• 

  1 слайд

  Горюшко А.А.
  Решение простейших тригонометрических уравнений
  10 июня 2022 г.
  

• 

  2 слайд

  Решение простейших тригонометрических уравнений
  sin⁡𝒙 =𝒂
  если 𝑎 >1, то корней нет
  если 𝑎=1, то 𝑥= 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  если 𝑎=0, то 𝑥=𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  если 𝑎=−1, то 𝑥=− 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  для остальных 𝑎
  𝒙= −𝟏 𝒌 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒂 +𝝅𝒌, 𝒌∈ℤ
  𝐬𝐢𝐧 𝒙 =−3,5
  𝐬𝐢𝐧 𝒙 =𝟏
  𝐬𝐢𝐧 𝒙 =𝟎
  𝐬𝐢𝐧 𝒙 =−𝟏
  𝐬𝐢𝐧 𝒙 =𝟎,𝟔
  

• 

  3 слайд

  Решение простейших тригонометрических уравнений
  Замечание.
  Иногда удобно решения уравнения 𝐬𝐢𝐧 𝒙 =𝒂 записывать не
  одной, а двумя формулами
  𝒙=𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝟐𝝅𝒏, 𝒙=𝝅−𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ .
  

• 

  4 слайд

  Решение простейших тригонометрических уравнений
  𝐜𝐨s⁡𝒙 =𝒂
  если 𝑎 >1, то корней нет
  если 𝑎=1, то 𝑥=2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  если 𝑎=0, то 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  если 𝑎=−1, то 𝑥=𝜋+2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  для остальных 𝑎
  𝐜𝐨𝐬 𝒙 =𝟑,𝟐
  𝐜𝐨𝐬 𝒙 =𝟏
  𝐜𝐨𝐬 𝒙 =𝟎
  𝐜𝐨𝐬 𝒙 =−𝟏
  𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟐 𝟑
  𝒙=± 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒂 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  

• 

  5 слайд

  Решение простейших тригонометрических уравнений
  𝐭𝐠 𝒙=𝒂
  𝐜𝐭𝐠 𝒙=𝒂
  𝒙=𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠 𝒂+𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  𝒙=𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒂+𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  𝒂∈ℝ
  

• 

  6 слайд

  а) cos 𝑥 = 2 2
  𝒙=± 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒂 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  𝑥=± arccos 2 2 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝑥=± 𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  Ответ: ± 𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
  б) cos 𝑥 =− 1 2
  𝑥=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  Ответ: ± 2𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
  

• 

  7 слайд

  𝑥= −1 𝑘 arcsin 1 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ
  а) sin 𝑥 = 1 2
  𝑥= −1 𝑘 𝜋 6 +𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ
  Ответ: −1 𝑘 𝜋 6 +𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ.
  б) sin 𝑥 =− 3 2
  𝑥= −1 𝑘 − 𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ
  Ответ: −1 𝑘+1 𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ.
  𝒙= −𝟏 𝒌 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒂 +𝝅𝒌, 𝒌∈ℤ
  −1 𝑘 − 𝜋 3
  ∙(−1)∙ 𝜋 3
  = −1 ∙ −1 ∙ −1 ∙
  …∙(−1)
  𝒌
  𝒌+𝟏
  

• 

  8 слайд

  а) tg 𝑥=− 1 3
  𝑥=arctg − 1 3 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝑥=− 𝜋 6 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  Ответ:− 𝜋 6 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
  б) ctg 𝑥= 3
  𝑥=arcctg 3 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝑥= 𝜋 6 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
  Ответ: 𝜋 6 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
  𝒙=𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠 𝒂+𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  𝒙=𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒂+𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  

• 

  9 слайд

  а) 2 cos 𝑥 + 3 =0
  cos 𝑥 =− 3 2
  𝑥=± 5𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  Ответ: ± 5𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ.
  б) 2 cos 𝑥 −1=0
  cos 𝑥 = 1 2
  𝑥=± 𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  Ответ:± 𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ .
  𝒙=± 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒂 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  

