Презентация по теме "Метод математической индукции"

• 1 слайд

  Метод математической индукции
  Подготовила Сухарева Е.А.
  

• 2 слайд

  Индуктивные рассуждения – те, в которых осуществляется переход от частных заключений к общим.
  Полная индукция – метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основании разбора всех частных случаев. Он целесообразен для не слишком большого их числа.
  Неполная индукция – метод рассуждений, при котором общий вывод делается на основе рассмотрения примеров, не охватывающих всех возможных случаев. Это приводит к гипотезам, которые следует проверять.
  КАК МЫ РАССУЖДАЕМ?
  

• 3 слайд

  Ошибки в индуктивных рассуждениях
    Знаменитый немецкий математик 17 века, один из создателей так называемой «высшей математики», Г.В. Лейбниц доказал, что при всяком натуральном n число n3-n делится на 3, число n5-n делится на 5, число n7-n делится на 7. На основании этого он предположил , что при всяком нечётном k и любом натуральном n число nk-n делится на k, но скоро сам заметил, что 29-2=510 не делится на 9.
  Г.В.Лейбниц
  

• 4 слайд

  Причины ошибочных выводов
  Недостаток«доказательств» подобного рода состоит не в том, что рассмотрено «мало» частных случаев, а в отсутствии «взгляда в будущее», в неизвестности, что произойдет на следующем шаге.
  Этот «взгляд в будущее» и предусматривается методом математической индукции.
  

• 5 слайд

  Историческая справка
  Способ доказательства, который
  теперь носит название метода
  математической индукции,
  предложили Б.Паскаль и Я.Бернулли.
  
  Термин «математическая индукция»
  первым ввел А.де Морган.
  
  Блез
  Паскаль
  

• 6 слайд

  Метод математической индукции
  Основа – принцип математической индукции, который принимается как аксиома. Утверждение Р(n), зависящее от натурального числа n, справедливо при любом натуральном n, если:
  1) Р(n) справедливо при n=1;
  2) для всякого натурального к из справедливости Р(к) следует справедливость Р(к+1).
  Широко применяется для решения алгебраических, арифметических и геометрических задач.
  

• 7 слайд

  Делимость
  
  
  Доказать, что при любом n А(n)=7n-1 делится на 6 без остатка.
  Решение: 1) Пусть n=1, тогда А(1)=7-1=6 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение А(n) верно.
  2) Предположим, что при n=k
  А(к)=7к-1 делится на 6 без остатка.
  3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1.
  А(k+1)=7к+1-1=7( 7к - 1)+6.
  Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7к-1 делится на 6 по предположению, а вторым слагаемым является 6. Значит 7n-1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу принципа математической индукции утверждение доказано.
  

• 8 слайд

  Пусть m– некоторое натуральное число. Утверждение P(n), где n-натуральное число, верно для всех натуральных значений n≥m, если выполняются два условия: 1)утверждение Р(n) справедливо при n=m;
  2) для всякого натурального к≥m из справедливости Р(к) следует справедливость
  Р(к+1).
   
  Модификация
  

• 9 слайд

  Использование в геометрии
  Доказать, что сумма внутренних углов
  выпуклого n-угольника равна
  180˚(n – 2).
  Решение.
  Пусть S (n) – сумма внутренних углов n-угольника.
  При n=3 S(3)=180˚, т.е. (*) верно.
  Предположим, что (*) верно при n=к. т.е. S(k)=180˚(k-2).
  Докажем, что (*) верно при n=к+1.
  Для доказательства достаточно в (к+1)-угольнике провести диагональ А1Ак. Тогда
  S(k+1) = S(k) + S(3) = 180˚(k-2) + 180˚ = 180˚((k+1) – 2), т.е.
  утверждение (*) верно.
  Значит, по принципу математической индукции утверждение
  (*) верно для любых выпуклых многоугольников.
  В  
  А1
  А2
  Ак
  Ак+1
  

• 10 слайд

  Литература
  О том, как принцип математической индукции применяется для доказательства тождеств и неравенств, можно прочитать в книге Н.Я.Виленкина «Индукция. Комбинаторика».НО…
  

• 11 слайд

  « Книга – книгой, а мозгами двигай!»
  В. Маяковский
  

Краткое описание документа:

Данная презентация предназначена для использования на уроках в 9-10 классах с углубленным изучением математики или на дополнительных занятиях (например, на кружке) со школьниками, проявляющими интерес к предмету, для подготовки к участию в олимпиадах.

Презентация содержит 11 слайдов, на которых изложена суть принципа математической индукции, а также проиллюстрировано применение метода математической индукции как метода доказательства различных утверждений (предложено решение примера на доказательство делимости чисел и доказательство теоремы о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника).