• 

  1 слайд

  Горюшко А.А.
  Чётные и нечётные функции
  10 июня 2022 г.
  

• 

  2 слайд

  Функция y=f (x) называется чётной, если
  для любого х Є D (f) верно равенство: f (-x) = f (x).
  Функция y=f (x) называется нечётной, если
  для любого х Є D (f) верно равенство: f (-x) = - f (x).
  Выяснить является ли функция чётной или нечётной:
  y (х) = 5 x²- |X|
  Решение: D (y) = R
  y (- x)=
  =5 (- x)² - |- x| =
  = 5 x² - |x|=
  = y (x)
  Значит, функция - чётная
  у(х) = 7x +x³
  Решение: D (y) = R
  y (- x)=
  = 7(- x) +(- x)³=
  = - 7 x - x³ =
  = - (7x +x³)
  = - y (x)
  Значит, функция - нечётная
  Определение
  

• 

  3 слайд

  Функция f (x) – чётная,
  f ( 3 ) = 25 , тогда f ( -3 ) = ?
  f ( -8 ) = -71, тогда f ( 8 ) = ?
  Функция g ( x ) – нечётная,
  g ( 7 ) = 43, тогда g ( -7 ) = ?
  g ( - 2 ) = -64, тогда g ( 2 ) = ?
  25
  -71
  - 43
  64
  

• 

  4 слайд

  Существуют функции, которые не обладают
  свойствами чётности или нечётности.
  у (х) = х2 + 5х
  у ( - х ) = ( - х)2 +5 (- х) = х2 – 5 х
  у ( - х ) у (х )
  у ( - х ) - у (х )
  Значит, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.
  D (y) = R
  

• 

  5 слайд

  Свойство графиков
  График чётной функции симметричен
  относительно оси ординат.
  График нечётной функции симметричен
  относительно начала координат.
  

• 

  6 слайд

  y = x²-1
  y = |x|
  y = x³
  y =
  Чётные функции
  Нечётные функции
  Симметрия относительно оси Оy
  Симметрия относительно
  начала координат
  х
  х
  х
  х
  у
  у
  у
  у
  0
  0
  0
  0
  

• 

  7 слайд

  Может ли быть четной или нечетной функция,
  областью определения которой является:
  а) промежуток [ -2; 5 ]
  б) промежуток ( -5; 5 )
  в) промежуток ( -3; 3 ]
  г) объединение промежутков
  [ -10; -2] и [ 2; 10 ]
  нет
  да
  нет
  да
  

• 

  8 слайд

  Укажите графики чётных и нечётных функций
  

• 

  9 слайд

  Укажите график чётной функции
  

• 

  10 слайд

  Укажите график нечётной функции
  

• 

  11 слайд

  Укажите график функции, которая
  не является чётной или нечётной
  

• 

  12 слайд

  Ломаная АВС, где А ( 5; 1 ), В ( 3; 5 ), С ( 0; 0 ) –
  часть графика некоторой функции f ( x ).
  Область определения этой функции – промежуток [ -5; 5 ].
  Постройте ее график, зная, что:
  
  f ( x ) – четная .
  
  б) f ( x ) – нечетная.
  

• 

  13 слайд

  y = 2 x + 1
  Существуют функции, которые не обладают свойствами чётности или нечётности.
  График в этом случае не обладает свойством симметрии
  х
  у
  0
  

• 

  14 слайд

  𝐷 𝑓
  =ℝ
  𝑓 −𝑥 =
  3∙ −𝑥 2 + −𝑥 4
  =3 𝑥 2 + 𝑥 4
  =𝑓 𝑥
  𝑓 −𝑥 =
  (−𝑥) 5 sin −𝑥 2
  =− 𝑥 5 ∙ − sin 𝑥 2
  = 𝑥 5 sin 𝑥 2
  =𝑓 𝑥
  𝑓 −𝑥 =
  (−𝑥) 3 sin (−𝑥) 2
  =− 𝑥 3 sin 𝑥 2
  =−𝑓 𝑥
  𝑓 −𝑥 =
  −𝑥 2 2∙ −𝑥 − −𝑥 3
  = 𝑥 2 −2𝑥+ 𝑥 3
  =− 𝑥 2 2𝑥− 𝑥 3
  =−𝑓 𝑥
  𝐷 𝑓
  =ℝ
  =ℝ
  =ℝ
  𝐷 𝑓
  𝐷 𝑓
  а) 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 + 𝑥 4 ;
  б) 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 sin 𝑥 2 ;
  а) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 sin 𝑥 2 ;
  б) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 2𝑥− 𝑥 3 ;
  − симметрична относительно 0
  − симметрична относительно 0
  − симметрична относительно 0
  − симметрична относительно 0
  

