Презентация по теме "Интеграл и его применение"

Интеграл
и его применение
Викторина
https://learningapps.org/display?v=phqwogvbc17

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство:

Определите, является ли функция
F(x) = 5x4 + 12x первообразной для функции f(x) = 12 + 20x3 ?
Решение:
Проверим, выполняется ли свойство

Fʹ(x) = (5x4 + 12x)ʹ = 5(x4)ʹ + 12(x)ʹ =
= 5 ∙ 4x3 + 12∙ 1= 20x3 + 12
Получили, что Fʹ(x) = f(x), значит
F(x) – первообразная для f(x)

Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) определенных на некотором промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается:

Найдем неопределенный интеграл:

Формула Ньютона-Лейбница
для вычисления определенного интеграла:

Найдем определенный интеграл:

Физический смысл
определенного интеграла

Путь пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу
от скорости v(t)

Дано уравнение скорости движения тела:
(м/с).
Найдите путь, пройденный телом за 2 с
от начала движения.
Решение:




Ответ: пройденный путь равен 16 м

Работа переменной силы 𝑭 , величина которой есть непрерывная функция f(x), действующей на отрезке
[a; b] равна определенному интегралу
от величины f(x) силы,
взятому по отрезку [a; b].

Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы
растянуть пружину на 5 см?
Решение:


По закону Гука сила F, растягивающая пружину
на величину х, вычисляется по формуле F = kx,
где k –коэффициент пропорциональности.
Из условия задачи следует, что 3 = k  0,05.
Следовательно, k = 60 и F = 60x.
𝐴= 0 0,05 60𝑥𝑑𝑥= 30𝑥 2 0,05 0 =0,075
Ответ: необходимо произвести работу в 0,075 Дж.

Масса неоднородного стержня
на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности ρ(х):

Найдите массу неоднородного стержня, если:


Решение:




Ответ: масса стержня 8/36

Геометрический смысл
определенного интеграла

Вычисление площади криволинейной трапеции

Вычислим площадь фигуры, изображенной на рисунке

Решение:
Ответ: площадь фигуры
составляет 6 ед2

Спасибо за внимание!