презентация по теме "Понятие о дифференциальном уравнении" и решение упражнений

• 1 слайд

  10 июня 2022 г.
  Понятие о дифференциальном уравнении
  Горюшко А.А.
  

• 2 слайд

  Второй производной функции 𝑦=𝑓 𝑥 называется функция 𝑦 ′′ = 𝑓 ′ (𝑥) ′ .
  𝑦 ′′′ = 𝑦 ′′ (𝑥) ′ – третья производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
  𝑦 𝐼𝑉 = 𝑦 ′′′ (𝑥) ′ – четвертая производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
  𝑦 𝑉 = 𝑦 𝐼𝑉 (𝑥) ′ – пятая производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
  и т.д.
  𝑦 (𝑛) − 𝑛 –ая производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
  Производные высших порядков
  Горюшко А.А.
  

• 3 слайд

  Для функции 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 :
  𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥 ;
  𝑓 ′′ 𝑥 = cos 𝑥 ′ =− sin 𝑥 ;
  𝑓 ′′′ 𝑥 = − sin 𝑥 ′ =− cos 𝑥;
  𝑓 𝐼𝑉 𝑥 = − cos 𝑥 ′ = sin 𝑥 ;
  𝑓 100 𝑥 = sin 𝑥 .
  Например, для функции 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 :
  𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 ;
  𝑓 ′′ 𝑥 = 3 𝑥 2 ′ =6𝑥;
  𝑓 ′′′ 𝑥 = 6𝑥 ′ =6;
  𝑓 𝐼𝑉 𝑥 = 6 ′ =0= 𝑓 𝑉 𝑥 = 𝑓 𝑛 𝑥 ∀𝑥>4.
  Горюшко А.А.
  

• 4 слайд

  Понятие дифференциального уравнения
  Рассмотрим движение тела массы 𝒎 в
  сопротивления 𝒌.
  вязкой среде с коэффициентом
  По второму закону Ньютона можно
  записать:
  𝒎𝒂= – 𝒌𝒗.
  Так как ускорение – первая производная
  скорости 𝑎= 𝑣 ′ , то
  𝒎 𝒗 ′ =−𝒌𝒗.
  В это уравнение входит неизвестная величина 𝑣 и ее производная по
  времени 𝑣 ′ .
  Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии,
  экономике и других дисциплинах.
  Горюшко А.А.
  

• 5 слайд

  Уравнение вида
  𝒇 𝒙;𝒚; 𝒚 ′ ; 𝒚 ′′ ;…; 𝒚 𝒏 =𝟎
  𝒏 −го порядка .
  называется обыкновенным дифференциальным уравнением
  подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество.
  Решением этого уравнения является произвольная функция 𝑦=𝑦 𝑥 ,
  График решения дифференциального уравнения называется
  интегральной кривой.
  Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида
  𝒚 ′ =𝒇 𝒙 .
  Его решением является функция
  𝒚= 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+𝑪 .
  Горюшко А.А.
  Понятие дифференциального уравнения
  

• 6 слайд

  Дифференциальные уравнения показательного роста
  Решение многих задач физики, техники, биологии и социальных наук
  сводится к задаче нахождения функций, удовлетворяющих
  дифференциальному уравнению вида
  𝒇 ′ 𝒙 =𝒌𝒇 𝒙 ,
  где 𝒌 –некоторая константа.
  Это уравнение называется дифференциальным уравнением показательного
  роста убывания .
  Его смысл заключается в том, что скорость изменения функции в точке 𝑥
  пропорциональна значению самой функции в этой точке.
  Это уравнение часто встречается при решении практических задач.
  Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться,
  что решением уравнения показательного роста является любая функция вида
  𝒇 𝒙 =𝑪 𝒆 𝒌𝒙
  где 𝑪 –некоторая константа.
  Горюшко А.А.
  

• 7 слайд

  Гармонические колебания
  Легко проверить справедливость равенств sin ′′ 𝑥=− sin 𝑥 и cos ′′ 𝑥=− cos 𝑥 .
  В физике в частности в механике большую роль играют функции 𝑓,
  которые удовлетворяют уравнению
  𝒇 ′′ 𝒕 =− 𝝎 𝟐 𝒇 𝒕 ,
  где 𝝎− положительная постоянная.
  Это уравнение называют дифференциальным уравнением гармонических
  колебаний.
  Его решением является функция
  𝒇 𝒕 =𝑨𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝝋)
  при любых постоянных 𝑨 и 𝝋,причем обычно выбирают 𝐴≥0, 𝜑∈ 0;2𝜋 .
  .
  Горюшко А.А.
  

• 8 слайд

  а) 𝑦 𝑡 =3 cos 2𝑡+𝜋 , 𝑦 ′′ =−4𝑦;
  𝑦 ′ =
  3∙ − sin 2𝑡+𝜋 ∙2
  =−6 sin 2𝑡+𝜋 ;
  𝑦 ′′ =
  −6 sin 2𝑡+𝜋 ′
  =−6 cos 2𝑡+𝜋 ∙2
  =−12 cos 2𝑡+𝜋 ;
  𝑦 ′′ =−4𝑦 ⇔
  −12 cos 2𝑡+𝜋 =−4∙3 cos 2𝑡+𝜋
  − верно.
  б) 𝑦 𝑡 =4 sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 , 𝑦 ′′ =− 1 4 𝑦;
  𝑦 ′ =
  4 cos 1 2 𝑡− 𝜋 3 ∙ 1 2
  =2 cos 1 2 𝑡− 𝜋 3 ;
  𝑦 ′′ =
  2 cos 1 2 𝑡− 𝜋 3 ′
  =2∙ − sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 ∙ 1 2
  =− sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 ;
  𝑦 ′′ =− 1 4 𝑦 ⇔
  − sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 =− 1 4 ∙4 sin 1 2 𝑡− 𝜋 3
  − верно.
  Горюшко А.А.
  𝐬𝐢𝐧 𝒙 ′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
  𝐜𝐨𝐬 𝒙 ′ =− 𝐬𝐢𝐧 𝒙
  

• 9 слайд

  𝑦 ′ =
  5 𝑒 3𝑥 ∙3
  =𝑦∙3
  =3𝑦.
  а) 𝑦 ′′ =−25𝑦;
  𝑦 ′′ =− 5 2 𝑦
  ⇒𝑦=𝐴 cos (5𝑡+𝜑) .
  Например, 𝑦= cos 5𝑡 𝐴=1, 𝜑=0 .
  б) 1 9 𝑦 ′′ +4𝑦=0
  𝑦 ′′ =− 6 2 𝑦
  ⇒𝑦=𝐴 cos 6𝑡+𝜑 .
  Например, 𝑦=2 cos 6𝑡+ 𝜋 10 𝐴=2, 𝜑= 𝜋 10 .
  𝒇 ′′ 𝒕 =− 𝝎 𝟐 𝒇(𝒕)
  𝒇 𝒕 =𝑨𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕+𝝋)
  Горюшко А.А.
  𝒆 𝒙 ′ = 𝒆 𝒙
  

• 10 слайд

  𝑚 ′ 𝑡 =𝑘𝑚(𝑡)
  𝑚 𝑡 = 𝑚 0 𝑒 𝑘𝑡
  𝒇 ′ 𝒙 =𝒌𝒇(𝒙)
  𝒇 𝒙 =𝑪 𝒆 𝒌𝒙
  𝑚 3 = 1 2 𝑚 0
  𝑚 0 𝑒 3𝑘 = 1 2 𝑚 0
  𝑒 3𝑘 = 1 2
  3𝑘= ln 1 2
  𝑘=− ln 2 3
  𝒎 𝒕 = 𝒎 𝟎 𝒆 − 𝐥𝐧𝟐 𝟑 𝒕
  𝑚 0 =1;𝑚 𝑡 =0,125= 1 8
  1 8 =1∙ 𝑒 − ln2 3 𝑡
  = 1 𝑒 ln2 3 𝑡
  𝑒 ln2 3 𝑡 =8
  ln2 3 𝑡= ln 8
  𝑡= ln 8 ∙ 3 ln 2
  = ln 2 3 ∙3 ln 2
  = 3 ln 2 ∙3 ln 2
  =9
  Ответ:через 9 мин.
  =
  𝑒 3𝑘 = 𝑒 ln 1 2
  = ln 2 −1
  =− ln 2
  𝑒 ln2 3 𝑡 = 𝑒 ln 8
  𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 =𝒃
  

• 11 слайд

  30 км ч =
  30 000 м ч =
  500 м/мин
  𝑣 ′ 𝑡 =−𝑘𝑣 𝑡
  =− 5 3 𝑣(𝑡)
  𝑣 𝑡 =𝐶 𝑒 − 5 3 𝑡 ,
  𝑣 0 =500
  𝒇 ′ 𝒙 =𝒌𝒇(𝒙)
  𝒇 𝒙 =𝑪 𝒆 𝒌𝒙
  500=𝐶
  ⇒ 𝑣 𝑡 =500 𝑒 − 5 3 𝑡
  𝑣 3 =
  500∙ 𝑒 −5
  = 500 𝑒 5
  ≈3,36897349954273
  ≈3 ( м мин )
  Ответ: ≈3 м мин .
  Горюшко А.А.
  

Краткое описание документа:

Предлагается небольшая презентация по теме "Понятие о дифференциальном уравнении" плюс решение упражнений по этой теме из школьного учебника "Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений" / Колмогоров А. Н. и др.

Предлагается небольшая презентация по теме "Понятие о дифференциальном уравнении" плюс решение упражнений по этой теме из школьного учебника "Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений" / Колмогоров А. Н. и др.

Предлагается небольшая презентация по теме "Понятие о дифференциальном уравнении" плюс решение упражнений по этой теме из школьного учебника "Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений" / Колмогоров А. Н. и др.