Презентация по теме "Основные понятия комбинаторики. Виды комбинаторных соединений"

• 1 слайд

  Основные понятия комбинаторики
  

• 2 слайд

  Комбинаторика
  (комбинаторный анализ)
  – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества
  в соответствии с заданными правилами.
  
  

• 3 слайд

  Основные правила комбинаторики
  

• 4 слайд

  Правило суммы:
  пусть объект А можно выбрать m способами,
  а другой объект В можно выбрать n способами,
  тогда выбор «либо А, либо В»
  можно осуществить m + n способами
  
  Пример 1. Из города А в город В можно добраться
  5 поездами, 3 самолетами, 12 автобусами.
  Сколькими способами можно добраться
  из города А в город В?
  Решение:
  По правилу суммы имеем
  5 + 3 + 12 = 20 способов.
  
  
  

• 5 слайд

  Правило произведения:
  пусть объект А можно выбрать m способами,
  а другой объект В можно выбрать n способами, тогда пару этих элементов «А и В»
  можно выбрать m ∙ n способами.
  
  Пример 2. У Саши 10 марок, а у Вани – 20.
  Сколькими способами можно осуществить обмен
  одной Сашиной марки на одну Ванину?
  Решение:
  Чтобы обмен осуществился, Саша должен выбрать одну
  из своих марок, а Ваня – одну из своих.
  Пара выбранных ими марок определяет обмен,
  поэтому по правилу произведения
  10 ∙ 20 = 200 способов.
  
  

• 6 слайд

  Пример 3. В студенческой группе 14 девушек
  и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать,
  для выполнения задания, двух студентов одного пола?
  
  Решение:
  По правилу произведения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами,
  а двух юношей 6·5 = 30 способами.
  Следует выбрать двух студентов одного пола:
  двух девушек или двух юношей.
  По правилу сложения таких способов
  выбора будет 182 + 30 = 212.
  

• 7 слайд

   
   
  Понятие факториала
  Пусть n - натуральное число.
  Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению
  всех натуральных чисел 1 от до n:
  n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
  
  В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.
  

• 8 слайд

  Размещения
  

• 9 слайд

  Размещением без повторений из n элементов по k называется кортеж длины k, составленный из неповторяющихся элементов множества в котором n элементов.
  Два размещения отличаются либо составом элементов, либо порядком следования элементов.
  

• 10 слайд

  Пример 4. В группе 15 студентов.
  Сколькими способами из них можно выбрать актив группы в составе старосты, его заместителя, физорга и культорга?
  
  Решение:
  Имеем 15-элементное множество, элементы которого студенты группы. При выборе актива группы необходимо составить 4-элементарное подмножество и установить в нем порядок (распределить должности). Число способов, которыми можно выбрать актив группы:
  
  А 15 4 = 15! 15−4 ! = 11! ∙12 ∙13 ∙14∙15 11! =32760.
  

• 11 слайд

  Если некоторые элементы кортежа повторяются, то кортеж называется размещением из n элементов по k с повторениями. Число всевозможных размещений с повторениями равно
  

• 12 слайд

  Пример 5. Сколькими способами можно составить различные трехзначные числа из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 если цифры в записи числа могут повторяться?
  
  Решение:
  В этой задаче речь идет о размещениях
  из 5 элементов по 3 с повторениями.
  Чтобы узнать количество способов,
  воспользуемся формулой
  А 5 3 = 5 3 =125.
  
  

• 13 слайд

  Перестановки
  

• 14 слайд

  Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов.
  

• 15 слайд

  Пример 6. Сколькими способами можно расставить
  8 участниц финального забега на восьми
  беговых дорожках?
  
  Решение:
  Общее число способов расстановки определяется
  как число перестановок из 8 элементов и равно
  Р 8 =8!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8=40320.
  

• 16 слайд

  Размещения с повторениями, имеющие
  один и тот же состав и отличающиеся
  друг от друга лишь порядком компонент, называются перестановками с повторениями данного состава.
  
  

• 17 слайд

  Пример 7. Сколькими способами можно
  переставить буквы в слове «самоизоляция»?
  
  Решение:
  Всего 12 букв, причем «о» повторяется 2 раза,
  «и» – 2 раза, «я» – 2 раза. Тогда число перестановок
  с повторениями найдем по формуле:
  
  Р (12; 2, 2, 2) = 12! 2! ∙2! ∙ 2! = 1∙2∙3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10∙11∙12 8 =59875200
  
  
  
  
  

• 18 слайд

  Сочетания
  

• 19 слайд

  Сочетаниями из n элементов по k называется неупорядоченное подмножество (выборка), состоящее из k элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов.
  

• 20 слайд

  Пример 8. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
  
  Решение:
  Т.к. порядок элементов в подмножестве не имеет значения, применяем формулу нахождения числа сочетаний без повторений
  С 10 6 = 10! 6! ∙(10−6)! = 10! 6! ∙ 4! = 6! ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙10 6! ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 =210 способов.
  
  

• 21 слайд

  Для числа сочетаний с повторениями
  из n элементов по k справедлива формула:
  

• 22 слайд

  Пример 9. В магазине продаются маркеры
  6 цветов. Мальчик решил купить 4 маркера.
  Сколькими способами мальчик может выбрать маркеры, если ему все равно, будут они отличаться по цвету, или нет?
  
  Решение:
  Применяем формулу нахождения числа сочетаний
  с повторениями:
  С 6 4 = 6+4−1 ! 4! ∙ 6−1 ! = 9! 4! ∙5! = 5! ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙5! =126 способов.
  
  

• 23 слайд

  Схема анализа
  комбинаторных задач
  

• 24 слайд

  Определить к какому типу относится соединений относится задача:
  
  Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
  В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
  В хирургическом отделении работают 6 врачей. Сколькими способами из них можно образовать бригаду в составе хирурга и ассистента?
  

• 25 слайд

  Спасибо за внимание!