Презентация по теме " Признаки возрастания и убывания функции"

• 1 слайд

  Признаки возрастания и убывания функции, 10 класс
  Антонов Виктор Алексеевич
  учитель математики
  КГУ ОСШИОД № 4 «Болашак»
  
  

• 2 слайд

• 3 слайд

• 4 слайд

  
  
  
  Определение
  Правило, или закономерность, при котором каждому значению х, из множества Х соответствует единственное значение у из множества У, называется функцией.
  Определение
  Множество значений независимой переменной, при котором функция принимает вполне определенные значения, называется областью определения функции (D), а значения функции соответствующие каждому значению независимой переменной из области определения, называется множеством значений функции (Е).
  
  

• 5 слайд

  Определение
  Если в области определения функции y=f(x) для любых чисел х1< х2 выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (f(x1)> f(x2)), то функция называется возрастающей (убывающей) функцией
  

• 6 слайд

  Если функция дифференцируема, то на интервале (а;с) найдется точка в ∈(а;с),
  что f '(в)= 𝑓 𝑐 −𝑓(𝑎) 𝑐−𝑎 .
  Формула Лагранжа↔f '(x)= 𝑓 х 2 −𝑓( х 1 ) х 2 − х 1 (1)
   
   
   
   
   
  
  

• 7 слайд

  Теорема
  
  Если для функции f(x) в каждой точке промежутка Х производная функции f '(x)>0 (f '(x)<0), то на данном промежутке Х функция возрастает (убывает).
  Доказательство: Возьмем любые две точки х1, х2 из промежутка Х, причем х1< х2. Тогда по формуле Лагранжа (1)
  f'(в) =
  найдется число в из помежутка (х1;х2) для которого выполняется равенство (1). Из принадлежности точек х1и х2 промежутку Х следует, что число в также принадлежит этому промежутку.
  
  

• 8 слайд

  Если для любого х из промежутка Х выполняется условие f '(x)>0,тогда f '(в)>0, а по предположению х2-х1>0, из равенства (1) следует, что
  f(х2) - f(х1)>0 или f(х1)< f(х2).
  Следовательно, по определению возрастающей функции f(х) - возрастающая функция.
  Если же для любого х из промежутка Х выполняется условие f '(x)<0, тогда f '(в)<0, а по предположению х2-х1>0, из равенства (1) следует, что f(х2) - f(х1)<0 или f(х1)> f(х2).
  Следовательно, по определению убывающей функции
  f(х) – убывающая функция.
  

• 9 слайд

  Следовательно, с помощью производной для любой функции можно найти промежутки возрастания и убывания и при этом используется следующий алгоритм:
  
  найти область определения функции;
  
  2) вычислить производную функции;
  
  3) решить неравенство f '(x)>0 или f '(x)<0;
  
  4) используя утверждение теоремы найти промежутки возрастания и убывания функции.
  
  

• 10 слайд

  Примечание:
  1.Если функция f(x) непрерывна на концах промежутка, то эти точки входят в данный промежуток.
  2. Для решения неравенств f '(x)>0 и f '(x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу): точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции f(х) на промежутки, в каждом из которых f '(x) сохраняет постоянный знак. Знак можно определить, вычислив значение
  f '(x) в какой-нибудь точке.
  

• 11 слайд

  Пр.1 (№261(в))
  Найти промежутки возрастания и убывания функции у=х2 – 6х
  решение:
  1. D(f(x))=(-∞;+∞)
  2. f '(x)=(х2-6х)'=2х-6
  3. 2х-6>0, 2х-6<0; применим метод интервалов:2х-6=0, х=3(рисунок)
  
  4. при х<3, получаем f '(x)<0. Тогда по теореме на промежутке (-∞;3] функция убывает, а при х>3, получаем f '(x)>0, поэтому на промежутке [3;+ ∞) функция возрастает.
  
  
  

• 12 слайд

  Пр.2(№263(в))
  Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)= 2х−1 х+1 – х
  Решение.
  1. D(f(x)) = (-∞;-1)U(-1; +∞)
  2. f '(x) = ( 2х−1 х+1 – х)'= 2х−1 ′ х+1 − 2х−1 х+1 ′ (х+1) 2 +1= = 2х+2−2х+1 (х+1) 2 +1= 3 (х+1) 2 +1
  3. 3 (х+1) 2 +1>0, ∀х∈(-∞;-1)U(-1; +∞)
  4. на (-∞;-1)U(-1; +∞) функция ↑
  

• 13 слайд

  Пример1. На рисунке изображен график функции y=f(x). По графику найдите промежутки, в которых производная функции:
  а) положительная; б) отрицательная.
  а) f '(x)>0
  на (-∞; а 2 )U( а 4 ; а 6 )-промежутки возрастания функции f(x).
  б) f '(x)<0
  на ( а 2 ; а 4 )U( а 6 ; +∞)- промежутки убывания функции f(x).
  

• 14 слайд

  Пример 2. На рисунке дан график производной функции
  y=f '(x).
  С помощью графика определите промежутки:
  а)возрастания y=f(x); б)убывания y=f(x).
  а) f(x) возрастает (f '(x) >0)
  (-∞; 𝑏 1 ]U [𝑏 3 ; 𝑏 7 ]
  б) f(x) убывает (f '(x)<0)
  [ 𝑏 1 ; 𝑏 3 ]U[ 𝑏 7 ; +∞)
  
  
  /
  

• 15 слайд

  № 258 Найдите промежутки возрастания и убывания функции
  а) f(x)=3x-1
  1. D(f(x))=( -∞; +∞)
  2. f '(x)=3
  3. f '(x)>0, ∀x∈R
  4. f(x)↑ на R
  в) f(x)= 𝑥 2 -6x+5
  1. D (f(x))=R
  2. f '(x)=2x-6
  3. f '(x)=0; 2x-6=0, x=3
  4. на (−∞;3) функция ↓, на [3; +∞) функция ↑.
  
