Презентация по теме: «Комплексные числа» 10 класс.

1.История развития числа.

Докладчик: А вы знаете, что нас с вами в древние времена скорей всего считали колдунами?  В древние времена человек, который умел считать, казался колдуном. Не все грамотные люди владели подобным «колдовством». Считать умели, в основном, писцы, а еще, конечно, купцы.

Появляются купцы.
Купцы. Сложение, самое простое арифметическое действие, освоить при определенном воображении можно. Надо было только представить  одинаковые палочки, камешки, ракушки.

 А дальше – просто. Знай себе, прибавляй к палочке палочку и считай общее количество.

Докладчик: Приблизительно так и нас обучали счету в первом классе. В пятом классе УЗНАЛИ название этих чисел. Как они называются и обозначаются? (Натуральные «N» - natural, Слайд №1) Какие операции допустимы на множестве натуральных чисел? (сложение, умножение)
А вот с вычитанием уже начинались проблемы. Не всегда получалось вычесть из одного числа другое. Иногда отнимаешь, отнимаешь, глядь – ничего уже не осталось. Нечего больше отнимать! Так что вычитание считалось действием мудреным и не всегда его произвести удавалось.
Но тут пришли на помощь купцы.

Купцы: «Можно было бы начать вычитать белые палочки, а потом, когда ничего не останется, начать выкладывать черные палочки, как бы про запас.»

«Две черные палочки – это, предположим, две овцы, которые ты должен отдать, но пока еще не отдал. Это долг!»

Докладчик: В общем, человечеству же на толкование отрицательных чисел, а вместе с этим на определение понятия целых чисел  Z-«zero»  понадобилось тысячу с лишним лет. Зато стали допустимы операции…( сложение, вычитание и умножение).

Вообще, проблемы, подобные вышеописанным с отрицательными числами, возникали со всеми «обратными» арифметическими действиями. Два целых числа можно было перемножить, и в результате получалось целое число. А вот результат от деления двух целых чисел целым числом оказывался не всегда. Это тоже приводило к недоумениям.

Купцы: сцена деления шоколада. Вот смотри, мы сладость какую заработали. Давай делить!!!

А как?  она одна, а нас двое , а еще и гости… Придумал-дроби ее на части…

Докладчик: То есть, для того, чтобы результат деления существовал всегда, пришлось ввести, освоить и понять, так сказать, «физический смысл» дробных чисел. Так вошли в дело рациональные числа  - Q-«quotient» - «отношение».

В системе рациональных чисел  стали допустимы многие операции. Но, что не всегда получалось? (извлечение корней из неотрицательных чисел была допустима частично. Например «корень из 81» и «корень из 2».)

Эта необходимость привела к введению множества действительных чисел (R – real), для которого и извлечение корней из неотрицательных чисел было допустимой алгебраической операцией.  И все же оставался один недостаток – это…?  (извлечение корня из отрицательных чисел.)
            

  2. Новый материал.

В 18-м веке математики придумали специальные числа для того, чтобы получалось еще одно «обратное» действие, извлечение квадратного корня из отрицательных чисел. Это – так называемые «комплексные» числа (C-complex). Представить их сложно, но привыкнуть к ним – возможно.  Считается, что на множестве комплексных чисел допустимы все алгебраические операции. И польза от применения комплексных чисел большая. Существование этих «странных» чисел значительно облегчило расчет сложных электротехнических цепей переменного тока, а также позволило рассчитать профиль авиационного крыла. Познакомимся с ними поближе.

Перечислим минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:

·         С1:  Существует комплексное число, квадрат которого равен -1

• С2 Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.
• С3 Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий(сочетательному, переместительному, распределительному)

Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается i – imaginary – мнимый, воображаемый.. Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке. Таким образом:

i² =-1, i-мнимая единица

Определение 1:

Числа вида bi, где i – мнимая единица, называются чисто мнимыми.

Например  2i, -3i, 0,5i

Определение 2:

Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

Комплексное число  записывают как  z = a + bi.

Число a  называется действительной частью числа z,

число bi– мнимой частью числа  z.

Их обозначают  соответственно:  a = Re z, b = Im z.

