-
Курсы
-
Другое
10 июня 2022 г.
Понятие о дифференциальном уравнении
Горюшко А.А.
Второй производной функции 𝑦=𝑓 𝑥 называется функция 𝑦 ′′ = 𝑓 ′ (𝑥) ′ .
𝑦 ′′′ = 𝑦 ′′ (𝑥) ′ – третья производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
𝑦 𝐼𝑉 = 𝑦 ′′′ (𝑥) ′ – четвертая производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
𝑦 𝑉 = 𝑦 𝐼𝑉 (𝑥) ′ – пятая производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
и т.д.
𝑦 (𝑛) − 𝑛 –ая производная функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
Производные высших порядков
Горюшко А.А.
Для функции 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 :
𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥 ;
𝑓 ′′ 𝑥 = cos 𝑥 ′ =− sin 𝑥 ;
𝑓 ′′′ 𝑥 = − sin 𝑥 ′ =− cos 𝑥;
𝑓 𝐼𝑉 𝑥 = − cos 𝑥 ′ = sin 𝑥 ;
𝑓 100 𝑥 = sin 𝑥 .
Например, для функции 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 :
𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 ;
𝑓 ′′ 𝑥 = 3 𝑥 2 ′ =6𝑥;
𝑓 ′′′ 𝑥 = 6𝑥 ′ =6;
𝑓 𝐼𝑉 𝑥 = 6 ′ =0= 𝑓 𝑉 𝑥 = 𝑓 𝑛 𝑥 ∀𝑥>4.
Горюшко А.А.
Понятие дифференциального уравнения
Рассмотрим движение тела массы 𝒎 в
сопротивления 𝒌.
вязкой среде с коэффициентом
По второму закону Ньютона можно
записать:
𝒎𝒂= – 𝒌𝒗.
Так как ускорение – первая производная
скорости 𝑎= 𝑣 ′ , то
𝒎 𝒗 ′ =−𝒌𝒗.
В это уравнение входит неизвестная величина 𝑣 и ее производная по
времени 𝑣 ′ .
Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии,
экономике и других дисциплинах.
Горюшко А.А.
Уравнение вида
𝒇 𝒙;𝒚; 𝒚 ′ ; 𝒚 ′′ ;…; 𝒚 𝒏 =𝟎
𝒏 −го порядка .
называется обыкновенным дифференциальным уравнением
подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество.
Решением этого уравнения является произвольная функция 𝑦=𝑦 𝑥 ,
График решения дифференциального уравнения называется
интегральной кривой.
Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида
𝒚 ′ =𝒇 𝒙 .
Его решением является функция
𝒚= 𝒇 𝒙 𝒅𝒙+𝑪 .
Горюшко А.А.
Понятие дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения показательного роста
Решение многих задач физики, техники, биологии и социальных наук
сводится к задаче нахождения функций, удовлетворяющих
дифференциальному уравнению вида
𝒇 ′ 𝒙 =𝒌𝒇 𝒙 ,
где 𝒌 –некоторая константа.
Это уравнение называется дифференциальным уравнением показательного
роста убывания .
Его смысл заключается в том, что скорость изменения функции в точке 𝑥
пропорциональна значению самой функции в этой точке.
Это уравнение часто встречается при решении практических задач.
Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться,
что решением уравнения показательного роста является любая функция вида
𝒇 𝒙 =𝑪 𝒆 𝒌𝒙
где 𝑪 –некоторая константа.
Горюшко А.А.
Гармонические колебания
Легко проверить справедливость равенств sin ′′ 𝑥=− sin 𝑥 и cos ′′ 𝑥=− cos 𝑥 .
В физике в частности в механике большую роль играют функции 𝑓,
которые удовлетворяют уравнению
𝒇 ′′ 𝒕 =− 𝝎 𝟐 𝒇 𝒕 ,
где 𝝎− положительная постоянная.
Это уравнение называют дифференциальным уравнением гармонических
колебаний.
Его решением является функция
𝒇 𝒕 =𝑨𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝝋)
при любых постоянных 𝑨 и 𝝋,причем обычно выбирают 𝐴≥0, 𝜑∈ 0;2𝜋 .
.
Горюшко А.А.
а) 𝑦 𝑡 =3 cos 2𝑡+𝜋 , 𝑦 ′′ =−4𝑦;
𝑦 ′ =
3∙ − sin 2𝑡+𝜋 ∙2
=−6 sin 2𝑡+𝜋 ;
𝑦 ′′ =
−6 sin 2𝑡+𝜋 ′
=−6 cos 2𝑡+𝜋 ∙2
=−12 cos 2𝑡+𝜋 ;
𝑦 ′′ =−4𝑦 ⇔
−12 cos 2𝑡+𝜋 =−4∙3 cos 2𝑡+𝜋
− верно.
