Презентация по теме "Неразрешимые задачи геометрии"

• 1 слайд

  Классические неразрешимые задачи на построение
  МБУ «Гимназия №35» г.о.Тольятти Самарской области
  

• 2 слайд

  Цели проекта
  
  Показать, что в математике, как и во всякой другой науке, достаточно своих неразгаданных тайн.
  Подчеркнуть, что математиков отличает нестандартное мышление. А иногда смекалка и интуиция хорошего математика просто приводят в восхищение!
  Показать, что сама попытка решения задачи о квадратуре круга содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
  Учиться работать с различными источниками информации, анализировать и сопоставлять точки зрения ученых разных времен по данной теме.
  Разобрать задачу о квадратуре круга
  
  
  

• 3 слайд

  В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.
  
  IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  

• 4 слайд

  
  С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что решить их невозможно, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка проблемы «доказать неразрешимость» была смелым шагом вперёд.
  

• 5 слайд

  
  
  Задача о квадратуре круга –
  
  построить квадрат, равный по
  площади данному кругу.
  
  
  
  

• 6 слайд

  
  
  Вероятно, задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. В то время у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром.
  

• 7 слайд

  В папирусе Ринда,
  написанным Ахмесом, говорится, что сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что
  П = 3,14). У древних вавилонян и евреев принималось, что длина окружности ровно втрое больше диаметра и, следовательно, П =3.
  
  

• 8 слайд

  
  
  Древнегреческие математики также достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях. Они еще издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную, равновеликую ей.
  

• 9 слайд

  
  Так появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью
  циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого
  была бы равна площади данного
  круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение. Однако решение не поддавалось их усилиям.
  
  

• 10 слайд

  Но первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э.
  По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ
  Антифонт, коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат.
  

• 11 слайд

  Полного решения, предложенного Антифонтом, не сохранилось,
  но считается что оно состояло в следующем: производя
  последовательно удвоение
  сторон вписанного многоугольника, он получал  в конце-концов многоугольник с очень большим числом сторон, которые, по мысли Антифонта, должны совпадать с соответствующими им дугами окружности.
  
  

• 12 слайд

• 13 слайд

  
  Но, так как для любого многоугольника можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликий квадрат, то такой квадрат можно построить и для данного круга. От Плутарха известно, что лучшие математики того времени (в том числе Платон, Евдокс) посещали в темнице Антифонта и были удовлетворены его решением, а ведь требования к строгости доказательств в то время были не ниже сегодняшних.
  

• 14 слайд

  Известный математик древности Гиппократ Хиосский (ок. 400 г. до н.э.) первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Но провести строгое доказательство учёный в то время еще не мог: не было подходящего метода.
  
  

• 15 слайд

  
  
  
  Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями.
  

• 16 слайд

  
  
  
  Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов.
  
  

• 17 слайд

  Они впоследствии получили название гиппократовых луночек. Казалось бы, что с появлением таких луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга. Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадрируемые части.
  
  

• 18 слайд

  Все предложенные решения в лучшем случае давали приближённое значение с достаточно хорошей точностью. Однако все-таки оставались принципиально приближёнными. Впрочем, авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения.
  
  

• 19 слайд

  
  Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали различные инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).
  
  
  

• 20 слайд

  Один из самых громких споров
  на эту тему произошёл в
  Англии между двумя
  выдающимися учёными XVII в., философом Томасом Гоббсом и математиком Джоном Валлисом.
  В весьма почтенном возрасте Гоббс опубликовал около десяти
  «решений» задачи о квадратуре
  круга.
  
  

• 21 слайд

  
  Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом П , и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.
  

• 22 слайд

  Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой П. Теперь известно, П - число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926…, которое было вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом.
  
  

• 23 слайд

  Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности
  к диаметру.
  
  

• 24 слайд

  
  
  Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.
  S=r
  2
  S=a
  
  a=?
  

• 25 слайд

  
  Карл Луи Фердинанд Линдеман де Корель
  
  
  

• 26 слайд

  
  
  Можно вычислить приближенное значение П. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.
  

• 27 слайд

  Карл Луис Фердинанд фон Линдеман — немецкий математик. Наиболее известен доказательством трансцендентности числа «ПИ».
  Член Баварской академии наук (1895 год). Фердинанд Линдеман происходит из семьи филологов. Он родился 12 апреля 1852 г. в Ганновере. После окончания гимназии в Шверине (Мекленбург) он в 1870 году начинает изучать математику в Геттингенском университете. Закончил образование в 1873 году в Эрлангенском университете.
  

• 28 слайд

  В 1873 г. в университете Эрлангена он защищает диссертацию и получает степень доктора философии. Затем Линдеманн переводится в Политехническую школу в Мюнхене. В 1877 году Линдемана приглашают во Фрайбург в Брайсгау вначале в качестве экстраординарного, а затем — с 1879 г. — ординарного профессора.
  

