Презентация по теме "Методы решения тригонометрических уравнений и неравенств"

• 1 слайд

  Методы решения тригонометрических уравнений и неравенств
  

• 2 слайд

  a) 6 𝑐𝑜𝑠 𝑥 4 =3
  𝑐𝑜𝑠 𝑥 4 = 3 6
  𝑐𝑜𝑠 𝑥 4 = 1 2
  𝑥 4 =±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 1 2 +2𝜋𝑛
  𝑥 4 =± 𝜋 3 +2𝜋𝑛
  𝑥=± 4𝜋 3 +8𝜋𝑛
  
  Общие решения
  тригонометрических уравнений
  
  
  𝟏) 𝒔𝒊𝒏 𝒙 =𝒂, 𝒂∈ −𝟏 : 𝟏
  𝒙= (−𝟏) 𝒏 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒂 +𝝅𝒏
  𝟐) с𝒐𝒔𝒙=𝒂, 𝒂∈ −𝟏 : 𝟏
  𝒙=± 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒂 +𝟐𝝅𝒏
  𝟑) 𝒕𝒈𝒙=𝒂, 𝒂∈ −∞ ; ∞
  𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒂+𝝅𝒏
  𝟒) с𝒕𝒈𝒙=𝒂, 𝒂∈ −∞ ; ∞
  𝒙=𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝒂+𝝅𝒏
  Решите простейшее тригонометрическое уравнение:
  б) 𝑐𝑡𝑔 2𝑥− 𝜋 3 = 3
  2𝑥− 𝜋 3 =𝑎𝑟с𝑐𝑡𝑔 3 +𝜋𝑛
  2𝑥− 𝜋 3 = 𝜋 6 +𝜋𝑛
  2𝑥= 𝜋 3 + 𝜋 6 +𝜋𝑛
  2𝑥= 2𝜋+𝜋 6 +𝜋𝑛
  2𝑥= 3𝜋 6 +𝜋𝑛
  2𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛
  𝑥= 𝜋 4 + 𝜋𝑛 2
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  Методом введения новой переменной
  решаются уравнения, сводящиеся
  к квадратным
  
  Например, уравнение
  𝑎 𝑠𝑖𝑛 2 х + b sin х + c = 0 решается путем введения новой переменной t = sin x.
  При этом заданное уравнение принимает вид обычного квадратного уравнения:
  𝑎 𝑡 2 +𝑏 𝑡+𝑐=0
  2 𝑐𝑜𝑠 2 x + 5 sin х + 5 = 0
  2 (1−𝑠𝑖𝑛 2 х ) + 5 sin х + 5 = 0
  2−2 𝑠𝑖𝑛 2 х + 5 sin х + 5 = 0
  −2 𝑠𝑖𝑛 2 х + 5 sin х + 7 = 0
  2 𝑠𝑖𝑛 2 х − 5 sin х − 7 = 0
  sin х = t
  2 𝑡 2 −5 𝑡−7=0
  𝐷= (−5) 2 −4∙2∙ −7 =81
  𝑡 1 = 5+9 2∙2 = 14 4 =2
  𝑡 2 = 5−9 2∙2 = −4 4 =−1
  
  Решите тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному:
  sin х = 2 -не имеет решений
  sin х = -1
  x=− 𝜋 2 +2𝜋𝑛
  

• 4 слайд

  Уравнение вида
  а sin х + b cos х = 0 называют однородным тригонометрическими уравнением 1 степени.
  
