  

• 6 слайд

  Принцип Дирихле
  
  
  
  
  
  Если в k клетках
  
  сидят z зайцев,
  
  причем z > k, то
  хотя бы в одной клетке
  
  сидят, по крайней мере,
  
  два зайца.
  z
  k
  z > k
  

• 7 слайд

  Принцип Дирихле
  
  
  
  
  
  Если в k клетках
  
  сидят z голубей,
  
  причем z < k, то
  хотя бы одна клетка
  
  останется свободной.
  

• 8 слайд

  Обобщённый Принцип Дирихле
  
  
  
  
  
  Предположим, m зайцев рассажены в n клетках.
  Тогда если m > n, то хотя бы в одной клетке
  содержится не менее m:n зайцев, а так же
  хотя бы в одной другой клетке содержится
  не более m:n зайцев.
  

• 9 слайд

  
  В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся, как минимум,
  2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
  
  
  
  
  
  
  Пусть 15 учеников будут «зайцы».
  Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12.
  Так как 15 > 12, то, по принципу Дирихле, найдется,
  как минимум, одна «клетка», в которой будут сидеть, по крайней мере, 2 «зайца».
  Ответ: найдётся месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.
  
  

• 10 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  В ковре размером 3х3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок.
  Решение:
  Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1х1 метр.
  Так как ковриков - «клеток» - 9, а дырок - «голубей» - 8.
  
  Найдется коврик без дырок внутри.
  

• 11 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  В 3А классе учится 27 школьников, знающих
  всего 109 стихотворений. Докажите, что найдется
  школьник, знающий не менее 5 стихотворений.
  Решение:
  Предположим, что каждый школьник знает не более 4
  стихотворений. Значит, 27 школьников знают не более
  4•27=108(стихотворений)
  
  Ответ: Значит найдется школьник, знающий не менее 5 стихотворений.
  

• 12 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  В городе 15 школ. В них обучается 6015
  школьников. В концертном зале городского Дворца
  культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа,
  ученики которой не поместятся в этот зал.
  Решение:
  Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников.
  Значит во всех школах 15 • 400= 6000(школьников).
  
  Ответ: Поэтому ученики этой школы не поместятся в зал на 400 мест.
  

• 13 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  В школе 5 восьмых классов: 8А, …, 8Д. В каждом
  из них учится по 32 человека. Докажите, что найдутся
  14 человек, родившихся в один месяц.
  Решение:
  Предположим, что в каждом месяце родилось не более 13
  учеников. Значит за 12 месяцев родилось 12•13=156(школьников).
  Но по условию в школе обучается 5•32=160(человек).
  
  Ответ: Значит, найдется месяц, в котором родилось больше, чем
  13 учеников, то есть хотя бы 14.
  

• 14 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  Внутри равностороннего треугольника со
  стороной 1см расположено 5 точек. Докажите,
  что расстояние между некоторыми двумя из
  них меньше 0,5см.
  Решение:
  Можно получить 4 «клетки», разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середину сторон. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см, которые и будут у нас «клетками».
  
  

• 15 слайд

  
  
  2
  1
  4
  3
  Треугольники – «клетки»,
  5 точек – 5 «зайцев».
  
  5>4, по принципу Дирихле,
  найдется равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее двух точек.
  
  
  
  

• 16 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  Выводы:
  Таким образом, применяя данный метод, надо:
  Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев».
  Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более).
  Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.
  
  Принцип Дирихле важен, интересен, полезен. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление.
  Многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.
  

• 17 слайд

  Задача№1
  
  В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.
  
  Задача №2:
  В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
  
  Задача №3:
  В классе 25 человек. В диктанте Петя Иванов сделал 11 ошибок, а остальные ребята – меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну, может быть, по 0 ошибок.
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 18 слайд

  
  Задача №4:
  В ящике комода хранятся красные, желтые и синие носки. Какое наименьшее число носков надо взять наугад, чтобы среди них обязательно оказались четыре носка одного цвета?
  
  Задача № 5:
  Три поросенка, Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф, хранят в жестяной коробочке красные (малиновые), желтые (лимонные) и зеленые (мятные) леденцы. Какое наименьшее число леденцов надо взять наугад из коробки, чтобы каждому поросенку обязательно достались три леденца одного цвета?
  
  
  
  
  
  

• 19 слайд

  
  Задача №6:
  Знакомства. Будем считать, что знакомство – «Симметричное» отношение между людьми: если Петя знаком с Ваней, то и Ваня знаком с Петей. Выберем любым способом 7 человек. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных.
  
  Задача №7:
  Делимость: Докажите, что из любых трех натуральных чисел можно выбрать два, разность которых четна.
  
  Задача №8:
  Докажите, что из любых четырех натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на три.
  
  
  
  
  
  
  

• 20 слайд

  
  Задача №9:
  Геометрия. Несколько дуг окружности покрашены в черный цвет. Сумма длин покрашенных дуг меньше половины длины окружности. Докажите, что существует диаметр, оба конца которого не окрашены.