Презентация по математике"паркет из многоугольников"

• 1 слайд

  
  «Паркет из многоугольников»
  

• 2 слайд

  Что такое паркет?
  В математике паркетом называют заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства.
  Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат.
  Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.
  

• 3 слайд

  Виды паркетов
  Из неправильных многоугольников;
  Из фигур, полученных комбинацией квадратов;
  Из фигур, полученных комбинацией половинок и четвертинок окружности.
  Из правильных многоугольников;
  
  
  

• 4 слайд

  Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны
  Паркеты из правильных
  многоугольников.
  

• 5 слайд

  Правильные многоугольники в природе
  Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?
  Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
  Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.
  И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».
  

• 6 слайд

  Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет?
  Углы правильного n-угольника равны 180⁰∙(n-2): n,
  где n- число сторон многоугольника. С помощью паркета мы можем замостить плоскость. Если в одной точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:
  m ∙ 180⁰ ∙ (n-2) : n=360⁰
  После преобразования получаем: m = 2 ∙ n : (n-2).
  Для пятиугольника m получается дробным числом, значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
  
  Паркеты из правильных многоугольников:
  

• 7 слайд

  Если при составлении паркета использовать несколько правильных многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.
  

• 8 слайд

  Паркеты из неправильных
  многоугольников
  Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.
  Легко покрыть плоскость параллелограммами
  

• 9 слайд

  Для заполнения плоскости неправильными четырехугольниками, возьмем произвольный четырехугольник ABCD и построим симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник. Исходный обозначим цифрой I, а симметричный - цифрой II. Теперь четырехугольник II отразим симметрич­но относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой III и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой IV. Четырехугольники I,II,III,IV примыкают к общей вершине углами A,B,C,D. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины .
  Паркеты из неправильных многоугольников
  

• 10 слайд

  На рисунке приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами 90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника.
  Паркеты из неправильных
  многоугольников
  

• 11 слайд

  Паркеты из фигур, полученных
  комбинацией квадратов
  

• 12 слайд

  Паркеты из элементов окружности
  1.
  2.
  3.
  4.
  5.
  Паркет можно построить, начав с квадрата.
  
  

• 13 слайд

  Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками, в этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами.
  Появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.
  Рассмотрим некоторые из возможных способов построения нового паркета.
  Способы построения паркетов
  

• 14 слайд

  Способ первый
  Берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, квадратов, шестиугольников, или из произвольных многоугольников, и выполняем всевозможные преобразования: сжатие, растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков...
  Пример: паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.
  

• 15 слайд

  Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов.
  Способ второй
  Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти треугольников
  Паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки
  

• 16 слайд

  Берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета.
  Способ третий
  1.
  2.
  3.
  4.
  5.
  

• 17 слайд

  Способ четвёртый
  Выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. Получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета).
  Вот паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников:
  

• 18 слайд

  Паркеты Эшера
  Можно воспользоваться способом построения паркетов, дающим рисунки, подобные "лебедям" М. Эшера. Нужно начать с простой фигуры, например, с шестиугольника, вырезать кусочек с одной стороны и затем добавить его с другой. Повторить эту операцию несколько раз. Чуть-чуть воображения - и наша фигура превратится в профиль злой волшебницы Бастинды!
  Обратимся к частным примерам из графического наследия голландского художника Мориса Корнелиуса Эшера (1898-1972).
  Этот художник общепризнанно считается первооткрывателем многих типов цветной симметрии. Он оставил после себя большое творческое наследие – более 450 гравюр, а также учебное пособие «Правильное деление на плоскости» с иллюстрациями - орнаментальными композициями.
  

• 19 слайд

  Гравюра Эшера «Правильное деление на плоскости III». На ней изображены всадники.
  Мотив «всадник» построен на основе правильного треугольника.
  

• 20 слайд

  Вариантов построения паркетов на основе правильных многоугольников – огромное множество!
  Все зависит от фантазии.
  Орнамент из мотивов, образуемых одной кривой, но построенный на треугольной сетке с осями симметрии 3-го порядка.
  Орнамент, построенный на основе правильного шестиугольника и вписанных в него правильных треугольников.
  

• 21 слайд

  Заключение
  По результатам работы можно сделать следующие выводы:
  - паркеты из правильных многоугольников можно сделать только с помощью правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников.
  с помощью неправильных многоугольников можно придумать огромное количество паркетов.
  - на основе системы правильных многоугольников можно нарисовать огромное количество «художественных» орнаментов.
  В основе создания паркета лежит деление плоскости на многоугольники.