• 

  10 слайд

  а) 2 cos 𝑥 2 − 𝜋 6 = 3
  cos 𝑥 2 − 𝜋 6 = 3 2
  𝑥 2 − 𝜋 6 =± 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝑥 2 = 𝜋 6 ± 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝑥= 𝜋 3 ± 𝜋 3 +4𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝑥= 𝜋 3 + 𝜋 3 +4𝜋𝑛 𝑥= 𝜋 3 − 𝜋 3 +4𝜋𝑛 𝑛∈ℤ
  𝑥= 2𝜋 3 +4𝜋𝑛 𝑥=4𝜋𝑛 𝑛∈ℤ
  Ответ: 2𝜋 3 +4𝜋𝑛;4𝜋𝑛;𝑛∈ℤ.
  𝒙=± 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒂 +𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ
  

• 

  11 слайд

  б) 2 sin 3𝑥− 𝜋 4 =− 2
  sin 3𝑥− 𝜋 4 =− 2 2
  3𝑥− 𝜋 4 = −1 𝑘 − 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ
  Иногда удобно решения уравнения 𝐬𝐢𝐧 𝒙 =𝒂 записывать не одной, а двумя формулами:
  𝒙=𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝟐𝝅𝒏, 𝒙=𝝅−𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝟐𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ .
  3𝑥− 𝜋 4 =− 𝜋 4 +2𝜋𝑛, 3𝑥− 𝜋 4 =𝜋− − 𝜋 4 +2𝜋𝑛, (𝑛∈ℤ)
  3𝑥=2𝜋𝑛, 3𝑥=𝜋+ 𝜋 4 + 𝜋 4 +2𝜋𝑛, ( 𝑛∈ℤ)
  𝑥= 2𝜋𝑛 3 , 3𝑥= 3𝜋 2 +2𝜋𝑛, (𝑛∈ℤ)
  𝑥= 2𝜋𝑛 3 , 𝑥= 𝜋 2 + 2𝜋𝑛 3 , (𝑛∈ℤ)
  Ответ: 2𝜋𝑛 3 ; 𝜋 2 + 2𝜋𝑛 3 ;𝑛∈ℤ.
  𝒙= −𝟏 𝒌 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒂 +𝝅𝒌, 𝒌∈ℤ
  

• 

  12 слайд

  cos 𝜋 3 −2𝑥 = 1 2
  𝜋 3 −2𝑥=± 𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝜋 3 −2𝑥= 𝜋 3 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ 𝜋 3 −2𝑥=− 𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ
  −2𝑥=2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ −2𝑥=− 2𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ
  𝑥=𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ 𝑥= 𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈ℤ
  а) 𝑥= 𝜋 3 ;
  б) 0; 𝜋 3 ;𝜋; 4𝜋 3 ;
  в) − 2𝜋 3 ;
  г)− 2𝜋 3 ;0; 𝜋 3 .
  

• 

  13 слайд

  sin 2𝑥+ 𝜋 4 =−1
  2𝑥+ 𝜋 4 =− 𝜋 2 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  2𝑥=− 3𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  𝑥=− 3𝜋 8 +𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ
  а) 5𝜋 8 ;
  б) − 3𝜋 8 ; 5𝜋 8 ;
  в) − 3𝜋 8 ;
  г) − 3𝜋 8 .
  − 𝟒𝝅 𝟖 ; 𝟔𝝅 𝟖
  − 𝟖𝝅 𝟖 ; 𝟒𝝅 𝟖
  𝑛=0
  𝑥=− 3𝜋 8
  𝑛=1
  𝑥=− 3𝜋 8 +𝜋= 5𝜋 8
  𝑛=2
  𝑥=− 3𝜋 8 +2𝜋= 13𝜋 8
  𝑛=−1
  𝑥=− 3𝜋 8 −𝜋=− 11𝜋 8
  

• 

  14 слайд

• 

  15 слайд

  2𝜋
  

• 

  16 слайд

• 

  17 слайд

  2𝜋
  

• 

  18 слайд

  2𝜋
  2𝜋
  

• 

  19 слайд

• 

  20 слайд

  2𝜋
  

• 

  21 слайд

  𝜋
  

• 

  22 слайд

  2𝜋
  

• 

  23 слайд

  2𝜋
  2𝜋
  

Краткое описание материала