Арифметические действия:

Сравнение

 a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой   тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части)

      Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

     Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

      Умножение

(a + bi) × (c + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac − bd) + (bc + ad)i

        Деление

3. Практика.

Учебник Мордкович А.Г. Профильный уровень. 11 класс. Рассмотрим простейшие примеры работы на множестве комплексных чисел.

Рассмотреть пример № 1,2 – два способа. (стр.245).

Работа с учебником. №32.7, 32,10, 32,12

4.Тест (Приложение)

Д/З №32.5, 32,8, 32,11 а,б

• 1 слайд

  Комплексные числа
  Григорян Евгения Михайловна.
  

• 2 слайд

  История развития понятия числа
  Q
  Z
  N
  R
  C
  Натуральные
  числа,
  N – «natural»
  Сложение, умножение
  
  Вычитание, деление, извлечение корней
  
  Целые числа,
  Z-«zero»
  
  Сложение, вычитание, умножение
  
  Деление, извлечение корней
  
  Рациональные числа,
  Q-«quotient» - «отношение»
  
  Сложение, вычитание, умножение, деление
  Извлечение корней из неотрицательных чисел
  
  Действительные числа,
  R – «real»
  Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел
  
  Извлечение корней из отрицательных чисел
  
  Комплексные числа,
  C- «complex»
  Все операции
  
  Числовая система
  
  
  Допустимые алгебраические операции
  
  
  Частично допустимые алгебраические операции
  
  
  

• 3 слайд

  История развития понятия числа
  

• 4 слайд

  Область применения комплексного числа.
  

• 5 слайд

  Понятие комплексного числа
  Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:
  C1) Существует комплексное число, квадрат которого равен (−1).
  
  С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.
  
  С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному).
  

• 6 слайд

  Понятие комплексного числа
  Определение 2:
  Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.
  Комплексное число записывают как z = a + bi.
  Число a называется действительной частью числа z,
  число bi– мнимой частью числа z.
  Их обозначают соответственно: a = Re z, b = Im z.
  Определение 1:
  Числа вида bi, где i – мнимая единица, называются чисто мнимыми.
  
  Например 2i, -3i, 0,5i
  i2 = −1
  
  i – мнимая единица.
  

Вариант 1

№п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Число является комплексным.
2	Число а, такое что а2 = – 2 является действительным.
3	Число а, такое что а4 = 1 является действительным.
4	0 – комплексное число.
5	Число 3i является чисто мнимым.
6	Действительная и мнимая части комплексного числа 3 – 2i соответственно равны 3 и 2.
7	Действительная и мнимая части сопряженных чисел отличаются только знаками.
8	Сопряженным для действительного числа является само это число.
9	Если, то действительная часть числа z равна 0.

Вариант 2

№п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Число 5 является комплексным.
2	Число а, такое что а2 = 4 является действительным.
3	Число а, такое что а8 = 1 является действительным.
4	0 – мнимое число.
5	Если а + bi является действительным, то b = 0
6	Действительная и мнимая части комплексного числа – 3 + 2i соответственно равны – 3 и 2.
7	Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками.
8	Если, то мнимая часть числа z равна 0.
9	.

Самостоятельная работа №1

Цель: проверить умение применять правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, определения равенства комплексных чисел, записанных в алгебраической форме .

№ п/п	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1	Даны числа: . Найдите: a)  b)  c)  d)  e)	Даны числа: . Найдите: a)  b)  c)  d)  e)	Даны числа: . Найдите: a)  b)  c)  d)  e)
2	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .
3	Запишите z в алгебраической форме:	Запишите z в алгебраической форме:	Запишите z в алгебраической форме:

Краткое описание документа:

Этот урок проводится в 10 классе физико-математического профиля (учебник Мордкович А.Г. профильный уровень). Презентация объяснит учащимся назначение и смысл термина «комплексные числа».

Цель урока – рассказать, что такое комплексные числа и числовые множества, объяснить, для чего они нужны, научиться решать примеры с ними, отработать полученные знания на практике. Учащиеся решают несложные устные примеры и отвечают на вопросы, касающиеся комплексных чисел. Особенность этого урока в том, что теорию классу даёт не учитель, а его товарищи, благодаря чему материал будет лучше воспринят и усвоен.