• 

  15 слайд

  𝐷 𝑦 :
  𝑥≠𝜋𝑛 𝑛∈ℤ
  − симметрична относительно 0.
  𝑦 −𝑥 =
  sin −𝑥 +ctg −𝑥 − −𝑥 =
  − sin 𝑥 −ctg 𝑥+𝑥=
  =− sin 𝑥 +ctg 𝑥−𝑥
  =−𝑦(𝑥)
  𝑦 𝑥 −нечётная функция.
  𝐷 𝑦 :
  𝑥≠ 𝜋 2 𝑛 𝑛∈ℤ
  − симметрична относительно 0.
  𝑦 −𝑥 =
  −𝑥 sin (−𝑥) cos (−𝑥)
  = 𝑥 − sin 𝑥 cos 𝑥
  =− 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥
  =−𝑦(𝑥)
  𝑦 𝑥 −нечётная функция.
  ctg
  sin
  cos
  X
  X
  X
  а) 𝑦= sin 𝑥 +ctg 𝑥−𝑥;
  б) 𝑦= 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥
  

• 

  16 слайд

  𝐷 𝑓 :
  𝑥≠0−симметрична относительно 0
  𝑓 −𝑥 =
  cos −5𝑥 +1 −𝑥
  = cos 5𝑥+1 𝑥
  =𝑓 𝑥 ;
  𝐷 𝑓 :
  𝑥≠±1−симметрична относительно 0
  𝑓 −𝑥 =
  sin 2 (−𝑥) (−𝑥) 2 −1
  = sin 2 𝑥 𝑥 2 −1
  =𝑓(𝑥)
  а) 𝑓 𝑥 = cos 5𝑥 +1 𝑥 ;
  б) 𝑓 𝑥 = sin 2 𝑥 𝑥 2 −1 ;
  

• 

  17 слайд

  𝐷 𝑓 :
  𝑥≠0
  𝑓 −𝑥 =
  (−𝑥) 4 +1 2∙ (−𝑥) 3
  = 𝑥 4 +1 −2 𝑥 3
  =− 𝑥 4 +1 2 𝑥 3
  =−𝑓(𝑥)
  𝐷 𝑓 :
  𝑥≠0 𝑥≠±5
  𝑓 −𝑥 =
  cos (−𝑥) 3 −𝑥(25− −𝑥 2 )
  = cos(− 𝑥 3 ) −𝑥(25− 𝑥 2 )
  =− cos 𝑥 3 𝑥 25− 𝑥 2
  =−𝑓(𝑥)
  а) 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 +1 2 𝑥 3 ;
  б) 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 3 𝑥(25− 𝑥 2 ) ;
  − симметрична относительно 0
  −симметрична относительно 0
  

• 

  18 слайд

  𝐷 𝑦 :
  𝑥≠1
  𝐷 𝑦 :
  𝑥− sin 𝑥 ≠0
  ⇔𝑥≠ sin 𝑥
  𝑦 −𝑥 =
  −𝑥+ sin (−𝑥) −𝑥− sin (−𝑥)
  = −𝑥− sin 𝑥 −𝑥+ sin 𝑥
  = 𝑥+ sin 𝑥 𝑥− sin 𝑥
  =𝑦(𝑥)
  𝑦 𝑥 −чётная функция.
  а) 𝑦= sin 𝑥 𝑥 3 −1 ;
  б) 𝑦= 𝑥+ sin 𝑥 𝑥− sin 𝑥 ;
  − несимметрична относительно 0
  𝑦 𝑥 −функция общего вида
  − симметрична относительно 0
  𝐷 𝑦 :
  𝑥≠0
  

Краткое описание материала