б) 𝑦 𝑡 =4 sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 , 𝑦 ′′ =− 1 4 𝑦;
𝑦 ′ =
4 cos 1 2 𝑡− 𝜋 3 ∙ 1 2
=2 cos 1 2 𝑡− 𝜋 3 ;
𝑦 ′′ =
2 cos 1 2 𝑡− 𝜋 3 ′
=2∙ − sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 ∙ 1 2
=− sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 ;
𝑦 ′′ =− 1 4 𝑦 ⇔
− sin 1 2 𝑡− 𝜋 3 =− 1 4 ∙4 sin 1 2 𝑡− 𝜋 3
− верно.
Горюшко А.А.
𝐬𝐢𝐧 𝒙 ′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐜𝐨𝐬 𝒙 ′ =− 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝑦 ′ =
5 𝑒 3𝑥 ∙3
=𝑦∙3
=3𝑦.
а) 𝑦 ′′ =−25𝑦;
𝑦 ′′ =− 5 2 𝑦
⇒𝑦=𝐴 cos (5𝑡+𝜑) .
Например, 𝑦= cos 5𝑡 𝐴=1, 𝜑=0 .
б) 1 9 𝑦 ′′ +4𝑦=0
𝑦 ′′ =− 6 2 𝑦
⇒𝑦=𝐴 cos 6𝑡+𝜑 .
Например, 𝑦=2 cos 6𝑡+ 𝜋 10 𝐴=2, 𝜑= 𝜋 10 .
𝒇 ′′ 𝒕 =− 𝝎 𝟐 𝒇(𝒕)
𝒇 𝒕 =𝑨𝒄𝒐𝒔 (𝝎𝒕+𝝋)
Горюшко А.А.
𝒆 𝒙 ′ = 𝒆 𝒙
𝑚 ′ 𝑡 =𝑘𝑚(𝑡)
𝑚 𝑡 = 𝑚 0 𝑒 𝑘𝑡
𝒇 ′ 𝒙 =𝒌𝒇(𝒙)
𝒇 𝒙 =𝑪 𝒆 𝒌𝒙
𝑚 3 = 1 2 𝑚 0
𝑚 0 𝑒 3𝑘 = 1 2 𝑚 0
𝑒 3𝑘 = 1 2
3𝑘= ln 1 2
𝑘=− ln 2 3
𝒎 𝒕 = 𝒎 𝟎 𝒆 − 𝐥𝐧𝟐 𝟑 𝒕
𝑚 0 =1;𝑚 𝑡 =0,125= 1 8
1 8 =1∙ 𝑒 − ln2 3 𝑡
= 1 𝑒 ln2 3 𝑡
𝑒 ln2 3 𝑡 =8
ln2 3 𝑡= ln 8
𝑡= ln 8 ∙ 3 ln 2
= ln 2 3 ∙3 ln 2
= 3 ln 2 ∙3 ln 2
=9
Ответ:через 9 мин.
=
𝑒 3𝑘 = 𝑒 ln 1 2
= ln 2 −1
=− ln 2
𝑒 ln2 3 𝑡 = 𝑒 ln 8
𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 =𝒃
30 км ч =
30 000 м ч =
500 м/мин
𝑣 ′ 𝑡 =−𝑘𝑣 𝑡
=− 5 3 𝑣(𝑡)
𝑣 𝑡 =𝐶 𝑒 − 5 3 𝑡 ,
𝑣 0 =500
𝒇 ′ 𝒙 =𝒌𝒇(𝒙)
𝒇 𝒙 =𝑪 𝒆 𝒌𝒙
500=𝐶
⇒ 𝑣 𝑡 =500 𝑒 − 5 3 𝑡
𝑣 3 =
500∙ 𝑒 −5
= 500 𝑒 5
≈3,36897349954273
≈3 ( м мин )
Ответ: ≈3 м мин .
Горюшко А.А.
Предлагается небольшая презентация по теме "Понятие о дифференциальном уравнении" плюс решение упражнений по этой теме из школьного учебника "Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений" / Колмогоров А. Н. и др.
Предлагается небольшая презентация по теме "Понятие о дифференциальном уравнении" плюс решение упражнений по этой теме из школьного учебника "Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений" / Колмогоров А. Н. и др.
Предлагается небольшая презентация по теме "Понятие о дифференциальном уравнении" плюс решение упражнений по этой теме из школьного учебника "Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений" / Колмогоров А. Н. и др.
В каталоге 6 688 курсов по разным направлениям
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Тема: Группировка слагаемых
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Тема: Округление слагаемых
Учебник: «Математика (в 2 частях)», Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.
Тема: Умножение и деление
