1 слайд

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Две полуплоскости – грани двугранного угла
Прямая a – ребро двугранного угла
a

2 слайд

Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
E
Р
К
O
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Алгоритм построения линейного угла.

3 слайд

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

4 слайд

Трехгранные и многогранные углы
Цели:
- ввести определение трехгранного и многогранного углов;
-познакомиться с различными видами многогранных углов;
-изучить свойства многогранных углов и научиться их применять при решении задач.

5 слайд

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.
Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.

6 слайд

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

7 слайд

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ
Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

8 слайд

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ
Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360.   

9 слайд

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.
Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

10 слайд

Вертикальные многогранные углы
На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов
Теорема. Вертикальные углы равны.

11 слайд

Измерение многогранных углов
Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен , получаем, что трехгранный угол призмы равен  .

12 слайд

Упражнение 1
Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Почему?
Ответ: а) Нет;
б) нет;
в) да.

13 слайд

Упражнение 2
Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы.
Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;
б) октаэдр;
в) икосаэдр.

14 слайд

15 слайд

Упражнение 3
Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Почему?
Ответ: 10о <  < 150о.

16 слайд

1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами А и С2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора

Ответ:3

17 слайд

3. Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы мно­гогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник CAD2 где AC = CD2 = AD2, т. к. являются диагоналями равных квадратов.Следовательно, треугольник CAD2 — рав­носторонний, поэтому все его углы равны 60°.

18 слайд

4. Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Заметим, что ABCD — квадрат со стороной 2, а BD — его диагональ.Значит, треугольник ABD — прямоугольный и равнобедренный, AB=AD. Угол ABD равен 45°.

19 слайд

5. На рисунке изображён многогранник, все двугран­ные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами В2 и Д3 .
Ответ:11

20 слайд

6. На рисунке изображён многогранник, все дву­гранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С3 .
Ответ:17

21 слайд

7. Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Ответ:60

22 слайд

Упражнение 5
В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.
Ответ: 60о.

23 слайд

Упражнение 6
Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC.
Ответ: 90о.

24 слайд

Упражнение 10
Для двугранных углов тетраэдра имеем:
, откуда 70о30'.
Для трехгранных углов тетраэдра имеем:
15о45'.
Ответ: 15о45'.
Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

25 слайд

Упражнение 11
Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра.
Для двугранных углов октаэдра имеем:
, откуда 109о30'.
Для четырехгранных углов октаэдра имеем:
38о56'.
Ответ: 38о56'.

26 слайд

Упражнение 12
Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра.
Для двугранных углов икосаэдра имеем:
, откуда 138о11'.
Для пятигранных углов икосаэдра имеем:
75о28'.
Ответ: 75о28'.

27 слайд

Упражнение 13
Для двугранных углов додекаэдра имеем:
, откуда 116о34'.
Для трехгранных углов додекаэдра имеем:
84о51'.
Ответ: 84о51'.
Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

28 слайд

Упражнение 14
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырехгранный угол при вершине этой пирамиды.
Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360о, т.е. равен 60о.
Ответ: 60о.

29 слайд

Упражнение 15
В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды.
Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360о, т.е. равен 45о.
Ответ: 45о.

30 слайд

Упражнение 16
В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдите трехгранный угол при вершине этой пирамиды.
Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360о, т.е. равен 90о.
Ответ: 90о.