  Разделим обе части уравнение на cos х
  (cos х ≠ 0), получим:
  
  
  a) 𝑠𝑖𝑛 х  𝑐𝑜𝑠 х = 0
  𝑠𝑖𝑛 х 𝑐𝑜𝑠 х  𝑐𝑜𝑠 х 𝑐𝑜𝑠 х = 0 𝑐𝑜𝑠 х
  tg х – 1 = 0
  tg х = 1
  х = arctg 1 + n
  x= 𝜋 4 +𝜋𝑛
  a 𝑠𝑖𝑛 х 𝑐𝑜𝑠 х + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 х 𝑐𝑜𝑠 х = 0 𝑐𝑜𝑠 х
  а tg х + b = 0
  tg х = − 𝑏 𝑎
  х = arctg − 𝑏 𝑎 + πn
  Решите однородное тригонометрическое уравнение:
  б) 𝑐𝑜𝑠 2 х  2 𝑠𝑖𝑛 x 𝑐𝑜𝑠 х = 0
  𝑐𝑜𝑠 х (cos x  2 sin x) = 0
  𝑐𝑜𝑠 х = 0 или cos x  2 sin x = 0
  x= 𝜋 2 +𝜋𝑛 𝑠𝑖𝑛 х 𝑐𝑜𝑠 х  2 𝑐𝑜𝑠 х 𝑐𝑜𝑠 х = 0 𝑐𝑜𝑠 х
  tg х – 2 = 0
  tg х = 2
  х = arctg 2 + n
  

• 5 слайд

  Уравнение вида
  а 𝑠𝑖𝑛 2 х + b sin x cos x + c 𝑐𝑜𝑠 2 х = 0
  называют однородным тригонометрическими уравнением 2 степени.
  
  Разделим обе части уравнение на 𝑐𝑜𝑠 2 х
  (cos х ≠ 0), получим:
  
  
  
  Введем подстановку t = tg x
  а 𝑡 2 + b t + с = 0
  7 𝑠𝑖𝑛 2 х + 5 sin x cos x – 2 𝑐𝑜𝑠 2 х = 0
  7 sin 2 х cos 2 х + 5 sin х cos х cos 2 х – 2 cos 2 х cos 2 х = 0
  7 𝑡𝑔 2 х + 5 tg х – 2 = 0
  tg х = t
  7 𝑡 2 +5 𝑡−2=0
  𝐷= 5 2 −4∙7∙ −2 =81
  𝑡 1 = −5+9 2∙7 = 4 14 = 2 7
  𝑡 2 = −5−9 2∙7 = −14 14 =−1
  
  а 𝐬𝐢𝐧 𝟐 х 𝐜𝐨𝐬 𝟐 х + 𝐛 𝐬𝐢𝐧 х 𝐜𝐨𝐬 х 𝐜𝐨𝐬 𝟐 х + с 𝐜𝐨𝐬 𝟐 х 𝐜𝐨𝐬 𝟐 х = 0
  𝑎 𝑡𝑔 2 х + b tg х + с = 0
  Решите однородное тригонометрическое уравнение:
  tg х = 2 7
  х = arctg 2 7 + n
  
  tg х = -1
  х = arctg (-1) + n
  x=− 𝜋 4 +𝜋𝑛
  

• 6 слайд

  Решение тригонометрических неравенств
  cos 3𝑥> 1 2
  – arccos 1 2 + 2πk < 3x < arccos 1 2 + 2πk
  – 𝜋 3 + 2πk < 3x < 𝜋 3 + 2πk
  – 𝜋 9 + 2𝜋𝑘 3 < x < 𝜋 9 + 2𝜋𝑘 3
  
  
  
  
  1) cos х > а, |a| < 1
  – arccos a + 2πk < x < arccos a + 2πk
  2) cos х < а, |a| < 1
  arccos a + 2πk < x < (2π – arccos a) + 2πk
  3) sin х > а, |a| < 1
  arcsin a + 2πk < x < (π – arcsin a) + 2πk
  4) sin х < а, |a| < 1
  (– π – arcsin a) + 2πk < x < arcsin a + 2πk
  Решите тригонометрическое неравенство:
  

• 7 слайд

  Спасибо
  за внимание!
  Домашнее задание:
  выполнить практическую работу №5 "Решение тригонометрических уравнений
  и неравенств различных видов"