  

• 16 слайд

  № 259 Докажите, что данная функция в области определения является возрастающей (работа учащихся у доски и в тетрадях)
   а) 𝑦= 1 6 +2,3𝑥
  1. D(y)=R
  2. y'=2,3>0
  3. y возрастает на R
   г) у = 5- 3 х
  1. D (y)=(-∞; 0)U(0;+∞)
  2. y'= 3 𝑥 2 >0
  3. y возрастает на
  (-∞;0)U(0;+∞)
  

• 17 слайд

  Уровень В. № 261 (б) Найти промежутки возрастания и убывания функции:
  𝑦= 1 3 𝑥 3 − 1 2 𝑥 2
  1. D(y)=R
  2. y'= 1 3 ∗3 𝑥 2 − 1 2 ∗2𝑥= 𝑥 2 −𝑥
  3. 𝑥 2 −𝑥>0 и 𝑥 2 −𝑥<0
  Метод интервалов:
  𝑥 2 −𝑥=𝑥 𝑥−1 =0
  f '(x) + – +
  f(x) 0 1 x
  
  
  
  4. на (-∞;0]∪ 1;+∞ ,𝑓 (𝑥)↑
  на [0; 1], 𝑓 (𝑥)↓
  

• 18 слайд

  № 263 (г) Найти промежутки возрастания и убывания функции:
   
  𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 4 𝑥 +2
  
  1. D (𝑓 (𝑥))=(−∞;0)∪(0; +∞)
  2. 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 4 − 4 𝑥 +2 ′ = 1 4 + 4 𝑥 2
  3. 1 4 + 4 𝑥 2 >0
  4. на (−∞;0)∪ 0; +∞ , 𝑓(𝑥)↑
  

• 19 слайд

  Самостоятельная работа на 2 варианта
  1вариант
  1. Докажите, что данная функция в области определения является возрастающей:
  № 259 (б)
  у= 1 3 х 3 +0,7
  2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
  № 263 (в)
  𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 𝑥+1 +𝑥
  2вариант
  1. Докажите, что данная функция в области определения является возрастающей:
  № 259(в)
  у = - 7 𝑥
  2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
  № 263 (б)
  f(x) = 2 𝑥 3 −3 𝑥 2 −12𝑥−1
   
  

• 20 слайд

  I вариант
   1) № 259 (б)
  у= 1 3 х 3 +0,7
  1. D(y)=R
  2. y'= 𝑥 2
  3. y'>0, ∀𝑥∈𝑅
  4. на R,y↑
   
  2) № 263 (в)
  𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 𝑥+1 +𝑥
  1. D 𝑓 𝑥 = −∞; −1 ∪(−1; +∞)
  2. 𝑓 ′ 𝑥 = ( 2𝑥+1 𝑥+1 +𝑥)′=( 2𝑥+1 𝑥+1 )′+1= 2 𝑥+1 −(2𝑥+1) (𝑥+1) 2 +1= 1 (𝑥+1) 2 +1
  3. 𝑓 ′ 𝑥 >0, ∀𝑥∈𝐷(𝑓 𝑥 )
  4. на (-∞; -1)U(-1;+∞), f(x)↑
  

• 21 слайд

  II вариант
   1) № 259(в)
  y=- 7 𝑥
  1. D(y)=(-∞; 0)U(0; +∞)
  2. у'= 7 𝑥 2
  3. у'>0, ∀𝑥∈𝐷(𝑦)
  4. на (-∞; 0)U(0;+∞), f(x)↑
   2) № 263 (б)
  f(x)=2 𝑥 3 −3 𝑥 2 −12𝑥−1 𝑓 ′ (𝑥) + - +
  1. 𝐷(f(x))=R f(x) -1 2 х
  2. 𝑓 ′ (𝑥)=6 𝑥 2 −6𝑥−12
  3. 𝑥 2 −𝑥−2>0 и 𝑥 2 −𝑥−2<0 метод интервалов.
  𝑥 2 −𝑥−2=0
  𝑥 1/2 =−1; 2
  4. на (- ∞; - 1]U[2; +∞) f(x)↑
  на [-1; 2], f(x)↓
  

• 22 слайд

  Уровень С. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
  у= 1 𝑥 2 −3х+2 ;
  Решение:
  Область определения – все х, которые не обращают знаменатель в нуль (на нуль делить нельзя), а так как
  у = 1 𝑥 2 −3х+2 = 1 х−1 (х−2) , то х ≠ 1, х ≠ 2
  D(y)=(-∞; 1)U(1;2) U(2; +∞)
  у ′ = 1 𝑥 2 −3х+2 ′=(( 𝑥 2 −3х+2)-1)'= - ( 𝑥 2 −3х+2)-2∙( 𝑥 2 −3х+2)'=
  = - 1 ( 𝑥 2 −3Х+2) 2 ∙ (2х-3)= =− 2х−3 ( 𝑥 2 −3Х+2) 2 ;
  − 2х−3 ( 𝑥 2 −3Х+2) 2 ≷0; - (2х-3) ≷0; 3-2х≷0; метод интервалов: 3-2х=0; х= 3 2 ;
  4.на (-∞; 1)U(1; 3 2 ] функция возрастает; на [ 3 2 ;2)U(2; +∞] функция убывает.