Презентация по теме "Методы решения задач по математике" (10 - 11 классы)

• 1 слайд

  Методы решения геометрических задач на ЕГЭ
  по математике
  

• 2 слайд

  Трудности решения геометрических задач обусловлены как объективными, так и субъективными факторами, среди которых
  Неалгоритмичность задач
  Необходимость выбора метода решения задачи и теоремы для решения конкретной задачи (нескольких теорем) из большого набора известных фактов
  Нужно решить довольно много задач (чтобы научиться их решать) за небольшое время
  
  
  

• 3 слайд

  Необходимые условия успеха
  при решении задач по геометрии
  Уверенное владение основными понятиями и их свойствами (аксиомы, определения, теоремы)
  Знание основных методов и приемов решения задач;
  Умение комбинировать методы и приемы решения задач;
  Наличие опыта решения задач.
  

• 4 слайд

  Метод дополнительных построений
  Разновидности:
  Продолжение отрезка (отрезков) на определенное расстояние или до пересечения с заданной прямой (прямыми).
  Проведение прямой через две заданные точки.
  Проведение через заданную точку прямой, параллельной данной прямой, или перпендикулярной данной прямой.
  
  
  

• 5 слайд

  Задача 1
  В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами AB=12, BC=5, SA= SB= , SD= .
  а) Докажите, что SA – высота пирамиды;
  б) Найдите угол между SC и BD.
  

• 6 слайд

  Решение.
  а)
  Т.к.
  и
  , то
  

• 7 слайд

  На прямой AD отложим отрезок DE=AD. Тогда BCED-параллелограмм.
  б) Угол между BD и SC?
  Т.к. BD || CE, то угол между BD и SC равен углу между СE и SC.
  

• 8 слайд

• 9 слайд

  α
  α
  cosα=
  α=arccos
  

• 10 слайд

  Метод подобия
  

• 11 слайд

  Задача 2
  На ребрах AA1, СС1, С1D1 прямоугольного
  параллелепипеда ABCDA1B1С1 D1 расположены соответственно точки M, N и P так, что A1M : MA=D1P : PС1= CN : NC1=1 : 3.
  а) Постройте точку К пересечения плоскости MNP с прямой АВ.
  б) Найдите отношение АК : КВ.
  
  

• 12 слайд

  Решение.
  

• 13 слайд

  Пусть АВ=4x, AD=4y, AA1=4z.
  ΔPC1N~ΔNCG~ED1P,
  откуда ED1=z, CG=x.
  ΔEDF~ΔAFM, тогда 5𝑧 3𝑧 = 𝐹𝐷 𝐴𝐹 , 𝐹𝐷= 5 3 𝐴𝐹или 4y+AF= 5 3 AF, AF=6y.
  

• 14 слайд

  ΔFAK~ΔFDG, поэтому 5𝑥 𝐴𝐾 = 10𝑦 6𝑦 , AK=3x,KB=4x-3x=x, следовательно, 𝐴𝐾 𝐾𝐵 =3.
  

• 15 слайд

  Метод координат
  Метод координат и векторный метод - самые универсальные методы геометрии.
  Главное - удачно выбрать систему координат.
  I тип – задачи на нахождение зависимости между элементами данной фигуры;
  II тип – задачи на составление уравнения данной фигуры, если известны характеристические свойства точек данной фигуры.
  

• 16 слайд

  Расстояние от точки до плоскости
  ввести удобную для данной фигуры прямоугольную систему координат (начало координат лучше помещать в одну из точек заданной плоскости)
  задать координаты трех точек плоскости и точки, от которой необходимо найти расстояние
  составить уравнение плоскости
  по формуле расстояния вычислить его
  

• 17 слайд

  Задача 3
  В правильной треугольной
  пирамиде SABC высота равна 12, апофема равна 20.
  Точки P и T – середины ребер SB и SC соответственно. Плоскость α содержит прямую PT и параллельна высоте пирамиды SH.
  а) Докажите, что плоскость α делит высоту основания BB1 в отношении 1:2, считая от вершины В.
  б) Найдите расстояние от точки В
  до плоскости α.
  

• 18 слайд

  Решение.
  Построить плоскость α :
  PT
  α,
  α ||SH.
  а) В плоскостях BSH и CSH
  проведем
  PP0 и TT0 параллельно SH.
  P0T0 - линия пересечения плоскости α
  и плоскостиABC.
  PP0 – средняя линия ∆BSH, следовательно,
  BP0=P0H=HB1, откуда BP0:P0B1=1:2.
  
  
  

• 19 слайд

  б) α=PTT0.
  Из ∆ SHB1 по теореме Пифагора HB1=16. PT|| P0T0 ||BC. Значит, расстояние от точки В до плоскости α равно расстоянию между прямыми BC и P0T0.
  

• 20 слайд

  Расстояние от точки M(x0,y0) до прямой, заданной уравнением вычисляется по формуле
  
  
  
  Расстояние между прямыми BC и P0T0 равно расстоянию от точки P0 (T0) до оси абсцисс (ВС).
  Из п.а) BP0:P0B1=1:2, HB1=16, значит, BP0=16, откуда P0D=8.
  Ответ: 8.
  
  
  

• 21 слайд

  Угол между прямыми
  ввести удобную для данной фигуры прямоугольную систему координат
  определить направляющие векторы данных прямых так, чтобы угол между ними был заведомо острый
  вычислить координаты направляющих векторов
  по формуле вычисления косинуса угла между векторами определить искомый угол
  
  

• 22 слайд

  Угол между прямой и плоскостью
  ввести удобную для данной фигуры прямоугольную систему координат
  определить нормаль плоскости (вектор, перпендикулярный к плоскости) и вычислить его координаты
  вычислить координаты направляющего вектора прямой
  по формуле вычисления косинуса угла между векторами определить искомый угол, так как синус угла между прямой и плоскостью будет равен косинусу угла между нормалью и направляющим вектором прямой.
  
  

• 23 слайд

  Угол между плоскостями
  ввести удобную для данной фигуры прямоугольную систему координат
  определить нормали плоскостей и вычислить их координаты
  по формуле вычисления косинуса угла между векторами определить искомый угол. Косинус угла  между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами.
  
  

• 24 слайд

  
  «Лучше решить
  задачу десятью способами,
  чем десять задач одним».