• 29 слайд

  ПЕРВЫЕ РАБОТЫ.
  В день своего тридцатилетия — 12 апреля 1882 г. — он пришел к идее доказательства трансцендентности числа π, и тем самым разрешил известную ещё со времен античности классическую проблему «квадратуры круга». Эта работа Линдемана была опубликована в 1882 году Вейерштрассом в Берлине и Эрмитом в Париже. Так внезапно имя Линдемана обретает мировую известность.
  

• 30 слайд

  Личная жизнь.
  28 мая 1887 года в Кенигсбергском Соборе Линдеман сочетался браком с актрисой Лизбет Кюсснер, дочерью кенигсбергского учителя и ректора школы. У Линдеманов родилось двое детей: сын Райнхарт , и дочь Ирмгард
  

• 31 слайд

  НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ.
  Научные работы Линдемана охватывают многие области математики — теорию абелевых функций, проективную, дифференциальную и алгебраическую геометрии, теорию чисел. Главной сферой его научных интересов была геометрия. Разработал (1892) общий метод решения алгебраических уравнений любой степени с помощью трансцендентных функций. Занимался также историей математики и теорией спектрального анализа. Многие годы безуспешно пытался доказать Великую теорему Ферма, обнародовал несколько ошибочных доказательств.
  

• 32 слайд

  Квадратура круга.
  Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.
  

• 33 слайд

  Решение.
  Если обозначить R радиус заданного круга, x — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x^2=«пи»R^2 откуда получаем: x=1,77245R Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.
  

• 34 слайд

• 35 слайд

  
  
  Задача об удвоении
  куба - построить отрезок, являющийся ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром.
  
  

• 36 слайд

• 37 слайд

  Биография
  Пьер Лора́н Ванце́ль (фр. Pierre Laurent Wantzel, Париж — 21 мая 1848) — французский математик, получивший известность строгим доказательством неразрешимости древних задач удвоения куба и трисекции угла.
  

• 38 слайд

  Биография
  Ванцель родился в семье армейского офицера. В 1821 году отец ушёл из армии, занялся научной работой и вскоре стал профессором прикладной математики в парижской Коммерческой школе (École speciale du Commerce).
  Пьер Лоран тоже увлёкся математикой. По воспоминаниям друзей, ещё в детстве он любил обсуждать с отцом математические проблемы.
  В 1826 году 12-летний Ванцель поступил в училище École des Arts et Métiers de Châlons, в следующем году переходит в Коллеж Шарлеманя (Collège Charlemagne),
  который закончил с отличием.
  
  

• 39 слайд

  Биография
  В 1832—1834 годах учится в Политехнической школе, затем — в Школе мостов и дорог (École des Ponts et Chaussées). Несколько лет служил инженером, затем вернулся в Политехническую школу и стал профессором прикладной механики (1838). С 1841 года также преподаёт в Школе мостов и дорог (в той же должности) и ещё в нескольких учебных заведениях Парижа и пригородов, включая Коллеж Шарлеманя.
  

• 40 слайд

  Биография
  В 1837 году публикует свою самую известную работу с доказательством неразрешимости классических задач удвоения куба и трисекции угла. Ванцель также доказал, что с помощью циркуля и линейки невозможно построить правильный многоугольник, у которого число сторон не удовлетворяет условию Гаусса, то есть не разлагается на степень 2 и простые числа Ферма.
  Кроме этой, прославившей его, работы,
  Ванцель опубликовал ещё около 20
  статей по математике, механике и
  аэродинамике.
  Ванцель умер, не дожив до 34 лет,
  по словам его друга Сен-Венана,
  от переутомления.
  
  

• 41 слайд

  
  
  
  Задача о трисекция угла
  разбить произвольный угол на три равные части.
  
  
  
  
  
  

• 42 слайд

  Цель:
  познакомиться с историей развития решения задачи деления угла на три равные части
  поиск решения задачи наиболее удобным способом
  сконструировать циркуль – трисектор.
  

• 43 слайд

  Постановка проблемы
  С глубокой древности известна одна из знаменитых задач древности – задача о трисекции угла. Она сыграла важную роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эту задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - “доказать неразрешимость” – была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало
  преуспели в нестандартных и различных
  приближённых решениях любители математики.
  

• 44 слайд

  Исторические сведения
  Платон, живший в 428 – 328 годах до нашей эры,
  считается одним из величайших философов
  Греции.
  Геометрия ко времени Платона уже была
  очень развита.
  Было решено много весьма сложных задач,
  доказаны сложнейшие теоремы.
  
  В конце прошлого века было доказано, что в такой постановке данная задача не может быть решена, хотя, если использовать другие геометрические инструменты или использовать при построении геометрические места точек, отличные от прямой, либо дуги окружности, то эта задача легко решается. Однако принятые у греков правила игры не позволяли пользоваться при решении задачи ничем, кроме циркуля и линейки. Платон даже обосновал это ссылкой на авторитет богов.
  Так что проблема решена не была, но по ходу дела
  геометрия была основательно разработана.
  

• 45 слайд

  Решение задачи о трисекции угла циркулем и линейкой.
   
  

• 46 слайд

  Простейший трисектор
  На сегодняшний день придумано много механических способов для построения трисектрисы угла. Такие приборы называются трисекторами. Простейший трисектор можно легко изготовить из плотной бумаги, картона или тонкой жести. Он будет служить подсобным чертежным инструментом.
  На чертеже изображен трисектор (заштрихованная фигура).
  Примыкающая к полукругу полоска AB
  равна длине радиуса полукруга.
  Край полоски BD составляет прямой угол с AC;
  он касается полукруга в точке B; длина полоски BD произвольная.
  
  
  

• 47 слайд

  Простейший трисектор
  На этом же рисунке показано применение
  трисектора.
  Например, требуется разделить угол KSM.
  Поместим трисектор так, чтобы вершина угла S
  находилась на линии BD, одна сторона угла прошла через точку A, а другая сторона коснулась полукруга.
  Возможность такого вложения нашего трисектора в данный угол является следствием одного простого свойства точек лучей, делящих данный угол на 3 равные части: если из любой точки O луча SO провести отрезки , то будем иметь: AB=OB=ON. Затем проведём прямые SB и SO, и деление данного угла на 3 равные части закончено.
  
  
  

• 48 слайд

  Доказательство:
  соединим отрезком центр полукруга O с точкой касания N. Рассмотрим треугольник ASO: так как и AB=BO, то треугольник ASO – равнобедренный, значит прямоугольные треугольники ASB и OSB равны. Прямоугольные треугольники BSO и NSO равны по гипотенузе и катету (SO – общая сторона, BO=ON). Значит треугольники ASB, OSB и NSO – равны. Из равенства этих треугольников следует, что углы ASB, BSO и OSN равны между собой, что и требовалось доказать. Такой способ трисекции угла не является чисто геометрическим; его можно назвать механическим.
  

• 49 слайд

  Циркуль - трисектор
   
  
  
  
  
  Попытки расширить инструментарий оказали большое влияние на древнегреческую математику, привели и к первым исследованиям конических сечений, и к исследованию сложных кривых, и к построению интересных инструментов. Рассмотрим шарнирный механизм, являющийся параллелограммом с двумя закрепленными шарнирами. Из курса школьной математики нам известно, что противоположные углы параллелограмма равны. Это верно для любого параллелограмма, а значит и для любого изгибания нашего механизма. А для любого ли изгибания? У нашей системы есть одна особая точка — когда все звенья легли на одну прямую. Из этой точки бифуркации механизм может выйти, снова став параллелограммом,  а может перейти в фигуру, которая называется антипараллелограмм.
  
  
  

• 50 слайд

  От параллелограмма антипараллелограмм унаследовал то, что две противоположные стороны равны между собой, и две накрест лежащие стороны также равны между собой. Оказывается, у нашей фигуры есть и соотношение на углы — у антипараллелограмма они попарно равны! Прибавим к нашему антипараллелограмму более маленький, но подобный первому. У них есть один общий угол, а значит углы при красном шарнире — тоже равны. Вытягивая направляющие прямые, получаем плоский шарнирный механизм, который можно применять для построения биссектрисы любого угла.
  
  
  

• 51 слайд

  Можно прибавить еще один подобный антипараллелограмм. По тем же соображениям его угол при красном шарнире будет равен уже двум имеющимся. Получившийся плоский шарнирный механизм является трисектором углов —  решает задачу о делении произвольного угла на три равные части!     Однако, очевидно, использованный алгоритм построения можно продолжать и дальше, получая шарнирные механизмы, точно делящие произвольный угол  на любое наперед заданное число частей.
  
  
  

• 52 слайд

  Вывод
  При выяснении возможности планиметрической задачи на построение пользуются следующим критерием: построение отрезка циркулем и линейкой возможно тогда и только тогда, когда его длина выражается через длины данных отрезков в виде конечной комбинации четырёх арифметических действий и извлечения арифметического квадратного корня. С помощью этого критерия доказано, что знаменитая задача древности – трисекция угла- неразрешима с помощью циркуля и линейки.
  Термин «квадратура круга» стал синонимом неразрешимых задач. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и
  алгебре.
  
  

• 53 слайд

  Над проектом работали ученики 11 А класса под руководством учителя математики Батаевой Г.А.